内蒙古科技大学：《工程力学》课程授课教案（讲义）第3章 平面任意力系

第3章教学方案一平面任意力系力线平移定理基本内容平面任意力系的简化平面任意力系的平衡条件和平衡方程物体系统的平衡考虑摩擦时的平衡问题掌握力线平移定理。教学目的了解平面力系向一点简化。、熟练掌握平面力系的平衡方程。掌握物体系统的平衡问题分析。了解有摩擦时物体的平衡分析。重点、难点平面力系的简化：物体系统的平衡问题

第 3 章 教学方案 ——平面任意力系 基 本 内 容 力线平移定理 平面任意力系的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡 考虑摩擦时的平衡问题 教 学 目 的 1、掌握力线平移定理。 2、了解平面力系向一点简化。 3、熟练掌握平面力系的平衡方程。掌握物体系统的平衡问题分 析。了解有摩擦时物体的平衡分析。 重 点 、 难 点 平面力系的简化；物体系统的平衡问题

第三章平面任意力系作用在物体上的力系，若各力的作用线在同一平面内，既不平行又不汇交于一点，称为平面任意力系。本章研究平面任意力系的简化和平衡问题。3.1力线平移定理定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。证明：如图3.1（a）所示，设有一力F作用于刚体的4点，为将该力平行移到任点 O,在 O 点加一对作用线与 F平行的平衡力 F 和 F"，且使 FI =F'=F,在 F、F'F'三力中，F和F两力组成一个力偶，其力偶臂为d，力偶矩恰好等于原力对点O的矩如图3.1（b）所示。显然，三个力组成的新力系与原力F等效。这三个力可看做是一个作用在O点的力F'和一个力偶（F，F")。这样，原来作用在A点的力F便被等效为作用在新作用点O的力F/和力偶（F，F")。力偶（F，F"）称为附加力偶，如图3.1（c）所示，其矩M为M=MoCF)()(b)(a图 3.1·应用：力线平移定理是力系简化的理论依据，也是分析和解决实际工程中力学问题的重要依据。如图3.2（a）所示，钳工攻丝时，要求在丝锥手柄的两端均匀用力，即形成一力偶使手柄产生转动进行攻丝。若在手柄的单边加力，如图3.2（b）所示，那么丝锥极易Ft中a(b)(c)图3.2折断，这是因为，作用在A点的力可等效为作用于 O点的力F和一附加力偶M，如图3.3（c）所示。力偶M使手柄产生顺时针转动进行攻丝，而丝锥上受到的横向力F＇易造成丝锥折断

第三章 平面任意力系 作用在物体上的力系，若各力的作用线在同一平面内，既不平行又不汇交于一点，称 为平面任意力系。本章研究平面任意力系的简化和平衡问题。 3.1 力线平移定理 ●定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于刚体的 作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。 ●证明：如图 3.1（a）所示，设有一力 F 作用于刚体的 A 点，为将该力平行移到任一 点 O，在 O 点加一对作用线与 F 平行的平衡力 F 〃和 F′，且使 F′= F 〃 = F，在 F、F 〃 、 F′三力中，F 和 F 〃 两力组成一个力偶，其力偶臂为 d，力偶矩恰好等于原力对点 O 的矩， 如图 3.1（b）所示。显然，三个力组成的新力系与原力 F 等效。这三个力可看做是一个作 用在 O 点的力 F′和一个力偶（F，F 〃 ）。这样，原来作用在 A 点的力 F 便被等效为作 用在新作用点 O 的力 F′和力偶（F，F 〃 ）。力偶（F，F 〃 ）称为附加力偶，如图 3.1（c） 所示，其矩 M 为 M = MO（F）= F·d 图 3.1 ●应用：力线平移定理是力系简化的理论依据，也是分析和解决实际工程中力学问题的 重要依据。如图 3.2（a）所示，钳工攻丝时，要求在丝锥手柄的两端均匀用力，即形成一 力偶使手柄产生转动进行攻丝。若在手柄的单边加力，如图 3.2（b）所示，那么丝锥极易 图 3.2 折断，这是因为，作用在 A 点的力可等效为作用于 O 点的力 F′和一附加力偶 M，如图 3.3（c）所示。力偶 M 使手柄产生顺时针转动进行攻丝，而丝锥上受到的横向力 F′易造 成丝锥折断

3.2平面任意力系的简化3.2.1平面任意力系向平面内一点的简化●简化依据：力线平移定理。简化方法：把各力向平面内任取的一点O平移（称为简化中心），得到作用于点○的力，以及相应的附加力偶，如图3.3（b）所示。这样，平面任意力系简化成平面汇交力系和平面力偶系。分别将平面汇交力系和平面力偶系合成为一个合力和一个合力偶，如图3.3（c）所示。合力F-ZF(3-1)合力偶的矩Mo等于各力偶矩的代数和。附加力偶矩等于力对简化中心的矩，故M(3-2)1.(F)2b()图3.33.2.2主矢和主矩的概念主失和主矩：平面任意力系各力的矢量和FR，称为该力系的主失；而这些力对于简化中心O取矩的代数和Mo，称为该力系对于简化中心的主矩。主矢等于各力的矢量和，所以它与简化中心的选择无关。而主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，取不同的点为简化中心，各力的力臂将有改变，则各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主矩与简化中心的选择有关。应用解析法可求出力系的主失F的大小和方向。过点O取坐标系Oxy，则有FR=F2+1[Y+(ZF(3-3)cosacosβ:FR

3.2 平面任意力系的简化 3.2.1 平面任意力系向平面内一点的简化 ●简化依据：力线平移定理。 ●简化方法：把各力向平面内任取的一点 O 平移（称为简化中心），得到作用于点 O 的 力，以及相应的附加力偶，如图 3.3（b）所示。这样，平面任意力系简化成平面汇交力系 和平面力偶系。分别将平面汇交力系和平面力偶系合成为一个合力和一个合力偶，如图 3.3 （c）所示。合力 1 n i I = F F R =  （3－1） 合力偶的矩 MO 等于各力偶矩的代数和。附加力偶矩等于力对简化中心的矩，故 1 1 ( ) n n o i o I I M M M = = = =   Fi （3－2） 3.2.2 主矢和主矩的概念 ●主矢和主矩：平面任意力系各力的矢量和 FR ，称为该力系的主矢；而这些力对于简 化中心 O 取矩的代数和 MO，称为该力系对于简化中心的主矩。主矢等于各力的矢量和，所 以它与简化中心的选择无关。而主矩等于各力对简化中心的矩的代数和，取不同的点为简化 中心，各力的力臂将有改变，则各力对简化中心的矩也有改变，所以在一般情况下主矩与简 化中心的选择有关。 应用解析法可求出力系的主矢 FR 的大小和方向。过点 O 取坐标系 Oxy，则有 2 2 2 2 ( ) ( ) cos cos n n R Rx Ry ix iy i=1 i=1 Rx R Ry R F F F F F F F F F    = + = +    =    =     （3－3） 图 3.3

上式中F和Fry以及Fix，Fax，F和Fiy，Fay,“，Fm分别为主失FR以及原力系中各力Fi，F2，，F,在x轴和y轴上的投影。α和β分别为主矢与×及y轴间的夹角。结论：在一般情形下，平面任意力系向作用面内任一点○简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用在简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对于简化中心的主矩3.2.3固定端约束如图3.4（a)、（b）所示，车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上，刀架和卡盘限制了车刀和工件各个方向的移动和转动，车刀和工件是固定不动的，这种约束称为固定端约束，其简图如图3.4（c）所示。应用力系简化方法可以分析固定端约束的约束力。NAAAWA(a)(b)图 3.4固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力构成一平面任意力系，如图3.5（a）所示。将这群力向作用平面内点A简化得到一个力和一个力偶，如图3.5（b）所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。可用两个未知分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束力可简化为两个约束力FAxFAy和一个约束力偶MA，如图3.5（c）所示，行(a)(b)(c)图3.5比较固定端约束和固定铰链约束的性质，可以看出固定端约束除了限制物体移动外，还能限制物体在平面内转动。因此，除了约束力外，还有约束反力偶。3.3平面任意力系的平衡条件和平衡方程3.3.1平面任意力系的平衡条件·平衡条件：平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩同时R'= 0等于零。即(3-4)M。=0

上式中 FRx 和 FRy 以及 F1x，F2x，.，Fnx 和 F1y，F2y，.，Fny分别为主矢 FR 以 及原力系中各力 F1，F2，.，Fn在 x 轴和 y 轴上的投影。α 和β 分别为主矢与 x 及 y 轴间的夹角。 ●结论：在一般情形下，平面任意力系向作用面内任一点 O 简化，可得一个力和一个 力偶，这个力等于该力系的主矢,作用在简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对于简化 中心的主矩。 3.2.3 固定端约束 如图 3.4（a）、（b）所示，车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘上，刀架和卡盘限制了 车刀和工件各个方向的移动和转动，车刀和工件是固定不动的，这种约束称为固定端约束， 其简图如图 3.4（c）所示。应用力系简化方法可以分析固定端约束的约束力。 图 3.4 固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力构 成一平面任意力系，如图 3.5（a）所示。将这群力向作用平面内点 A 简化得到一个力和一 个力偶，如图 3.5（b）所示。一般情况下这个力的大小和方向均为未知量。可用两个未知 分力来代替。因此，在平面力系情况下，固定端 A 处的约束力可简化为两个约束力 FAx、 FAy 和一个约束力偶 MA，如图 3.5（c）所示。 图 3.5 比较固定端约束和固定铰链约束的性质，可以看出固定端约束除了限制物体移动外，还 能限制物体在平面内转动。因此，除了约束力外，还有约束反力偶。 3.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 3.3.1 平面任意力系的平衡条件 ●平衡条件：平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩同时 等于零。即 0 0 o R M  = = （3－4）

所以，R'=ZF)+(ZF)=0(3-5)M,=ZM.(F)=03.3.2 平面任意力系的平衡方程根据平衡条件（3-5）式可得[F,=02F,-0(3-6)(M,(F)=0式（3-6）称为平面任意力系的平衡方程的基本形式。平面任意力系平衡方程可解三个未知力【例3-1】悬臂吊车如图3.6(a)所示。横梁AB长/=2.5m，重力W=1.2kN。拉杆CD倾角α=30°，重力不计。电葫芦连同重物重力G=7.5kN。试求当电葫芦在x=2m的位置时，拉杆的拉力F和铰链A的约束力。F公Lα(a)(h)图 3.6 解：（1）选横梁AB为研究对象，画受力图，如图3.6(b)所示。主动力：W，G:约束力：F、FAx、FAy。CD是二力杆，F沿CD连线。各力作用线在同一平面内且任意分布，属平面任意力系。（2）选图示坐标，列平衡方程求解。ZF,=0Fx-Fcosα=0ZF,=0F, +Fsinα-W-G=0[M,(F)=0 FIsinα-W1-Gx=0解得

所以， 2 2 ( ) ( ) 0 ( ) 0 x y o o R F F M M F  = + = = =    （3－5） 3.3.2 平面任意力系的平衡方程 根据平衡条件（3-5）式可得 0 0 ( ) 0 x y o F F M F  =   =   =     （3－6） 式（3-6）称为平面任意力系的平衡方程的基本形式。平面任意力系平衡方程可解三个 未知力。 【例 3-1】悬臂吊车如图 3.6(a)所示。横梁 AB 长 l=2.5m，重力 W=1.2kN。拉杆 CD 倾角α=30°，重力不计。电葫芦连同重物重力 G=7.5kN。试求当电葫芦在 x =2m 的位置 时，拉杆的拉力 F 和铰链 A 的约束力。 (a) (b) 图 3.6 解： （1）选横梁 AB 为研究对象，画受力图，如图 3.6(b)所示。 主动力： W ， G；约束力： F 、FAx、FAy。CD 是二力杆， F 沿 CD 连线。各力 作用线在同一平面内且任意分布，属平面任意力系。 （2）选图示坐标，列平衡方程求解。 0 cos 0 0 sin 0 ( ) 0 sin 0 2 x Ax y Ay A F F F F F F W G l M F Fl W Gx      = − =   = + − − =   = − − =     解得

(1.2x1.25+7.5x2)=13.2KNF=+Gx)=Isina2.5sin30FAx=Fcosα =13.2cos30°=11.4KNFA, =W+G-F sinα =1.2+7.5-13.2sin30°=2.1KN（3）讨论。悬臂梁吊车工作时电葫芦是可移动的，考虑×为何值时，拉F值最大。现从力矩方程可以看出，当x=I时，拉力F值最大。-2Fmx=sinα（4）校核计算结果。另取一个非独立的投影方程或力矩方程，对某一个未知量进行运算，所得结果与前面计算结果相同时，表明原计算正确。例如，再取C点为矩心，列力矩方程F,Itanα-W!-Gx=0Zm.(F)=0a+)la+2ot30-=114N计算结果与前面计算结果相同，原计算正珍【例3-2】悬臂梁AB长为1，在均布载M,荷9、集中力偶T和集中力F作用下平衡，如图3.7所示。设T=gP,F=ql。试求固定端4B*处的约束力解：（1）取悬臂梁 AB为研究对象,画受力图。固定端A处的约束力，除了FArFA之外，还有约束力偶MA，初学者极易遗漏，如图3.7图 3.7 所示，（2）选图示坐标，列平衡方程求解。注意力偶的两个力对任意一轴的投影代数和均为零；力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。ZF=0Fx=0ZF,=0Fa,+F-ql=0ZM(F)=0 M,+FI+T-=0解得M=q2-Fl-T==qF, =ql-F=ql-ql=0MA为负值，表明约束反力偶与假设方向相反，即顺时针转向。从以上例题可见，选取适当的坐标轴和矩心，可以减少平衡方程中所含未知量的数目。采用力矩方程比投影方程计算要简便一些

图 3.7 1 1 ( ) (1.2 1.25 7.5 2) 13.2 sin 2 2.5sin 30 cos 13.2cos30 11.4 sin 1.2 7.5 13.2sin 30 2.1 Ax Ay l F W Gx KN l F F KN F W G F KN    = + =  +  = = = = = + − = + − = （3）讨论。悬臂梁吊车工作时电葫芦是可移动的，考虑 x 为何值时，拉 F 值最大。 现从力矩方程可以看出，当 x= l 时，拉力 F 值最大。 max 1 1 1.2 ( ) ( 7.5) 16.2 sin 2 sin 30 2 W F G KN  = + = + = （4）校核计算结果。另取一个非独立的投影方程或力矩方程，对某一个未知量进行运 算，所得结果与前面计算结果相同时，表明原计算正确。例如，再取 C 点为矩心，列力矩 方程 ( ) 0 tan 0 2 1.2 7.5 2 ( )cot ( )cot 30 11.4 2 2 2.5 c Ax Ax l m F F l W Gx w Gx F KN l   = − − =  = + = + =  计算结果与前面计算结果相同，原计算正 确。 【例 3-2 】悬臂梁 AB 长为 l，在均布载 荷 q、集中力偶 T 和集中力 F 作用下平衡， 如图 3.7 所示。设 T = ql2，F = ql。试求固定端 A 处的约束力。 解：（1）取悬臂梁 AB 为研究对象,画受力图。 固定端 A 处的约束力，除了 FAx、FAy 之外， 还有约束力偶 MA，初学者极易遗漏，如图 3.7 所示。 （2）选图示坐标，列平衡方程求解。注意力偶的两个力对任意一轴的投影代数和均为零； 力偶对作用面内任一点之矩恒等于力偶矩。 2 0 0 0 0 ( ) 0 0 2 x Ax y Ay A A F F F F F ql ql M F M Fl T   = =   = + − =   = + + − =     解得 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0 A Ay M ql Fl T ql ql ql ql F ql F ql ql = − − = − − = − = − = − = MA 为负值，表明约束反力偶与假设方向相反，即顺时针转向。 从以上例题可见，选取适当的坐标轴和矩心，可以减少平衡方程中所含未知量的数目。 采用力矩方程比投影方程计算要简便一些

3.4物体系统的平衡3.4.1静定与静不定的概念力系的独立平衡方程数目是有限的。前面研究过的三种力系中，平面任意力系有三个独立的平衡方程，平面汇交力系有两个独立的平衡方程，平面力偶系有一个独立的方程在研究平衡问题时，若所研究问题中未知量的数目等于能列出的独立平衡方程数目，则未知量可以用平衡方程全部求出，这类问题称为静定问题，该系统称为静定系统；若所研究问题中未知量的数目超过了独立平衡方程的数目，则未知量不能用平衡方程全部求出，这类问题称为静不定问题或超静定问题，这样的系统称为静不定系统。图3.8(a)所示的简支梁是静定的。图3.8(b)成了静不定问题。图3.8（c）所示组合梁，则问题重新变为静定的，这时对每段可以写出三个独立的平衡方程，虽然未知量增加了，但未知量的总数等于独立平衡方程的总数。P/ PSCCA&B8Bon(b)(c)(a)图3.83.4.2物体系统平衡的特点和解法由若干个物体通过相互约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。物体系统平衡的特点是，不仅需要研究物系的外力，还需求出系统内各物体之间相互作用的内力。研究物系的平衡时，以整个物系为研究对象时，物体之间相互作用的内力不必考虑：以物系中某一或几个物体为研究对象时，系统中其他物体对它们的作用力就成为外力，必须予以考虑。在求解物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选单个物体或部分物体为研究对象。一般情况下，物系平衡问题需取多次研究对象，列多个平衡方程才能求解。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽量少，最好只有一个未知量，以避免解联立方程。【例3-31人字梯AB、AC两杆在A点铰接，在D、E两点用水平绳连接，如图3.9（a）所示。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀梯而上，梯子处于平衡状态。已知人自重W=600N，AB=AC=[=3m,，α=45°，梯子自重不计，其他尺寸见图。求绳子的张力和铰链的约束反力。777(a)(b)(c)图 3.9

（a) (b) （c） 图 3.8 图 3.9 3.4 物体系统的平衡 3.4.1 静定与静不定的概念 力系的独立平衡方程数目是有限的。前面研究过的三种力系中，平面任意力系有三个 独立的平衡方程，平面汇交力系有两个独立的平衡方程，平面力偶系有一个独立的方程。 在研究平衡问题时，若所研究问题中未知量的数目等于能列出的独立平衡方程数目， 则未知量可以用平衡方程全部求出，这类问题称为静定问题，该系统称为静定系统；若所 研究问题中未知量的数目超过了独立平衡方程的数目，则未知量不能用平衡方程全部求出， 这类问题称为静不定问题或超静定问题，这样的系统称为静不定系统。 图 3.8(a)所示的简支梁是静定的。图 3.8(b)成了静不定问题。图 3.8（c）所示组合梁， 则问题重新变为静定的，这时对每段可以写出三个独立的平衡方程，虽然未知量增加了， 但未知量的总数等于独立平衡方程的总数。 3.4.2 物体系统平衡的特点和解法 由若干个物体通过相互约束所组成的系统称为物体系统，简称物系。物体系统平衡的 特点是，不仅需要研究物系的外力，还需求出系统内各物体之间相互作用的内力。 研究物系的平衡时，以整个物系为研究对象时，物体之间相互作用的内力不必考虑； 以物系中某一或几个物体为研究对象时，系统中其他物体对它们的作用力就成为外力，必 须予以考虑。 在求解物体系统的平衡问题时，既可选整个系统为研究对象，也可选单个物体或部分物 体为研究对象。一般情况下，物系平衡问题需取多次研究对象，列多个平衡方程才能求解。 在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽量少，最好只有一 个未知量，以避免解联立方程。 【例 3-3 】人字梯 AB、AC 两杆在 A 点铰接，在 D、E 两点用水平绳连接，如图 3.9（a）所示。梯子放在光滑的水平面上，其一边有人攀梯而上，梯子处于平衡状态。已 知人自重 W =600N，AB = AC = l=3m，α=45°，梯子自重不计，其他尺寸见图。求绳子 的张力和铰链的约束反力

解：（1）先取人字梯BAC为研究对象，受力如图3.9（b）所示。显然梯子在W、NB、Nc 组成的平面平行力系作用下平衡。列平衡方程N,(2/sin)+W(sing+smg=0ZMc(F)=0解得：Ns=2w=2×600=400NZM.(F)=0-Ne(2/sing)-w(sing)=0解得：Nc=wx600=200N(2)再选AC杆为研究对象，受力如图3.9（c）所示，显然AC杆在平面任意力系作用下处于平衡状态，列平衡方程ZF,=0Nc-F'=0将N。=200N代入，解得F=Nc=200NZMe(F)=0Fa(2cosg)+F,(/sing)+Nc(sing)=(将F=N。=200N代入，解得+200 tan 45C)tan=-(200+=-124.3NFx'=-(FA' +ZF=0F+FA=0F =-Fx=-124.3N将Fx=-124.3N代入，解得计算结果得负值，表示假设的指向与实际指向相反【例3-4】图3.10（a）所示多跨梁，AB梁和BC梁用中间铰链B连接而成。C端为固定端，A端由活动铰支座支承。已知T=20kN·M，q=15KN·M。试求A、B、C点的约束反力。E()(b)(c)图 3.10（1）先取AB梁为研究对象，受力如图3.12（b）所示，均布载荷q可以简化为作用

解：（1）先取人字梯 BAC 为研究对象，受力如图 3.9（b）所示。显然梯子在 W 、NB、 NC组成的平面平行力系作用下平衡。列平衡方程 ( ) 0 (2 sin ) ( sin sin ) 0 2 2 3 2 C B l M F N l W l     = − + + = 解得： 2 2 600 400 3 3 N W N B = =  = 由 2 ( ) 0 (2 sin ) ( sin ) 0 2 3 2 B C l M F N l W    = − − = 解得： 1 1 600 200 3 3 N W N C = =  = (2)再选 AC 杆为研究对象，受力如图 3.9（c）所示，显然 AC 杆在平面任意力系作用下处 于平衡状态，列平衡方程 0 0 F N F y C Ay  = − =  将 200 N N C = 代入，解得 200 F N N Ay C  = = 2 2 ( ) 0 ( cos ) ( sin ) ( sin ) 0 3 2 3 2 3 2 E Ax Ay C l l l M F F F N     = + + =   将 200 F N N Ay C  = = 代入，解得 200 45 ( ) tan (200 ) tan 124.3 2 2 2 2 C Ax Ay N F F N    = − + = − + = − 0 0 F F F x E Ax  = + =  将 124.3 F N Ax  = − 代入，解得 124.3 F F N E Ax = − = −  计算结果得负值，表示假设的指向与实际指向相反。 【例 3-4】 图 3.10（a）所示多跨梁，AB 梁和 BC 梁用中间铰链 B 连接而成。 C 端 为固定端，A 端由活动铰支座支承。已知 T = 20kN·M，q= 15KN·M。试求 A、B、C 三 点的约束反力。 图 3.10 解： （1）先取 AB 梁为研究对象，受力如图 3.12（b）所示，均布载荷 q 可以简化为作用

于D点的集中力Q，在受力图上不再画以免重复。因AB梁上只作用主动力且铅直向下，故判断B铰链的约束反力只有铅直分量Fg，AB梁在平面平行力系作用下平衡，列平衡方程ZM,(F)=0-3R,+Q=0解得R.--0-10NZM(F)=03FB-2Q=0解得20_2×30=20KNFy=（2）再取BC梁为研究对象，受力如图3.10（c）所示，FBgy和Fg是作用力与反作用力，同样可以判断固定端 C 处受反力偶Mc和 Fg。 BC 梁在任意力系作用下平衡，列平衡方程ZF,=0Fg-Fs'=0解得F,=F'=20KNZM(F)=0M.+T+2Fg=0解得Mc=-T-2F.-20-2x20=-60KN·m负值表示C端约束反力偶的实际转向是顺时针。【例 3-5 1图 3.11(a）所示为曲轴冲床简图由轮 I、连杆 AB 和冲头 B 组成。 A、B 两处为固定铰链连接。OA=R，AB=1。如忽略摩擦和物体的自重，当OA在水平位置、冲压力为P时，求：（1）作用在轮1上的力偶矩M的大小：（2）轴承0处的约束反力：(3）连杆AB受的力：（4）冲头给导轨的侧压力。图3.11解：（1）首先以冲头为研究对象。受力如图3.11（b）所示，为平面汇交力系。设连杆与铅

于 D 点的集中力 Q，在受力图上不再画 q，以免重复。因 AB 梁上只作用主动力 Q 且铅 直向下，故判断 B 铰链的约束反力只有铅直分量 FBy，AB 梁在平面平行力系作用下平衡， 列平衡方程 ( ) 0 3 0 M F R Q B A = − + = 解得 30 10 3 3 A Q R KN = = = ( ) 0 3 2 0 M F F Q A By = − = 解得 2 2 30 20 3 3 By Q F KN  = = = （2）再取 BC 梁为研究对象，受力如图 3.10（c）所示，FBy′和 FBy 是作用力与反作 用力，同样可以判断固定端 C 处受反力偶 MC和 Fcy。 BC 梁在任意力系作用下平衡，列 平衡方程 0 0 F F F y cy By  = − =  解得 20 F F KN cy By = =  ( ) 0 2 0 M F M T F B C Cy = + + = 解得 2 20 2 20 60 M T F KN m C cy = − − = − −  = − 负值表示 C 端约束反力偶的实际转向是顺时针。 【例 3-5 】图 3.11（a）所示为曲轴冲床简图由轮 I、连杆 AB 和冲头 B 组成。 A、B 两 处为固定铰链连接。OA = R，AB = l。如忽略摩擦和物体的自重，当 OA 在水平位置、冲 压力为 P 时，求：（1）作用在轮 I 上的力偶矩 M 的大小；（2）轴承 O 处的约束反力；（3） 连杆 AB 受的力；（4）冲头给导轨的侧压力。 图 3.11 解：（1）首先以冲头为研究对象。受力如图 3.11（b）所示，为平面汇交力系。设连杆与铅

垂线间的夹角为α，按图示坐标轴列平衡方程，得ZF=0N-S, sinα=0ZF,=0P-S,cosα=0解得N=PtaJ-RSs为正值，说明假设的Ss的方向与实际方向相同，即连杆受压力，如图3.11（c）所示2）再以轮1为研究对象。轮1受力如图3.11（d）所示。按图示坐标轴列平衡方程，得ZMo(F)=0 S,cosα-M=02r.=0For+S, sinα=0ZF,=0Fo,+S, cosα=0解得：M=PRFor=-S, sinα-PtanaJP- R?-S,cosαFoy =负号说明，力For、Foy的方向与图示假设的方向相反。解平面力系平衡问题的方法和步骤：（1）正确选择研究对象。对于物体系统，往往要选两个以上的研究对象。选择研究对象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象：也可选物体系统和系统内由若干物体组成的局部为研究对象；还可考虑把物体系统全部拆开来逐个分析，其平衡问题总是可以解决的。因此，在分析时，应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路，确定最简的解题过程。（2）画出受力图。在受力图上画出作用在研究对象上所受的全部主动力和约束反力。根据约束特点去分析约束反力，不能主观地随意设想，对于工程上常见的几种约束类型要正确理解，熟练掌握。对于物体系统，每确定一个研究对象，必须单独画出它的受力图，不能把几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。还应特别注意各受力图之间的统一和协调，注意区分外力和内力，在受力图上不画内力。（3）列平衡方程。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。平面任意力系只能列出三个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列两个：平面力偶系只能列一个列平衡方程时，应选取适当的坐标轴和矩心。应尽可能选与力系中较多未知力的作用线平行或垂直的坐标轴，以利于列投影方程，矩心则尽可能选在力系中较多未知力的交点上，以减少力矩的计算。总之，选择的原则是应使每个平衡方程中未知量越少越好，最好每个方程中只含有一个未知量，以避免解联立方程。（4）解方程，求未知量。要注意计算结果的正负号，正号表示所假设的指向与实际的指向相同，负号表示所假设的指向与实际的指向相反。在运算过程中，应连同正负号代入其他

垂线间的夹角为α，按图示坐标轴列平衡方程，得 0 sin 0 0 cos 0 x B y B F N S F P S   = − = = − =   解得 2 2 cos B P pl S  l R = = − 2 2 tan pR N P l R = =  − SB为正值，说明假设的 SB的方向与实际方向相同，即连杆受压力，如图 3.11（c）所示。 （2）再以轮 I 为研究对象。轮 I 受力如图 3.11（d）所示。按图示坐标轴列平衡方程，得： ( ) 0 cos 0 0 sin 0 0 cos 0 O A x Ox A y Oy A M F S M F F S F F S    = − = = + = = + =    解得： M PR = 2 2 sin tan Ox A PR F S P l R = − = − = −   − cos F S P Oy A = − = −  负号说明，力 FOx、FOy的方向与图示假设的方向相反。 解平面力系平衡问题的方法和步骤： （1）正确选择研究对象。对于物体系统，往往要选两个以上的研究对象。选择研究对 象存在多种可能性。例如，可选物体系统和系统内某个构件为研究对象；也可选物体系统和 系统内由若干物体组成的局部为研究对象；还可考虑把物体系统全部拆开来逐个分析，其平 衡问题总是可以解决的。因此，在分析时，应排好研究对象的先后次序，整理出解题思路， 确定最简的解题过程。 （2）画出受力图。在受力图上画出作用在研究对象上所受的全部主动力和约束反力。 根据约束特点去分析约束反力，不能主观地随意设想，对于工程上常见的几种约束类型要正 确理解，熟练掌握。对于物体系统，每确定一个研究对象，必须单独画出它的受力图，不能 把几个研究对象的受力图都画在一起，以免混淆。还应特别注意各受力图之间的统一和协调， 注意区分外力和内力，在受力图上不画内力。 （3）列平衡方程。列平衡方程要根据物体所受的力系类型列出。平面任意力系只能列 出三个独立的平衡方程，平面汇交力系或平面平行力系只能列两个；平面力偶系只能列一个。 列平衡方程时，应选取适当的坐标轴和矩心。应尽可能选与力系中较多未知力的作用线平行 或垂直的坐标轴，以利于列投影方程，矩心则尽可能选在力系中较多未知力的交点上，以减 少力矩的计算。总之，选择的原则是应使每个平衡方程中未知量越少越好，最好每个方程中 只含有一个未知量，以避免解联立方程。 （4）解方程，求未知量。要注意计算结果的正负号，正号表示所假设的指向与实际的指 向相同，负号表示所假设的指向与实际的指向相反。在运算过程中，应连同正负号代入其他