内蒙古科技大学：《工程力学》课程授课教案（讲义）第9章 弯曲变形

第9章教学方案-一弯曲变形弯曲变形概述基本内容挠曲线微分方程及其积分用叠加法求梁的位移简单静不定梁了解梁弯曲变形的工程实例，掌握挠度及转角的概念及关系。教学目2、理解挠曲线微分方程及其积分。3、熟练掌握用叠加法求梁的变形。了解简单静不定梁的求解。的重点叠加法求梁的变形。、难点

第 9 章 教学方案 ——弯曲变形 基 本 内 容 弯曲变形概述 挠曲线微分方程及其积分 用叠加法求梁的位移 简单静不定梁 教 学 目 的 1、了解梁弯曲变形的工程实例，掌握挠度及转角的概念及关系。 2、理解挠曲线微分方程及其积分。 3、熟练掌握用叠加法求梁的变形。 4、了解简单静不定梁的求解。 重 点 、 难 点 叠加法求梁的变形

第9章弯曲变形弯曲变形概述9.19.1.1 弯曲变形问题的工程实例弯曲变形：当杆件受弯时，杆件的轴线由直线变成曲线，称为弯曲变形。限制弯曲变形的工程实例：在工程实际中，为保证受弯构件的正常工作，除了要求构件有足够的强度外，在某些情况下，还要求其弯曲变形不能过大，即具有足够的刚度。例如，轧钢机在轧制钢板时，轧辊的弯曲变形将造成钢板沿宽度方向的厚度不均匀（图9.1)；齿轮轴若弯曲变形过大，将使齿轮啮合状况变差，引起偏磨和噪声（图9.2)。I-十十12F图 9.图9.3利用弯曲变形的工程实例：例如，汽车轮轴上的叠板弹簧（图9.3），就是利用弯曲变形起到缓冲和减振的作用的。此外，在求解静不定梁时，也需考虑梁的变形。9.1.2 梁的位移的度量一一度和转角在载荷作用下梁将发生平面弯曲，其轴线由直线变为一条连续光滑的平面曲线，该曲线称为挠曲线（图9.4)。以梁的最左端O点为原点建立坐标系Oxy，曲线上任一点x处的纵坐标w是梁x横截面的形心沿方向的线位移，称为挠度。为了表示清楚位移的方向，规定向上的挠度w为正，向下的挠度w为负。这样，挠曲线方程可以写为w=w(x)(9-1)在小变形情况下，梁的挠度远小于梁的跨度1，因此可以忽略截面形心沿轴线方向的位移弯曲变形时，横截面绕中性轴发生转动，其转过的角度0称为转角。转角0就是挠曲线法线与y轴的夹角。为了表示转角的转向，规定逆时针为正，顺时针为负。转角可以用转角方程表示0= 0(x)(9-2)O18挠曲线图9.4

图 9.1 图 9.2 图 9.3 第 9 章 弯曲变形 9.1 弯曲变形概述 9.1.1 弯曲变形问题的工程实例 弯曲变形：当杆件受弯时，杆件的轴线由直线变成曲线，称为弯曲变形。 限制弯曲变形的工程实例：在工程实际中，为保证受弯构件的正常工作，除了要求构件有足够 的强度外，在某些情况下，还要求其弯曲变形不能过大，即具有足够的刚度。例如，轧钢机在轧制 钢板时，轧辊的弯曲变形将造成钢板沿宽度方向的厚度不均匀（图 9.1）；齿轮轴若弯曲变形过大， 将使齿轮啮合状况变差，引起偏磨和噪声（图 9.2）。 利用弯曲变形的工程实例：例如，汽车轮轴上的叠板弹簧（图 9.3），就是利用弯曲变形起到缓 冲和减振的作用的。此外，在求解静不定梁时，也需考虑梁的变形。 9.1.2 梁的位移的度量——挠度和转角 在载荷作用下梁将发生平面弯曲，其轴线由直线变为一条连续光滑的平面曲线，该曲线称为挠 曲线（图 9.4）。以梁的最左端 O 点为原点建立坐标系 Oxy，挠曲线上任一点 x 处的纵坐标 w 是梁 x 横截面的形心沿 y 方向的线位移，称为挠度。为了表示清楚位移的方向，规定向上的挠度 w 为正， 向下的挠度 w 为负。这样，挠曲线方程可以写为 w = w(x) （9-1） 在小变形情况下，梁的挠度远小于梁的跨度 l，因此可以忽略截面形心沿轴线方向的位移。 弯曲变形时，横截面绕中性轴发生转动，其转过的角度 θ 称为转角。转角 θ 就是挠曲线法线与 y 轴的夹角。为了表示转角的转向，规定逆时针为正，顺时针为负。转角可以用转角方程表示  =  (x) （9-2） 图 9.4

9.1.3挠度和转角的关系弯曲变形用挠度w和转角0这两个位移量来度量。由图9.4可以看出，转角与挠曲线在该点的切线倾角相等。在小变形情况下0= tano- dw(9-3)dx即横截面的转角可以用该点处挠曲线切线的斜率表示。只要知道挠曲线方程，就能确定梁上任横截面的挠度和转角9.1.4梁的刚度条件在工程实际中，为了保证弯曲杆件的正常工作，有时会限定梁的最大挠度和最大转角，得到刚度条件l [ (9-4)jo [0] 式中，[和[]分别为许用挠度和许用转角。9.2挠曲线微分方程及其积分9.2.1挠曲线微分方程在纯弯曲时，挠曲线曲率1/p与弯矩M的关系为式（8-1)，即I_MP"EI在横力弯曲时，如果是细长梁，剪力对变形的影响可以忽略，上式仍然成立，但曲率和弯矩都是x的函数，即M(a)(a)p()"EIw=w(x)上任一点的曲率为S(b)p()"())一

9.1.3 挠度和转角的关系 弯曲变形用挠度 w 和转角 θ 这两个位移量来度量。由图 9.4 可以看出，转角θ与挠曲线在该点 的切线倾角相等。在小变形情况下 x w d d   tan = （9-3） 即横截面的转角可以用该点处挠曲线切线的斜率表示。只要知道挠曲线方程，就能确定梁上任 一横截面的挠度和转角。 9.1.4 梁的刚度条件 在工程实际中，为了保证弯曲杆件的正常工作，有时会限定梁的最大挠度和最大转角，得到刚 度条件             max max w f （9-4） 式中，[f]和[θ]分别为许用挠度和许用转角。 9.2 挠曲线微分方程及其积分 9.2.1 挠曲线微分方程 在纯弯曲时，挠曲线曲率 1/ρ 与弯矩 M 的关系为式（8-1），即 EI M =  1 在横力弯曲时，如果是细长梁，剪力对变形的影响可以忽略，上式仍然成立，但曲率和弯矩都是 x 的函数，即 ( ) ( ) EI M x x =  1 （a） w = w(x) 上任一点的曲率为 ( ) 2 3 2 2 2 d d 1 d d 1               + =  x w x w  x （b）

(b)图9.5d"w_M(d)（c）根据弯矩11EI的待号规定和接曲线二阶导数与曲率中心方位的关系,在所取坐标系下等能M的正负号始终与的正负号一致d'w_M(a)(9-5)dx?EI式(9-5)即为梁的挠曲线微分方程。9.2.2挠曲线微分方程的积分对式(9-5)积分一次，得转角方程o-dw-[兰dx+c(9-6a)Ldx再积分一次。可得曲线方程Mdxdx+Cx+L(9-6b)式中C、D为积分常数。为等截面梁时，EI为常数，可以提到积分符号外面。如果梁的弯矩方程是分段函数，则上面的积分式也应分段积分。9.2.3积分常数的确定积分常数C和D可以通过梁上某些位置的已知挠度和转角或应满足的变形关系来确定。支承条件：支座处的挠度或转角是已知的。例如铰支座处的挠度为零，，则在图9.6（a）中，在=0和x=l处，w=W,=0：又如固定端约束处的度和转角均为零，则在图9.6（b）中，在x=0处WA=0、OA=0。只要将这些数据代入式（9-6）中就可确定 C和 D。3=8ARFi(a)(b)A图 9.6图9.7

图 9.5 图 9.7 ( ) EI M x x w  = 2 2 d d （c）根据弯矩 的符号规定和挠曲线二阶导数与曲率中心方位的关系，在所取坐标系下弯矩 M 的正负号始终与 2 2 d d x w 的正负号一致 ( ) EI M x x w = 2 2 d d （9-5） 式(9-5)即为梁的挠曲线微分方程。 9.2.2 挠曲线微分方程的积分 对式(9-5)积分一次，得转角方程 x C EI M x w = = +  d d d  （9-6a） 再积分—次．可得挠曲线方程 x x Cx D EI M w  + +      =   d d （9-6b） 式中 C、D 为积分常数。当梁为等截面梁时，EI 为常数，可以提到积分符号外面。如果梁的弯矩方 程是分段函数，则上面的积分式也应分段积分。 9.2.3 积分常数的确定 积分常数 C 和 D 可以通过梁上某些位置的已知挠度和转角或应满足的变形关系来确定。 支承条件：支座处的挠度或转角是已知的。例如铰支座处的挠度为零，则在图 9.6（a）中，在 x=0 和 x=l 处，wA=wB=0；又如固定端约束处的挠度和转角均为零，则在图 9.6（b）中，在 x=0 处， wA=0、θA=0。只要将这些数据代入式（9-6）中就可确定 C 和 D。 图 9.6

连续光滑条件：因为挠曲线是一条连续光滑的曲线，所以在梁的积分分段点处，通过左右两段弯矩方程积分算出的挠度和转角是相等的。例如图9.7所示梁在集中力F作用点A处，有连续光滑条件为WA左-WA右和OA左=O4右。9.2.4用积分法求梁的位移对（9-5）式进行积分，并根据约束条件和连续光滑条件确定积分常数，再将已确定的积分常数代回积分式，即可得到梁的挠曲线方程和转角方程，从而可确定任一截面的挠度及转角。这种求梁的位移的方法称为积分法在工程计算中，习惯用，表示梁特定截面处的挠度。【例9-1】简支梁AB受均布载荷g作用，如图9.8所示。建立梁的挠曲线方程和转角方程，并计算最大挠度和最大转角。解：（1）计算支反力，列弯矩方程和挠曲线微分方程通过平衡方程可得Fg=Fag =%lTTTTITTT弯矩方程为fmaxqlrM(x)= Fa,x-q图 9.8故挠曲线微分方程为d?w9.(x-x)dx?=2EI（2）对挠曲线微分方程积分将上式积分两次，得o-dwq(x2x)dx2EI23g (_)+Cx+D和2Ei(612)（3）确定积分常数将约束条件x-0处W=0和x=I处W=0代入上式中，可得D=0, 和C =- 9l324F（4）建立曲线方程和转角方将C、D值代入积分式，分别得到挠曲线方程和转角方程9.(21x3 -xt -13x)W=24E0 - 4 (6-4-)（5）计算最大挠度和最大转角全梁上的弯矩都为正，所以梁的挠曲线是一条上凹的曲线，又根据结构和载荷的对称性，可画

图 9.8 连续光滑条件：因为挠曲线是一条连续光滑的曲线，所以在梁的积分分段点处，通过左右两段 弯矩方程积分算出的挠度和转角是相等的。例如图 9.7 所示梁在集中力 F 作用点 A 处，有连续光滑 条件为 wA 左=wA 右和 θA 左=θA 右。 9.2.4 用积分法求梁的位移 对（9-5）式进行积分，并根据约束条件和连续光滑条件确定积分常数，再将已确定的积分常数 代回积分式，即可得到梁的挠曲线方程和转角方程，从而可确定任一截面的挠度及转角。这种求梁 的位移的方法称为积分法。 在工程计算中，习惯用 f 表示梁特定截面处的挠度。 【例 9-1】简支梁 AB 受均布载荷 q 作用，如图 9.8 所示。建立梁的挠曲线方程和转角方程，并 计算最大挠度和最大转角。 解：（1）计算支反力，列弯矩方程和挠曲线微分方程 通过平衡方程可得 2 ql FAy = FBy = 弯矩方程为 故挠曲线微分方程为 ( ) d 2 d 2 2 2 lx x EI q x w = − （2）对挠曲线微分方程积分 将上式积分两次，得 C lx x EI q x w +        = = − d 2 2 3 d 2 3  和 Cx D lx x EI q w + +         = − 2 6 12 3 4 （3）确定积分常数 将约束条件 x=0 处 w=0 和 x=l 处 w=0 代入上式中，可得 D=0，和 EI ql C 24 3 = − （4）建立挠曲线方程和转角方程 将 C、D 值代入积分式，分别得到挠曲线方程和转角方程 ( ) ( ) 2 3 3 3 4 3 6 4 24 2 24 lx x l EI q lx x l x EI q w = − − = − −  （5）计算最大挠度和最大转角 全梁上的弯矩都为正，所以梁的挠曲线是一条上凹的曲线，又根据结构和载荷的对称性，可画 2 2 2 ( ) 2 qx x x ql M x F x qx = Ay − = −

出挠曲线的大致形状如图9.8中所示。在梁中点处有最大挠度，在梁的支座A、B处有最大转角。将相应的坐标代入挠曲线方程和转角方程中，得al5ql 和 0 = -24EIFmx =wl=! =-384EL负号表示其变形方向与规定的正向相反。【例9-2】图9.9所示简支梁在C点作用一集中力F，梁的抗弯刚度为EI，求梁的挠曲线方程和转角方程。解：（1）计算支反力，列弯矩方程通过平衡方程可得Fa-Fo-f分段列弯矩方程FhAC段M(x)= (0≤xi ≤a)CB 段FbM(x,) =x2 -F(xz -a)(a≤x, ≤1)图 9.9（2）分段列挠曲线微分方程并积分分别列AC和CD段的挠曲线微分方程，并两次积分，结果见下表。AC段(0<x<a)CB 段(a≤x2≤lEwFbx.FbElw"=x2 - F(x -a)Fba+CFba-Fl-a+C,Ehw'(a,)Ehw(a,)1212_Fbi+Cx+D,(b)Ehw--F+G++D(6)Elw=1 6166（3）确定积分常数积分出现4个常数，需4个条件来确定。因为曲线是连续光滑的曲线，在两段交界面C处由（ai）式确定的转角和由（a2）式确定的转角相等：由（bi）式确定的度和由（b2）确定的挠度相等。即+c--F(a-a"+C.1212Fb a_ Fba_F(a-a+C,a+D.+C,a+D, =1616Ci=C2, Di=D2由此可得：在梁的A、B两端有铰支座，根据约束条件有当xi=0时，EIv=Di=0Ehw=-(-+C,+D,=0当 x2=I 时,16

图 9.9 出挠曲线的大致形状如图 9.8 中所示。在梁中点处有最大挠度，在梁的支座 A、B 处有最大转角。将 相应的 x 坐标代入挠曲线方程和转角方程中，得 EI ql EI ql f w x l x 384 24 5 3 max 0 4 2 max = = − = = − = = 和   负号表示其变形方向与规定的正向相反。 【例 9-2】图 9.9 所示简支梁在 C 点作用一集中力 F，梁的抗弯刚度为 EI，求梁的挠曲线方程和 转角方程。 解：（1）计算支反力，列弯矩方程 通过平衡方程可得 l Fa F l Fb FAy = , By = 分段列弯矩方程 AC 段 ( ) (0 ) 1 x1 x1 a l Fb M x =   CB 段 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x F x a a x l l Fb M x = − −   （2）分段列挠曲线微分方程并积分 分别列 AC 和 CD 段的挠曲线微分方程，并两次积分，结果见下表。 AC 段 （0≤x1≤a） CB 段 （a≤x2≤l） (b ) 6 (a ) 2 1 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 C x D x l Fb EIw C x l Fb EIw x l Fb EIw = + +  = +  = (b ) 6 ( ) 6 (a ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C x D x a F x l Fb EIw C x a F x l Fb EIw x F x a l Fb EIw + + − = − + −  = −  = − − （3）确定积分常数 积分出现 4 个常数，需 4 个条件来确定。因为挠曲线是连续光滑的曲线，在两段交界面 C 处， 由（a1）式确定的转角和由（a2）式确定的转角相等；由（b1）式确定的挠度和由（b2）确定的挠度 相等。即 2 2 3 3 1 1 3 2 2 2 1 2 6 ( ) 6 6 2 ( ) 2 2 C a D a a F a l Fb C a D a l Fb C a a F a l Fb C a l Fb + + − + + = − + − + = − 由此可得： C1=C2， D1=D2 在梁的 A、B 两端有铰支座，根据约束条件有 当 x1=0 时， EIw=D1=0 当 x2=l 时， 0 6 ( ) 6 2 2 3 3 + + = − = − C l D l a F l l Fb EIw

可得Fb(r?-b2)D, =D, =0, C, =C, :61（4）建立挠曲线方程和转角方程将4个积分常数代回（al）、（a2）和（bi）、（b2）式，分别得到转角方程和挠曲线方程，见下表(0≤x≤aCB段（a≤x≤I)C段Fb(° - b? -3xi)[(-b"-3x)+(2-a)]Elw'=--Ew'=-!(c.)(c2)61Fbxi(-b2 -xi)[-6--x) +(2-a)]Elw=-(d,)Ew=-(d.)如果要求梁上的最大挠度和最大转角，可以首先根据曲线的大致形状判断最大值出现的截面位置。最大转角出现在两端截面上，在（ci）式和（c2）式中分别代入xi=0和x2=l，得o,--Fabl+b2,0g=Fab(1+a)6EIl6El若α>b，可以断定0n为最大转角。最大挠度可以用求极值的方法计算。可以证明，梁的最大挠度所在位置非常接近于梁的中点因此常用简支梁中点的挠度来代替梁的最大挠度。则有(372-462)fmx~w!48F积分法是求梁的变形的基本方法，它可以直接运用积分求得梁的挠曲线方程和转角方程，进而求出特定截面的挠度或转角9.3用叠加法求梁的位移在实际工程中，梁上可能同时作用几种载荷，此时若用积分法计算其位移，则计算过程比较烦琐，计算工作量大。由于研究的是小变形，材料处于线弹性阶段，因此所计算的梁的位移与梁上的载荷成线性关系。所以，当梁上同时作用几种载荷时，可先分别求出每一载荷单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各载荷同时作用时所引起的位移。这种计算弯曲变形的方法称为叠加法为了使用方便，将各种常见载荷作用下的简单梁的转角和挠度计算公式及挠曲线方程列于表9-1中。利用表格，按叠加法计算梁在多个载荷共同作用下所引起的位移是很方便的。9.3.1多个载荷作用时求梁的位移的叠加法根据叠加法，几个载荷共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面位移的代数和。F0【例9-3】求图9.10（a）所示梁C截面的挠度和B截面Qh的转角。设 EI为常数。解：（1）梁的位移的分解梁上有集度为q的均布载荷和集中力F作用，其C截面的挠度和B截面的转角为两个载荷单独作用下位移的代数Q和。即e0fe =(f)g +(fe)F0g =(08), +(08)rF=qlCAAfeYF0g)图9.10

图 9.10 可得 ( ) 6 0, 2 2 1 2 1 2 l b l Fb D = D = C = C = − − （4）建立挠曲线方程和转角方程 将 4 个积分常数代回（a1）、（a2）和（b1）、（b2）式，分别得到转角方程和挠曲线方程，见下表。 AC 段 （0≤x1≤a） CB 段 （a≤x2≤l） ( ) (d ) 6 ( 3 ) (c ) 6 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 l b x l Fbx EIw l b x l Fb EIw = − − −  = − − − ( ) ( ) (d ) 6 ( ) (c ) 3 ( 3 ) 6 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2       = − − − + −        = − − − + − x a b l l b x x l Fb EIw x a b l l b x l Fb EIw 如果要求梁上的最大挠度和最大转角，可以首先根据挠曲线的大致形状判断最大值出现的截面 位置。最大转角出现在两端截面上，在（c1）式和（c2）式中分别代入 x1=0 和 x2=l，得 EIl Fab l a EIl Fab l b A B 6 ( ) , 6 ( ) + = +  = −  若 a＞b，可以断定 θB 为最大转角。 最大挠度可以用求极值的方法计算。可以证明，梁的最大挠度所在位置非常接近于梁的中点， 因此常用简支梁中点的挠度来代替梁的最大挠度。则有 (3 4 ) 48 2 2 2 max l b EI Fb f w l x  = − − = 积分法是求梁的变形的基本方法，它可以直接运用积分求得梁的挠曲线方程和转角方程，进而 求出特定截面的挠度或转角。 9.3 用叠加法求梁的位移 在实际工程中，粱上可能同时作用几种载荷，此时若用积分法计算其位移，则计算过程比较烦 琐，计算工作量大。由于研究的是小变形，材料处于线弹性阶段，因此所计算的梁的位移与梁上的 载荷成线性关系。所以，当梁上同时作用几种载荷时，可先分别求出每一载荷单独作用时所引起的 位移，然后计算这些位移的代数和，即为各载荷同时作用时所引起的位移。这种计算弯曲变形的方 法称为叠加法。 为了使用方便，将各种常见载荷作用下的简单梁的转角和挠度计算公式及挠曲线方程列于表 9-1 中。利用表格，按叠加法计算梁在多个载荷共同作用下所引起的位移是很方便的。 9.3.1 多个载荷作用时求梁的位移的叠加法 根据叠加法，几个载荷共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面位 移的代数和。 【例 9-3】求图 9.10（a）所示梁 C 截面的挠度和 B 截面 的转角。设 EI 为常数。 解：（1）梁的位移的分解 梁上有集度为 q 的均布载荷和集中力 F 作用，其 C 截面 的挠度和 B 截面的转角为两个载荷单独作用下位移的代数 和。即 B B q B F C C q C F f f f ( ) ( ) ( ) ( )  =  +  = +

（2）在均布力作用下B截面转角查表9-1中第7栏可得-C截面的挠度可以通过查表 9-1中第 7 栏的曲线方程，代入坐标值x=21计算。即gienr11qlβ-2()+()(fe),=- 24E][972E（3）在集中力F作用下B截面转角查表9-1中第6栏可得号(+)_5FP2_5q(0B), =-6EIl81EI81EIC截面的挠度可以通过查表9-1中第6栏的两段中的任一段挠曲线方程，代入坐标值x=21计算。即5F135ql4(fc), =SEU243EI243EI(4)叠加11lt _5ql*_ 31ql*fe =(fe), +(e),=972EI 243EI972EIgl=5g67gl0,=(0,), +(0,),=24E)+B1E1648E【例 9-4】如图9.11（a）所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。解：（1）在F单独作用下：FI?F3查表9-1中第2栏可得：0m=-%"ar-

（2）在均布力作用下 B 截面转角查表 9-1 中第 7 栏可得 EI ql B q 24 ( ) 3  = C 截面的挠度可以通过查表 9-1 中第 7 栏的挠曲线方程，代入坐标值 x l 3 2 = 计算。即 EI ql l l l l EI q l fC q 972 11 3 2 3 2 2 24 ) 3 2 ( ( ) 4 2 3 3 = −                +      = − − （3）在集中力 F 作用下 B 截面转角查表 9-1 中第 6 栏可得 EI ql EI Fl EIl F l l l l B F 81 5 81 5 6 3 2 3 1 3 2 ( ) 2 3 = =          +  = C 截面的挠度可以通过查表 9-1 中第 6 栏的两段中的任一段挠曲线方程，代入坐标值 x l 3 2 = 计 算。即 EI ql EI l Fl l l EIl l l F fC F 243 5 243 5 3 3 2 6 3 2 3 ( ) 3 4 2 2 2 = − = −                −      −   = − （4）叠加 EI ql EI ql EI ql EI ql EI ql EI ql f f f B B q B F C C q C F 648 67 81 5 24 ( ) ( ) 972 31 243 5 972 11 ( ) ( ) 3 3 3 4 4 4 = + = + = = + = − − = −    【例 9-4】 如图 9.11（a）所示悬臂梁，其抗弯刚度 EI 为常数，求 B 点转角和挠度。 解：（1）在 F 单独作用下： 查表 9-1 中第 2 栏可得： EI Fl w EI Fl BF BF 3 , 2 2 3  = − = −

a)(b)(c)图 9.11（2）在g单独作用下：查表 9-1中第 3栏可得_g(1/2)qt3Ocg = -48EI6EIq(1/2)4ql4Wcq8EI128EI由于CB段没有弯矩作用，挠曲线保持直线状态，而两段挠曲线在C点应相切，所以B点的转角和挠度为ql0g=0c,=-48EIgl4q131-7q14Wng=Wcg+002--128EI48EI2384EI（3）在F和q共同作用下：FI?ql3Og=OBr+0Bg=-2EI48EIF137q14fs=WBr +WBg =3EI384EI9.3.2逐段刚化法在有些情况下，梁上某截面的位移是由几段梁的弯曲变形共同引起的。在计算其位移时，可以分别计算各段梁单独变形引起的该截面的位移，然后代数求和，这种分析方法称为逐段刚化法。对于表9-1中没有列出的外伸梁情况以及变截面梁情况，常用逐段刚化法分析。在梁上作用多个载荷情况下，可以先分解成单个载荷作用情形，然后分别用逐段刚化法分析，再进行位移叠加。下面通过举例说明其分析方法和特点

图 9.11 （2）在 q 单独作用下： 查表 9-1 中第 3 栏可得 EI ql EI q l w EI ql EI q l Cq Cq 8 128 ( / 2) 6 48 ( / 2) 4 4 3 3 = − = −  = − = − 由于 CB 段没有弯矩作用，挠曲线保持直线状态，而两段挠曲线在 C 点应相切，所以 B 点的转角和 挠度为 EI l ql EI ql EI l ql w w EI ql Bq Cq Cq Bq Cq 384 7 2 128 48 2 48 4 3 4 3 = + = − −  = − = = −    （3）在 F 和 q 共同作用下： EI ql EI Fl f w w EI ql EI Fl B BF Bq B BF Bq 384 7 3 2 48 3 4 2 3 = + = − −  =  + = − − 9.3.2 逐段刚化法 在有些情况下，梁上某截面的位移是由几段梁的弯曲变形共同引起的。在计算其位移时，可以 分别计算各段梁单独变形引起的该截面的位移，然后代数求和，这种分析方法称为逐段刚化法。对 于表 9-1 中没有列出的外伸梁情况以及变截面梁情况，常用逐段刚化法分析。在梁上作用多个载荷 情况下，可以先分解成单个载荷作用情形，然后分别用逐段刚化法分析，再进行位移叠加。下面通 过举例说明其分析方法和特点

【例9-5】图9.12（a）所示外伸梁，在C处作用集中力F，梁的EI、1、aα已知。求C截面的揽度和转角。解：该梁由AB、BC两段组成，梁在C截面的度和转角等于两段梁分别变形时在(a)A该截面引起的挠度和转角的代数和（1）刚化AB 段，只考虑 BC 段的变形如图9.12（b）所示，AB不变形，保持(b)原来的直线形态：BC发生弯曲，在B点与AB连续光滑连接，所以B点没有转角位移，因此可以将B截面处视为固定端，将BC段看成悬臂梁。查表9-1 第2栏可得图 9.12 FaFa30a--_wa--3EI（2）刚化BC段，只考虑AB段的变形如图9.12（c）所示，AB发生弯曲：CB不变形，保持原来的直线形态，在B点与AB保持连续光滑连接。F力对AB段的作用可以用将F力等效简化到B点得到的一个力F和一个力偶Fa代替因为力在 BC 段的等效不改变对 AB的作用效果，即没有改变 AB 段的弯矩，所以这种简化是可行的。简化到B点的F力作用在支座上，不会使AB梁变形：力偶Fa的作用可以查表9.1中第4栏，得到0g=ml_ Fal3ET3FI则由AB段变形引起的C点的转角和挠度为Fa?Fal0c2=0g =Wc2 =0c2a=-3EI3EI（3）叠加梁C截面的总挠度和总转角为FaFa'lFa?3E (a+1)We=Wc +Wc23EI3EIFa?Fal.Fa(3a + 21)0 = 0c1 +0c2 =2E13EI6FI【例 9-6】求图9.13(a)所示悬臂梁端截面4的揽度。解：（1）刚化BC段，只考虑AB段的变形如图9.13（b）所示，B点可以看成固定端，查表9-中第3栏得qlA()WA8EL在查表时可以发现，表中固定端位置与题中情况正好相反，这样在使用表格数据时有时会出现符号相反的情况，如本图中A截面的转角方向为逆时针，应取正号。为了不出现错误，通常将变形后的挠曲线大致形状画出，根据变形方向确定符号，也可用箭头标明位移方向。（2）刚化AB段，只考虑BC段的变形图9.13

图 9.12 图 9.13 【例 9-5】图 9.12（a）所示外伸梁，在 C 处作用集中力 F，梁的 EI、l、a 已知。求 C 截面的挠 度和转角。 解：该梁由 AB、BC 两段组成，梁在 C 截面的挠度和转角等于两段梁分别变形时在 该截面引起的挠度和转角的代数和。 （1）刚化 AB 段，只考虑 BC 段的变形 如图 9.12（b）所示，AB 不变形，保持 原来的直线形态；BC 发生弯曲，在 B 点与 AB 连续光滑连接，所以 B 点没有转角位移， 因此可以将 B 截面处视为固定端，将 BC 段 看成悬臂梁。 查表 9-1 第 2 栏可得 EI Fa w EI Fa C C 3 , 2 3 1 2  1 = − = − （2）刚化 BC 段，只考虑 AB 段的变形 如图 9.12（c）所示，AB 发生弯曲；CB 不变形，保持原来的直线形态，在 B 点与 AB 保持连续 光滑连接。F 力对 AB 段的作用可以用将 F 力等效简化到 B 点得到的一个力 F 和一个力偶 Fa 代替。 因为力在 BC 段的等效不改变对 AB 的作用效果，即没有改变 AB 段的弯矩，所以这种简化是可行的。 简化到 B 点的 F 力作用在支座上，不会使 AB 梁变形；力偶 Fa 的作用可以查表 9-1 中第 4 栏，得到 EI Fal EI ml B 3 3  = = − 则由 AB 段变形引起的 C 点的转角和挠度为 EI Fa l w a EI Fal C B C C 3 , 3 2  2 =  = − 2 =  2  = − （3）叠加 梁 C 截面的总挠度和总转角为 (3 2 ) 2 3 6 ( ) 3 3 3 2 1 2 3 2 2 1 2 a l EI Fa EI Fal EI Fa a l EI Fa EI Fa l EI Fa w w w C C C C C C = + = − − = − + = + = − − = − +    【例 9-6】求图 9.13（a）所示悬臂梁端截面 A 的挠度。 解：（1）刚化 BC 段，只考虑 AB 段的变形 如图 9.13（b）所示，B 点可以看成固定端，查表 9-1 中第 3 栏得 EI ql wA 8 4 1 = （ ） 在查表时可以发现，表中固定端位置与题中情况正好相反， 这样在使用表格数据时有时会出现符号相反的情况，如本 图中 A 截面的转角方向为逆时针，应取正号。为了不出现 错误，通常将变形后的挠曲线大致形状画出，根据变形方 向确定符号，也可用箭头标明位移方向。 （2）刚化 AB 段，只考虑 BC 段的变形