内蒙古科技大学：《材料力学》课程PPT教学课件（土木类）第六章 简单的超静定问题

第6章简单的超静定问题S6.1超静定问题及其解法静定结构：仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力

第6章 简单的超静定问题 §6.1 超静定问题及其解法 静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的 约束反力或内力 F 2 A B A F 1 B a a C

超静定结构（静不定结构）：静力学平衡方程不能求解超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数

超静定结构(静不定结构): 静力学 平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于 独立的平衡方程的数目；两者的 差值称为超静定的次数 B D C A 1 3 2 F a a F F C F B F A A C B A F a a F F F N2 N3 N1 y x B C A D

习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力·超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。·从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题

•习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约 束，相应的约束反力称为多余未知力。 • 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。 •从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往 往是必需的，并不是多余的 •超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超 静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、 物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问 题

补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数自等于多余未知力的数。·根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明

•补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了 利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充 方程的数目等于多余未知力的数目。 •根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程， 结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方 程。 •补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。 此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进 行说明

S 6.2 拉压超静定问题1拉压超静定问题解法例两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为EA，求杆的支反力解：一次超静定问题(1)力：由节点A的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程F+F-F=0

§6.2 拉压超静定问题 1 拉压超静定问题解法 例 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F如 图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力. 解：一次超静定问题 FA + FB − F = 0 F B A F A B a b l F C (1)力：由节点 A 的平衡条件 列出杆轴线方向的平衡方程

（2）变形：变形协调条件（求补充方程）可选取固定端B为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构-称为原超静定结构的基本静定系或相当系统Y注意原超静定结构的B端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在BC点的位移为零。F△β = 0即得变形协调条件TB15

（2）变形：变形协调条件(求补充方程) 可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在 该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原 荷载和多余未知力的静定结构 -称为原超静定结构的基本静定系或相当系统 注意原超静定结构的 B 端 约束情况，相当系统要保持和 原结构相等，则相当系统在 B 点的位移为零。 即得变形协调条件 B = 0 B F F B C A

在相当系统中求B点的位移,按叠加原理，可得β =BF +BB（3）胡克定理（物理关系）FaFe!BBBFEAEAF（4）得出补充方程Fa FaFBl0得 FB-1EAEABFF为正，表明其方向与图中所设一致

在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得 B = BF + BB （3） 胡克定理(物理关系) EA Fa BF = EA F l B BB = − （4）得出补充方程 − = 0 EA F l EA Fa B 得 l Fa FB = FB为正,表明其方向与图中所设一致. x F B C A  BF x F B B A  BB

例设1，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l=l=l，A,=A,=A，Ei=E,=E；3杆长度为l，横截面面积为A3，弹性模量为E，试求各杆的轴力。DB解：一次超静定问题3(1)力：由节点A的平衡条件列出平衡方程αaAEF =0, - Fn sin α+ Fn2 sin α= 0FZF, = 0O, Fn3 +Fni coSα + Fn3 cosα - F = 0x

例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横 截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为 E3 ,试求各杆的轴力。 解：一次超静定问题 (1)力：由节点A的平衡条件列 出平衡方程 Fx = 0, − FN1 sin a + FN2 sin a = 0 Fy = 0,FN3 + FN1 cosa + FN3 cosa − F = 0 B D C A 1 3 2 F A F a a F F F N2 N3 N1 y x

(2)变形：变形协调条件（求补充方程）Nl, = △l, cos α(3)胡克定理FN!Fn3l cosαAlAl,EAE,A,(4)得出补充方程EAcos’ αF.= Fn3N1E,A

(2)变形：变形协调条件(求补充方程) l 1 = l 3 cosa (3)胡克定理 EA F l l N1  1 = 3 3 N3 3 cos E A F l l a  = l 3 B 1 a a 3 2 D C A A' (4)得出补充方程 a 2 3 3 N1 N3 cos E A EA F = F

联立平衡方程、补充方程，求解得FFn1 = Fn2 =E,A2 cosα +EAcos"αFFN3EA1+2cosQE,As在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的

联立平衡方程、补充方程，求解得 a a 2 3 3 N1 N2 cos 2cos EA E A F F F + = = a 3 3 3 N3 1 2 cos E A EA F F + = 在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度 与其它杆的刚度的比值有关 增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将 随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将 引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系 中是不存在的