内蒙古科技大学：《工程力学》课程授课教案（讲义）第7章 扭转

第7章教学方案一一扭转扭转的概念和内力分析基本内容纯剪切圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算圆轴扭转时的变形与刚度计算了解扭转变形的工程实例，掌握用截面法求截面上扭矩并画扭矩图教2、理解纯剪切的概念、切应力互等定理。学目3、熟练掌握圆轴扭转时横截面上的应力分布及强度计算。的、掌握圆轴扭转时的变形和扭转刚度计算。4重点圆轴扭转时横截面上的应力及扭转角的计算。、难点

第 7 章 教学方案 ——扭转 基 本 内 容 扭转的概念和内力分析 纯剪切 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 圆轴扭转时的变形与刚度计算 教 学 目 的 1、了解扭转变形的工程实例，掌握用截面法求截面上扭矩并画扭 矩图。 2、理解纯剪切的概念、切应力互等定理。 3、熟练掌握圆轴扭转时横截面上的应力分布及强度计算。 4、掌握圆轴扭转时的变形和扭转刚度计算。 重 点 、 难 点 圆轴扭转时横截面上的应力及扭转角的计算

第7章扭转7.1扭转的概念和内力分析7.1.1扭转的工程实例。在工程实际和日常生活中经常遇到扭转变形的杆件，例如，扭转是杆件基本变形之图7.1（a）中方向盘带动的汽车转向轴和图7.1（b）中拧螺丝用到的螺丝刀等。5图7这些杆件都是各横截面绕轴线发生相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。以扭转变形为主的杆件称为轴。7.1.2圆轴扭转的受力和变形特点扭转变形杆件的计算简图如图7.2所示。图7.2其受力和变形特点为：受力特点：受到一对大小相等，方向相反，作用面与横截面平行的外力偶作变形特点：轴表面上平行于轴线的母线倾斜角，同时各横截面绕轴线相对转动，产生了扭转角。图中称为剪切角：称为扭转角。7.1.3外力偶矩的计算在工程中，通常给出的是轴上所传送的功率和轴的转速。设轴所传递的功率为P，外力偶矩为M。，轴的角速度为の。则通过功率、转速与外力偶矩间的关系确定外力偶矩。由转动功率的计算方法知P=M·0

第 7 章 扭 转 7.1 扭转的概念和内力分析 7.1.1 扭转的工程实例 扭转是杆件基本变形之一。在工程实际和日常生活中经常遇到扭转变形的杆件，例如， 图 7.1（a）中方向盘带动的汽车转向轴和图 7.1（b）中拧螺丝用到的螺丝刀等。 图 7.1 这些杆件都是各横截面绕轴线发生相对转动。杆件的这种变形形式称为扭转变形。以扭 转变形为主的杆件称为轴。 7.1.2 圆轴扭转的受力和变形特点 扭转变形杆件的计算简图如图 7.2 所示。 图 7.2 其受力和变形特点为： 受力特点：受到一对大小相等，方向相反，作用面与横截面平行的外力偶作用。 变形特点：轴表面上平行于轴线的母线倾斜 γ 角，同时各横截面绕轴线相对转动，产生 了扭转角 φ。图中 γ 称为剪切角；φ 称为扭转角。 7.1.3 外力偶矩的计算 在工程中，通常给出的是轴上所传送的功率和轴的转速。设轴所传递的功率为 P ，外 力偶矩为 Me ，轴的角速度为 ω 。则通过功率、转速与外力偶矩间的关系确定外力偶矩。 由转动功率的计算方法知： P = Me 

故：M.=上式中功率P的单位为瓦（w)，角速度的单位为弧度/秒（rad/s)。若取工程中常用单位功率为千瓦（kW），力偶矩为牛米（N·m），转速n为转/分（r/min）。做单位变换，代入上式，得M。=9549(N·m)(7-1)7.1.4 扭转时横截面上的扭矩和扭矩图图7.3（a）所示为一受扭圆轴，若欲求m－m横截面上的内力，则可假想地用一平面沿m-m截面将该轴分为I、IⅡI两部分如图7.3（b）(c)所示。若取左段1研究，由该段的平衡方程可知，在m-m截面上必存在一个转向与外力偶M,相反的内力偶T。列平衡方程0.00-I店00图 7.3 T-M,=0T=M.式中T为m-m截面上的内力偶矩，称为扭矩，它是I、IⅡI两部分m-m截面上相互作用的分布内力系的合力偶矩扭矩T的符号规定如下：若按右手螺旋法则把T表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，T为正：反之为负如果作用于轴上的外力偶多于两个，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不尽相同，则需分段求出扭矩。为了表示沿轴线各截面的扭矩变化情况，用扭矩图来表示。【例7-1】图7.4(a)所示轴，已知转速n=955r/min，功率由轮B输入，Pg=100kW通过轮A、C输出，PA=40kW,P。=60kW，试作轴的扭矩图。解：（1）外力偶矩计算由式（7-1）得100Mg=9549=9549×=1000N.m955×40 =400N·mMA =9549 PA =9549x955

故：  P M e = 上式中功率 P 的单位为瓦（w），角速度的单位为弧度/秒（rad/s）。若取工程中常用单位： 功率为千瓦（ kW ），力偶矩为牛米（ Nm ），转速 n 为转/分（ r/min ）。做单位变换，代 入上式，得 n P M e = 9549 （ Nm ） （7-1） 7.1.4 扭转时横截面上的扭矩和扭矩图 图 7.3（a）所示为一受扭圆轴，若欲求 m−m 横截面上的内力，则可假想地用一平面 沿 m−m 截面将该轴分为 I、II 两部分如图 7.3（b）,(c)所示。若取左段 I 研究，由该段的平 衡方程可知，在 m−m 截面上必存在一个转向与外力偶 Me 相反的内力偶 T。列平衡方程 图 7.3 e e 0 T M T M = − = 式中 T 为 m−m 截面上的内力偶矩，称为扭矩，它是 I、II 两部分 m−m 截面上相互 作用的分布内力系的合力偶矩。 扭矩 T 的符号规定如下：若按右手螺旋法则把 T 表示为矢量，当矢量方向与截面的外 法线方向一致时， T 为正；反之为负。 如果作用于轴上的外力偶多于两个，外力偶将轴分成若干段，各段横截面上的扭矩不 尽相同，则需分段求出扭矩。为了表示沿轴线各截面的扭矩变化情况，用扭矩图来表示。 【例 7-1】 图 7.4(a)所示轴，已知转速 n = 955r/min ，功率由轮 B 输入， PB =100kW ， 通过轮 A 、C 输出， PA = 40kW,PC = 60kW ，试作轴的扭矩图。 解：（1）外力偶矩计算 由式（7-1）得 1000N m 955 100 9549 9549 B B = =  =  n P M 400N m 955 40 9549 9549 A A = =  =  n P M

60 = 600N·mMe=9549= 9549×955中兰ACT1M400Nm图 7.4（2）扭矩计算用截面法分别计算AB和BC段扭矩（按正向假设，如图7.4（c）所示）。由平衡条件M，=0,可得：T =-M^=-400N-m, T, =Mc= 600N.m（3）作扭矩图如图7.4（d）所示。7.2纯剪切7.2.1 薄壁圆简扭转时的切应力分析图7.5（a）所示为一薄壁圆筒，其壁厚t远远小于其平均半径r（t≤)。为了得到横截面上的应力分布情况，作扭转试验。观察变形现象得如下变形特点（图7.5（b))：(D)圆周线的形状、大小和间距均不变；(2)在小变形下，纵向线倾斜相同的角度且仍近似为直线：(3)表面的方格左、右两边发生相对错动而变为平行四边形。0图 7.5

600N m 955 60 9549 9549 C C = =  =  n P M 图 7.4 （2）扭矩计算 用截面法分别计算 AB 和 BC 段扭矩（按正向假设，如图 7.4（c）所示）。 由平衡条件  = 0, Mx 可得： T1 = −MA = −400Nm， T2 = MC = 600Nm （3）作扭矩图 如图 7.4（d）所示。 7.2 纯剪切 7.2.1 薄壁圆筒扭转时的切应力分析 图 7.5（a）所示为一薄壁圆筒，其壁厚 t 远远小于其平均半径 0 r （ 10 0 r t  ）。为了得到横截 面上的应力分布情况，作扭转试验。观察变形现象得如下变形特点（图 7.5（b））： （1） 圆周线的形状、大小和间距均不变； （2） 在小变形下，纵向线倾斜相同的角度且仍近似为直线； （3） 表面的方格左、右两边发生相对错动而变为平行四边形。 图 7.5

结论：当薄壁圆简扭转时，其横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只有切应力t。因为筒壁的厚度1很小，可以认为沿壁厚切应力均匀分布。又由于在同一圆周上各点变形相同，应力也就相同，方向沿圆周切线方向，如图7.5（c）所示。横截面上切应力t的合力为横截面上的扭矩T，即：T=JrotdA-f"rot rdo=2.rot-t战(7-2)2-2元.17.2.2纯剪切的概念、切应力互等定理用相邻的两个横截面p-p和q-g和两个纵向截面，从圆筒中取出边长分别为dxdy和t的微小六面体，称之为单元体，如图7.6所示。单元体左、右两侧面是圆筒横截面的部分，其上应力数值相等但方向相反，形成了一个力偶，力偶矩为(ttdy)dx。由于圆筒平衡，单元体必也平衡。为保持其平衡，单元体的上、下两个侧面上必然有切应力，且大小相等方向相反，组成一个与（ttdy)dx相平衡的力偶。设上、下两个侧面上的切应力为t，由ZM,=0得:(t -tdy)dx =(t'tdx)dy所以T=T图7.6即：在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线，方向共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪切。7.2.3剪切胡克定律实验可得，在弹性变形范围内，切应力与切应变成正比，其关系可表示为(7-3)T=G其中G为材料的剪切弹性模量或称切变模量式（7-3）称为剪切胡克定律，即在剪切弹性范围内，切应变与切应力T成正比。至此，已经介绍了三个与材料有关的弹性常数E、Ⅱ、G，对各向同性材料，三者的关系为

结论：当薄壁圆筒扭转时，其横截面及包含轴线的纵向截面上都没有正应力，横截面上只 有切应力 τ 。 因为筒壁的厚度 t 很小，可以认为沿壁厚切应力均匀分布。又由于在同一圆周上各点变 形相同，应力也就相同，方向沿圆周切线方向，如图 7.5（c）所示。横截面上切应力 τ 的合 力为横截面上的扭矩 T ，即：       = = =     T r A r r r t A 2 0 0 2 0 0 d 0 d 2 故： r t T 2 2 0  =   （7-2） 7.2.2 纯剪切的概念、切应力互等定理 用相邻的两个横截面 p − p 和 q − q 和两个纵向截面，从圆筒中取出边长分别为 dx,dy 和 t 的微小六面体，称之为单元体，如图 7.6 所示。单元体左、右两侧面是圆筒横截面的一 部分，其上应力数值相等但方向相反，形成了一个力偶，力偶矩为 (τtdy)dx 。由于圆筒平衡， 单元体必也平衡。为保持其平衡，单元体的上、下两个侧面上必然有切应力，且大小相等、 方向相反，组成一个与 (τtdy)dx 相平衡的力偶。设上、下两个侧面上的切应力为 / τ ，由 Mz = 0 得： ( tdy)dx ( tdx)dy /   =  所以 /  =  图 7.6 即：在相互垂直的一对平面上，切应力同时存在，数值相等，且都垂直于两个平面的交线， 方向共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理。 单元体的上、下、左、右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种应力状态称为纯剪 切。 7.2.3 剪切胡克定律 实验可得，在弹性变形范围内，切应力与切应变成正比，其关系可表示为：  = G （7-3） 其中 G 为材料的剪切弹性模量或称切变模量。 式（7-3）称为剪切胡克定律，即在剪切弹性范围内，切应变 γ 与切应力 τ 成正比。 至此，已经介绍了三个与材料有关的弹性常数 E 、μ、 G ，对各向同性材料，三者的 关系为

EG=21+M)(7-4)7.3圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算7.3.1圆轴扭转时横截面上的应力分析1、变形几何关系圆轴扭转平面假设：等直圆轴发生扭转变形后，其横截面仍保持为平面，其大小、形状和横截面间的距离均保持不变，横截面如同刚性平面般绕轴线转动。如图7.7（a）所示为一受扭圆轴，图7.7从变形后的圆轴中取出长为dx的一段，如图7.7（b）所示。从图7.7（b）所示关系，可知dd' = ,dx= pdp所以ode(7-5)Y=Pdx式中，为单位长度的扭转角，对于给定的横截面为常量。式（7-5）说明，等直圆轴受扭时，横截面上任一点处的切应变与到轴心的距离p成正比。2、物理关系在弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律，由式（7-3）可得f,=Gr,=G.ple(7-6)上式表明，横截面上切应力与到轴心的距离成正比。切应力的分布如图7.8（a）所示。3、静力学关系如图7.8（b）所示，在距圆心p处的微面积dA上，内力dF=t,dA对圆心的微力矩为(t,dA)·p。在整个截面上，所有微力矩之和应等于扭矩T，即T=L,p-t,d4

2(1+ ) = E G （7-4） 7.3 圆轴扭转时横截面上的应力和强度计算 7.3.1 圆轴扭转时横截面上的应力分析 1、 变形几何关系 圆轴扭转平面假设：等直圆轴发生扭转变形后，其横截面仍保持为平面，其大小、形状 和横截面间的距离均保持不变，横截面如同刚性平面般绕轴线转动。 如图 7.7（a）所示为一受扭圆轴， 图 7.7 从变形后的圆轴中取出长为 dx 的一段，如图 7.7（b）所示。从图 7.7（b）所示关系，可知 dd =  dx = d / 所以 dx d   =  （7-5） 式中， dx d 为单位长度的扭转角，对于给定的横截面为常量。式（7-5）说明，等直圆轴受 扭时，横截面上任一点处的切应变   与到轴心的距离 ρ 成正比。 2、 物理关系 在弹性范围内，切应力与切应变服从剪切胡克定律，由式（7-3）可得 dx d G G    =   =   （7-6） 上式表明，横截面上切应力与到轴心的距离成正比。切应力的分布如图 7.8（a）所示。 3、 静力学关系 如图 7.8（b）所示，在距圆心 ρ 处的微面积 dA 上，内力 dF = τ ρdA 对圆心的微力矩为 τ dA) ρ ρ (  。在整个截面上，所有微力矩之和应等于扭矩 T ，即 T dA A =    

式中，A为横截面面积，将得到的应力关系（7-6）代入上式可得-1,pp-d-Lod积分,o~dA只与截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，用1,表示，即Ip=Lp'dA(7-7)于是得do=1(7-8)dx"Gl,再将上式代入应力关系式（7-6），有T(7-9)pI.式（7-9）即为圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式，对于空心圆轴同样适用。(a)(b)图7.87.3.2圆轴扭转时的强度条件D由式（7-9）知，当p==R，即在圆轴外表面上各点切应力最大，其值为TR_TTmxTB若令W=%(7-10)则上式可写成Tm"W(7-11)式中W，是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数

式中， A 为横截面面积，将得到的应力关系（7-6）代入上式可得 dA dx d dA G dx d T G A A =   = 2      积分 dA A 2  只与截面尺寸有关，称为截面的极惯性矩，用 P I 表示，即 I dA A = 2 P  （7-7） 于是得 GIP T dx d =  （7-8） 再将上式代入应力关系式（7-6），有    P I T = （7-9） 式（7-9）即为圆轴扭转时横截面上的切应力计算公式，对于空心圆轴同样适用。 图 7.8 7.3.2 圆轴扭转时的强度条件 由式（7-9）知，当 R D = = 2  ，即在圆轴外表面上各点切应力最大，其值为 R I T I TR P P  max = = 若令 R I W P P = （7-10） 则上式可写成 P max W T  = （7-11） 式中 WP 是一个与截面尺寸有关的量，称为抗扭截面系数

为了保证扭转时的强度，必须使最大切应力不超过许用切应力[]。于是可建立圆轴受扭时的强度条件：f[(7-12)W式中，T为危险截面上的扭矩，[]为轴材料的许用切应力对于塑性材料[1]=(0.5~0.6]0]对于脆性材料[]=(0.8~1.0]g]7.3.3极惯性矩和抗扭截面系数如图7.9（a）所示，即dA=2元pdp。从式（7-7）和（7-10）得实心圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数为W=分-D=J,p'dp-2apd=：163212设空心圆轴的内、外径分别为d和D，如图7.9（b）所示，其比值α=%，则从式（7-7）和（7-10）可得TDp=,p’d4=p2.2pdp=2a-α)：W=(-α")式中，I,的单位为m*，W,的单位为m2。图 7.9 【例7-2】一阶梯轴计算简图如图7.11（a）所示。已知，D,=20mm,D,=18mm，许用切应力[]=60MPa。求许可的最大外力偶矩M。解：（1）作扭矩图如图7-12（b）所示。虽然BC段扭矩比AB段小，但其直径也比AB段

为了保证扭转时的强度，必须使最大切应力不超过许用切应力 τ 。于是可建立圆轴受 扭时的强度条件：  =    P max max W T （7-12） 式中， Tmax 为危险截面上的扭矩， τ 为轴材料的许用切应力。 对于塑性材料 τ = (0.5~0.6)σ 对于脆性材料 τ = (0.8~1.0)σ 7.3.3 极惯性矩和抗扭截面系数 如图 7.9（a）所示，即 dA = 2d 。从式（7-7）和（7-10）得实心圆截面的极惯性矩 和抗扭截面系数为 32 2 4 2 0 2 2 P D I dA d D A  =  =      =   ； 16 2 3 P P D D I W  = = 设空心圆轴的内、外径分别为 d 和 D ，如图 7.9（b）所示，其比值 D d  = ，则从式 （7-7）和（7-10）可得 (1 ) 32 2 4 4 2 2 2 2 P   =  =      = −   D I dA d D d A ； (1 ) 16 3 4 P   W = D − 式中， P I 的单位为 4 m ， WP 的单位为 3 m 。 图 7.9 【例 7-2】 一阶梯轴计算简图如图 7.11（a）所示。已知， D1 = 20mm,D2 =18mm ，许用 切应力   = 60MPa 。求许可的最大外力偶矩 Me 。 解：（1）作扭矩图如图 7-12（b）所示。虽然 BC 段扭矩比 AB 段小，但其直径也比 AB 段

小，因此两段轴的强度都必须考虑。（2）许可的最大外力偶矩M。DD按AB段强度计算Tx!/6b）6010(27Nm32图7.11T-2Mg≤[]按BC段强度计算Tm"W"6M[60×10(8×10687Nm16故许可外力偶矩M。=62.7N·m。7.4 圆轴扭转时的变形与刚度计算7.4.1 圆轴扭转时的变形根据式（7-8）可得，相距为dx的两截面间的相对扭转角为：d=-l,dr(7-13)扭转角的转向与扭矩的符号相对应。长为1的圆轴扭转角计算公式为：0-Jdo- ld(7-14)若在轴两截面之间的T值不变，且轴为等直圆轴，则：-E(7-15)式中GI称为圆轴的抗扭刚度，GI,愈大，Φ就愈小。若轴在各段内的扭矩T并不相同，或者各段内截面极惯性矩1，不同（如阶梯轴），则分段计=Z算各段的相对转角，然后求其代数和。即：(7-16)台GIm7.4.2圆轴扭转时的刚度条件和三类刚度计算间题

小，因此两段轴的强度都必须考虑。 （2）许可的最大外力偶矩 Me 按 AB 段强度计算     = =  16 2 3 1 e P1 1 max 1 D M W T   62.7N m 32 (22 10 ) 60 10 32 3 3 6 3 1 e =     =   −    D M 按 BC 段强度计算     = =  16 2 3 2 e P 2 2 max 2 D M W T   68.7N m 16 (18 10 ) 60 10 32 3 3 6 3 2 e =     =   −    D M 故许可外力偶矩 Me = 62.7N m。 7.4 圆轴扭转时的变形与刚度计算 7.4.1 圆轴扭转时的变形 根据式（7-8）可得，相距为 dx 的两截面间的相对扭转角为： x GI T d d P  = （7-13） 扭转角的转向与扭矩的符号相对应。长为 l 的圆轴扭转角计算公式为： dx GI T d l l  = = 0 P   （7-14） 若在轴两截面之间的 T 值不变，且轴为等直圆轴，则： GIP T l  = （7-15） 式中 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，GIP 愈大，  就愈小。 若轴在各段内的扭矩 T 并不相同，或者各段内截面极惯性矩 P I 不同（如阶梯轴），则分段计 算各段的相对转角，然后求其代数和。即 ： = = n i i i i GI T l 1 P  （7-16） 7.4.2 圆轴扭转时的刚度条件和三类刚度计算问题 图 7.11

为了防止因过大的扭转变形而影响机器的正常工作，必须对某些轴的扭转角加以限制。由于实际中轴的长度不同，通常将轴的单位长度扭转角作为扭转变形指标，要求它不超过规定的许用值[]。由式（7-8）知，单位长度的扭转角为：0-do-(rad/m)dxGlp由此可建立圆轴扭转的刚度条件： mx ≤[0] ( rad/m)(7-17)9max=CT)对于等直圆轴有r s[0]Ox"Gl(rad/m)(7-18)【例73】已知图7.13所示某传动轴的转速n=500r/min传递的功率P = 380kW,P, =160kW, P, =220kW,轴的[]- 70MPa,[0]=1° /m,G=80GPa 。试分别设计AB段、BC段圆轴的直径。TtO4202N7257N.图 7.13解：（1）计算外力偶矩，作扭矩图380Me=9549=9549×=7257N·mx160=3055N.mMe = 9549 ≥ = 9549 x500Mg = 9549=9549 ×220= 4202N·m500

为了防止因过大的扭转变形而影响机器的正常工作，必须对某些轴的扭转角加以限制。 由于实际中轴的长度不同，通常将轴的单位长度扭转角 dx d 作为扭转变形指标，要求它不超 过规定的许用值  。由式（7-8）知，单位长度的扭转角为： GIP T dx d = =   （ rad/m) 由此可建立圆轴扭转的刚度条件：  =    max P max ( ) GI T （ rad/m) （7-17） 对于等直圆轴有  =    P max max GI T （ rad/m) （7-18） 【 例 7-3 】 已知图 7.13 所 示 某 传 动 轴 的 转 速 n = 500r/min 传 递 的 功 率 P1 = 380kW,P2 =160kW ，P3 = 220kW ，轴的   = 70MPa ，  1 / m   = ，G = 80GPa 。 试分别设计 AB 段、BC 段圆轴的直径。 图 7.13 解：（1）计算外力偶矩，作扭矩图 7257N m 500 380 9549 9549 1 e1 = =  =  n P M 3055N m 500 160 9549 9549 2 e2 = =  =  n P M 4202N m 500 220 9549 9549 3 e3 = =  =  n P M