内蒙古科技大学：《工程力学》课程授课教案（讲义）第4章 空间力系

第4章教学方案-空间力系基本内容空间汇交力系空间力偶系力对点的矩与力对轴的矩空间任意力系了解空间汇交力系的合成与平衡条件。教了解空间力偶系的合成与平衡。学目、了解空间力对点的矩和空间力对轴的矩及它们的关系，的、了解空间任意力系的简化、合成与平衡。重点力对轴之矩及力对点之矩；空间力系的简化。难点

第 4 章 教学方案 ——空间力系 基 本 内 容 空间汇交力系 空间力偶系 力对点的矩与力对轴的矩 空间任意力系 教 学 目 的 1、了解空间汇交力系的合成与平衡条件。 2、了解空间力偶系的合成与平衡。 3、了解空间力对点的矩和空间力对轴的矩及它们的关系。 4、了解空间任意力系的简化、合成与平衡。 重 点 、 难 点 力对轴之矩及力对点之矩；空间力系的简化

第4章空间力系作用在物体上的力系，若其作用线在空间分布，称为空间力系。空间力系是最一般的力系，平面力系只是它的特例。在工程实际中遇到的空间力系有各种形式，当力系中各力作用线汇交于一点时称为空间汇交力系；当力系中的力全部构成空间力偶时称为空间力偶系；当力系中各力作用线在空间任意分布时称为空间任意力系。4.1空间汇交力系4.1.1力在空间直角坐标轴上的投影和分力空间力系的研究方法与平面力系基本相同，只是将平面问题中的概念、理论和方法推广和引伸到空间问题中。若已知力F与空间直角坐标系Oxy=的x、y、=轴正向的夹角分别为α、β、，如图4.1所示，则力在三个坐标轴上的投影分别为90图 4.1图4.2X=FcosαY=Fcosβ(4-1)Z=Fcosy若已知力F与=轴正向的夹角和力作用线与=轴所构成的平面与Ox=坐标平面的夹角p，如图4.2所示，则可以先将F力投影到Oxy平面上，然后再向x、轴投影。力在三个坐标轴上的投影分别为X = Fsin ycosY=Fsinysn g(4-2)Z=Fcosy若以 F、F、F:表示力F在坐标轴方向的分力，则F=F,+E,+F,=Xi+Y+Zk(4-3)

第 4 章 空间力系 作用在物体上的力系，若其作用线在空间分布，称为空间力系。空间力系是最一般的 力系，平面力系只是它的特例。在工程实际中遇到的空间力系有各种形式，当力系中各力作 用线汇交于一点时称为空间汇交力系；当力系中的力全部构成空间力偶时称为空间力偶系； 当力系中各力作用线在空间任意分布时称为空间任意力系。 4.1 空间汇交力系 4.1.1 力在空间直角坐标轴上的投影和分力 空间力系的研究方法与平面力系基本相同，只是将平面问题中的概念、理论和方法推广 和引伸到空间问题中。 若已知力 F 与空间直角坐标系 Oxyz 的 x、y、z 轴正向的夹角分别为 α、β、γ，如图 4.1 所示，则力在三个坐标轴上的投影分别为      = = =    cos cos cos Z F Y F X F （4-1） 若已知力 F 与 z 轴正向的夹角 γ 和力作用线与 z 轴所构成的平面与 Oxz 坐标平面的夹角 φ，如图 4.2 所示，则可以先将 F 力投影到 Oxy 平面上，然后再向 x、y 轴投影。力在三个坐 标轴上的投影分别为      = = =      cos sin sin sin cos Z F Y F X F （4-2） 若以 Fx、Fy、Fz 表示力 F 在坐标轴方向的分力，则 F = Fx + Fy + Fz = Xi + Yj + Zk （4-3） 图 4.1 图 4.2

其中，i、小、k分别为x、少、三坐标轴方向的单位矢量。可见，分力的大小就等于同方向的投影的绝对值。若已知力F在三个直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则力F的大小和方向余弦为F =/x2 +y2 +z2X-Ecosα(4-4)POscosy4.1.2空间汇交力系的合成与平衡条件·空间汇交力系可以合成为一个合力，该合力等于力系各分力的矢量和，合力作用线过汇交点。即FR=F+F,+.+F,-ZF(4-5)根据（4-3）式可得Fr =2xi+2yj+Ezk(4-6)可见，合力FR在x、y、=坐标轴上的投影为ZX、Yi、Z。由此得合力的大小和方向余弦为Fr=Ex)+()+(Zz)co(Fa.i)- (4-7)22cos(Fr,k) =FR·空间汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即Fr=ZF,=0(4-8)因此可得空间汇交力系的平衡方程为Zx =0]ZY=0(4-9)Zz=0空间汇交力系有三个独立平衡方程，可以求解三个未知量。【例4-1】由三根无重直杆组成的挂物架如图4.3所示。各点光滑铰链连接，BOC平面是水平面，且OB=OC，角度如图。若O点所挂重物图 4.3

图 4.3 其中，i、j、k 分别为 x、y、z 坐标轴方向的单位矢量。可见，分力的大小就等于同方向的 投影的绝对值。 若已知力 F 在三个直角坐标轴上的投影 X、Y、Z，则力 F 的大小和方向余弦为          = = = = + + F Z F Y F X F X Y Z    cos cos cos 2 2 2 （4-4） 4.1.2 空间汇交力系的合成与平衡条件 ●空间汇交力系可以合成为一个合力，该合力等于力系各分力的矢量和，合力作用线 过汇交点。即 = = + + + = n i n i 1 FR F1 F2  F F （4-5） 根据（4-3）式可得 FR =Xi i +Yi j +Zik （4-6） 可见，合力 FR在 x、y、z 坐标轴上的投影为∑Xi、∑Yi、∑Zi。由此得合力的大小和方向余 弦为            = = = = + +       R R R R R R R F Z F Y F X F X Y Z cos( , ) cos( , ) cos( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 F k F j F i （4-7） ●空间汇交力系平衡的充分必要条件是：力系的合力等于零，即 0 1 R =  = = n i F Fi （4-8） 因此可得空间汇交力系的平衡方程为      = = =    0 0 0 Z Y X （4-9） 空间汇交力系有三个独立平衡方程，可以求 解三个未知量。 【例 4-1】 由三根无重直杆组成的挂物架如 图 4.3 所示。各点光滑铰链连接，BOC 平面是水 平面，且 OB=OC，角度如图。若 O 点所挂重物

重G=1000N，求三杆所受的力。解：（1）取整个系统研究，分析受力由于三杆均不计自重且两端受力，为二力杆，所以A、B、C三点约束力方向沿杆的方向，如图4.3所示（2）建立图示坐标系，列平衡方程ZX=02y=0ZZ=0得[F, sin 45°- E sin 45° - F sin 45°= 0- F, cos45° +F, cos45° = 0F, cos45°-G=0代入数据，解得Fi=1414NF2=F3=707N4.2空间力偶系4.2.1空间力偶的矢量表示，力偶的作用效果不仅与力偶矩在空间情况下的大小、力偶的转向有关，也与力偶作用面的方位有关。如果两个力偶的力偶矩大小相等，但作用面不平行，两力偶的作用效果也不同。因此，空间力偶包括力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面方位三个要素，通常可以用一个失量表示。矢量的长度表示力偶矩的大小，矢量线垂直于力偶作用平面图4.4（即力偶作用平面的法线），矢量的箭头指向与力偶的转向服从右手螺旋法则，如图4.4所示。该矢量称为力偶矩矢，力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢确定。力偶矩失是自由失量，可以在刚体上平行移动，而不改变对刚体的作用效果。如果两个力偶的力偶矩矢相等，则两个力偶对刚体的作用效果相同，两个力偶等效。4.2.2空间力偶系的合成与平衡●设由 n个空间力偶Mi、M2、、M,构成的空间力偶系。可以证明，该力系可以合成为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即M=M,+M,+.+M,-ZM.(4-10)如果同力一样，力偶矩矢也表达为解析表达式M=Mi+M,j+M.k(4-11)其中Ms、My、M为力偶矩矢在x、y、z轴上的投影。则（4-10）式可以表示为

图 4.4 重 G=1000N，求三杆所受的力。 解：（1）取整个系统研究，分析受力 由于三杆均不计自重且两端受力，为二力杆，所以 A、B、C 三点约束力方向沿杆的方 向，如图 4.3 所示。 （2）建立图示坐标系，列平衡方程      = = =    0 0 0 Z Y X 得      − = − + = − − = cos 45 0 cos 45 cos 45 0 sin 45 sin 45 sin 45 0 0 1 0 3 0 2 0 3 0 2 0 1 F G F F F F F 代入数据，解得 F1=1414N F2=F3=707N 4.2 空间力偶系 4.2.1 空间力偶的矢量表示 在空间情况下，力偶的作用效果不仅与力偶矩 的大小、力偶的转向有关，也与力偶作用面的方位 有关。如果两个力偶的力偶矩大小相等，但作用面 不平行，两力偶的作用效果也不同。因此，空间力 偶包括力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面方 位三个要素，通常可以用一个矢量表示。矢量的长 度表示力偶矩的大小，矢量线垂直于力偶作用平面 （即力偶作用平面的法线），矢量的箭头指向与力偶的 转向服从右手螺旋法则，如图 4.4 所示。该矢量称为力偶矩矢，力偶对刚体的作用完全由力 偶矩矢确定。 力偶矩矢是自由矢量，可以在刚体上平行移动，而不改变对刚体的作用效果。 如果两个力偶的力偶矩矢相等，则两个力偶对刚体的作用效果相同，两个力偶等效。 4.2.2 空间力偶系的合成与平衡 ●设由 n 个空间力偶 M1、M2、.、Mn 构成的空间力偶系。可以证明，该力系可以合 成为一个合力偶，合力偶的力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即 = = + + + = n i n i 1 M M1 M2  M M （4-10） 如果同力一样，力偶矩矢也表达为解析表达式 M = M x i + M y j + M zk （4-11） 其中 Mx、My、Mz 为力偶矩矢在 x、y、z 轴上的投影。则（4-10）式可以表示为

(4-12)M=(EM)i+EM)j+(EM.)k合力偶矩矢的大小和方向余弦也可用下列公式求出M=/M.)+(2M,)*+(2M.)cos(M,i)-ZMM.(4-13)cos(M,j) = 2M.cos(M,k) =M·空间力偶系平衡的充分必要条件为：该力系的合力偶矩失等于零，也就是该力系的所有力偶矩矢的矢量和等于零。即≥M,=0(4-14)根据（4-13）式，上式可进一步表示为Mx= 0)(4-15)三个独立平衡方程可以解三个未知量。这就是空间力偶系的平衡方程4.3力对点的矩与力对轴的矩4.3.1空间力对点的矩的失量表示力对点的矩的作用效果不仅与力矩的大小和转向有关，而且与力与矩心所在的平面（力矩作用面）的方位有关。在空间力系中，力矩作用面是空间内的某一平面，要表达力矩的大小、转向和作用面方位三个要素，应该用一个矢量表示。其中矢量的模等于力的大小与矩心到力作用线的垂直距离h（力臂）的乘积；矢量的方位和力矩作用面的法线的方位相同：矢量的指向是根据力矩的转向按右手螺旋法则确定。力F对O点的矩的矢量用Mo（F）表示，如图4.5所示。力矩的大小为Mo(F)= Fh= 2So4B1式中SaBc为三角形 OAB的面积。若用r表示力F作用点A的失径，则rXF也是一个矢量，其大小等于三角形O.AB的面积.V.?的两倍，方位垂直于，与F所组成的平面，指向也由右手螺旋法则确定。可见hC(4-16)Mo (F) =rXF若在矩心0处建立空间直角坐标系Oxyz坐标方向的单位失量用么、小、k表示，力作用点图 4.5

图 4.5 M = (Mix )i + (Miy ) j + (Miz )k （4-12） 合力偶矩矢的大小和方向余弦也可用下列公式求出            = = = = + +       M M M M M M M M M M i z i y i x i x i y i z cos( , ) cos( , ) cos( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 M k M j M i （4-13） ●空间力偶系平衡的充分必要条件为：该力系的合力偶矩矢等于零，也就是该力系的 所有力偶矩矢的矢量和等于零。即 0 1  = = n i Mi （4-14） 根据（4-13）式，上式可进一步表示为      = = =    0 0 0 iz iy ix M M M （4-15） 这就是空间力偶系的平衡方程。三个独立平衡方程可以解三个未知量。 4.3 力对点的矩与力对轴的矩 4.3.1 空间力对点的矩的矢量表示 力对点的矩的作用效果不仅与力矩的大小和转向有关，而且与力与矩心所在的平面 （力矩作用面）的方位有关。在空间力系中，力矩作用面是空间内的某一平面，要表达力 矩的大小、转向和作用面方位三个要素，应该用一个矢量表示。其中矢量的模等于力的大 小与矩心到力作用线的垂直距离 h（力臂）的乘积；矢量的方位和力矩作用面的法线的方 位相同；矢量的指向是根据力矩的转向按右手螺旋法则确定。力 F 对 O 点的矩的矢量用 MO（F）表示，如图 4.5 所示。 力矩的大小为 MO F = Fh = 2SOAB ( ) 式中 SΔABC为三角形 OAB 的面积。 若用 r 表示力 F 作用点 A 的矢径，则 r×F 也是一个矢量，其大小等于三角形 OAB 的面积 的两倍，方位垂直于 r 与 F 所组成的平面，指向 也由右手螺旋法则确定。可见 MO（F）= r×F （4-16） 若在矩心 O 处建立空间直角坐标系 Oxyz， 坐标方向的单位矢量用 i、j、k 表示，力作用点

A的坐标为A（xV如图4.5所示。用X、Y、Z表示力F在坐标轴上的投影，则力F对○点的矩还可以表示为iiklM。(F)=r)y 2=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k(4-17)H-年M（F）随矩心的位置改变而变化，因此力矩矢是定位矢量4.3.2空间力对轴的矩当力作用在刚体上时，可使刚体产生绕固定轴转动的运动，例如在门上施加力可使门产生转动。力对绕定轴转动刚体的作用效果用力对轴的矩来度量。设力F 作用于可绕：轴转动的刚体上的A点，如图4.6 所示。过A点做垂直于=轴的平面Oxy，0点是平面与≥轴的交点。将力F分解为平行于=轴的分力F和垂直于轴的分力Fw根据经验，平行于轴的分力F不会使刚体绕=轴转动，故分力F对=轴的矩为零，所以力F对=轴的矩M（F）就是分力Fy对轴的矩M（Fy）。显然，分力Fxy对=轴的矩M（Fxy）就是在Oxy平面内力Fx对O点的矩Mo（Fx），即图 4.6M.(F)= Mo(F,)=±Fg-d（4-18力对轴的矩是代数量，式中的正负号按右手螺旋法则确定，当拇指指向=轴正向时取正号，反之取负。当力与转轴平行或相交（即共面）时，力对该轴的矩为零。力对轴的矩也可用解析表达式表示。如图4.7所示力F在三个直角坐标轴上的投影分别为X、Y、Z，力作用点的坐标为A（x，y，2)，则有M.(F)= M。(F,)= M(F,)+ M。(F,)=xY- yX同理可得力对x、y轴的矩。将三式合写为M,(F)= yZ-zYM,(F)= zX -xz(4-19)M.(F)=xY-yX【例4-2】传动轴上的圆柱斜齿轮所受的总啮合力为Fa，如图4.8所示。齿轮压力角为α,螺旋角为β，节圆半径为r。求该力对各坐标轴的矩

A 的坐标为 A（x，y，z），如图 4.5 所示。用 X、Y、Z 表示力 F 在坐标轴上的投影，则力 F 对 O 点的矩还可以表示为 i j k i j k M (F) r F (yZ zY) (zX x Z) (x Y yX ) X Y Z x y z O =  = = − + − + − （4-17） 由于力矩矢 MO（F）随矩心的位置改变而变化，因此力矩矢是定位矢量。 4.3.2 空间力对轴的矩 当力作用在刚体上时，可使刚体产生绕固定轴转动的运动，例如在门上施加力可使门 产生转动。力对绕定轴转动刚体的作用效果用力对轴的矩来度量。设力 F 作用于可绕 z 轴 转动的刚体上的 A 点，如图 4.6 所示。过 A 点做垂直于 z 轴的平面 Oxy，O 点是平面与 z 轴 的交点。将力 F 分解为平行于 z 轴的分力 Fz 和垂直于 z 轴的分力 Fxy，根据经验，平行于 z 轴的分力 Fz 不会使刚体绕 z 轴转动，故分力 Fz 对 z 轴的矩为零，所以力 F 对 z 轴的矩 Mz （F）就是分力 Fxy对 z 轴的矩 Mz（Fxy）。显然，分力 Fxy对 z 轴的矩 Mz（Fxy）就是在 Oxy 平面内力 Fxy对 O 点的矩 MO（Fxy），即 M z (F) = MO (Fxy ) = Fxy  d （4-18） 力对轴的矩是代数量，式中的正负号按右手螺旋法则确定，当拇指指向 z 轴正向时取正 号，反之取负。当力与转轴平行或相交（即共面）时，力对该轴的矩为零。 力对轴的矩也可用解析表达式表示。如图 4.7 所示力 F 在三个直角坐标轴上的投影分别 为 X、Y、Z，力作用点的坐标为 A（x，y，z），则有 M z (F) = MO (Fxy ) = MO (Fx ) + MO (Fy ) = x Y − yX 同理可得力对 x、y 轴的矩。将三式合写为      = − = − = − M xY yX M zX xZ M yZ zY z y x ( ) ( ) ( ) F F F （4-19） 【例 4-2】传动轴上的圆柱斜齿轮所受的总啮合力为 Fn，如图 4.8 所示。齿轮压力角为 α， 螺旋角为 β，节圆半径为 r。求该力对各坐标轴的矩。 图 4.6 图 4.7

解：（1）将力F沿坐标方向分解，得F, = F, cosαcos βF,=F, sinαF=F,cosαsin β（2）力作用点坐标为，r,0，按（4-19)式计算力对各轴的矩，得M,(F)=r-F.cosasin βM,(F,)=-→-F,cosasin β图4M.(F,)=-(-F, sin a)-r-(-F, cosacos β)=F,(rcosacosβ-inα)4.3.3力对点的矩与力对轴的矩的关系比较式（4-17）和式（4-19）可知，力矩矢Mo（F）解析式中i、、k前的系数即力矩矢Mo（F）在各坐标轴上的投影与力对坐标轴的矩分别相等，即[M(F)] = M,(F)][M。(F)], = M,(F)(4-20)[M。(F)] = M(F)]这说明：力对点的矩失在通过该点的轴上的投影等于力对该轴的矩。4.4空间任意力系4.4.1空间约束简介空间约束是指限制物体在空间运动的约束。当物体在空间运动时，有沿空间直角坐标轴x、J、=的移动和绕 x、J、≥轴的转动 6 种独立的位移。空间约束的作用就是限制这6 种独立位移。约束通过约束反力限制物体的移动，通过约束反力偶限制物体的转动。常见的几种空间约束及其约束反力见表4-1。表 4-1 几种常见的空间约束及其约束反力约束类型简化符束反0II球形铰链XTT向轴承推力轴承上I空间固定端

解：（1）将力 Fn 沿坐标方向分解，得      cos sin sin cos cos n n n F F F F F F z y x = = = （2）力作用点坐标为       , , 0 2 r l ，按（4-19） 式计算力对各轴的矩，得 M x (Fn ) = r Fn cos sin  cos sin  2 ( ) n Fn l M y F = −  sin ) 2 ( sin ) ( cos cos ) ( cos cos 2 ( ) n n  n      l F r F F r l M z F =  − −  − = n − 4.3.3 力对点的矩与力对轴的矩的关系 比较式（4-17）和式（4-19）可知，力矩矢 MO（F）解析式中 i、j、k 前的系数即力矩矢 MO（F）在各坐标轴上的投影与力对坐标轴的矩分别相等，即            = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M F F M F F M F F O z z O y y O x x M M M （4-20） 这说明：力对点的矩矢在通过该点的轴上的投影等于力对该轴的矩。 4.4 空间任意力系 4.4.1 空间约束简介 空间约束是指限制物体在空间运动的约束。当物体在空间运动时，有沿空间直角坐标轴 x、y、z 的移动和绕 x、y、z 轴的转动 6 种独立的位移。空间约束的作用就是限制这 6 种独 立位移。约束通过约束反力限制物体的移动，通过约束反力偶限制物体的转动。常见的几 种空间约束及其约束反力见表 4-1。 表 4-1 几种常见的空间约束及其约束反力 图 4.8

4.4.2空间任意力系的简化空间任意力系简化也是根据力线平移定理，依次将力系中的每一个力向简化中心○平移，同时附加一个力偶。这样，原来的空间任意力系就等效为一个空间汇交力系和一个空间力偶系，如图4.9（b）所示。其中图 4.9F'=F,,M,=M(F)(i-1,2,..,n)作用于0点的空间汇交力系可以合成为一个力FR（图4.9c），此力的作用线过0点，大小和方向等于力系的主矢，即Fr =F+F+++F,-2F空间力偶系可合成为一个力偶Mo（图4.9c），其力偶矩失等于各附加力偶矩失的矢量和，也就是原力系中各力对简化中心O取矩的矢量和，即力系对○点的主矩Mo=M++M,+M,-ZM。(F)因此可得如下结论：空间任意力系向空间任一点○简化可以得到一个力和一个力偶该力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线过简化中心O：该力偶的矩矢等于该力系对简化中心O的主矩。由式（4-7）可得该合力的大小为(4-21)Fr = /Ex)*+(En) +(Ez)?由式（4-13）可得该合力偶矩失的大小为M=EM)+(ZM,)+(EM.)(4-22)=ZM,(F)P +[ZM,(F) +[ZM,(F)4.4.3空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主失和对任意一点的主矩都等于零。由式（4-21）和（4-22）得空间任意力系的平衡方程为

4.4.2 空间任意力系的简化 空间任意力系简化也是根据力线平移定理，依次将力系中的每一个力向简化中心 O 平 移，同时附加一个力偶。这样，原来的空间任意力系就等效为一个空间汇交力系和一个空间 力偶系，如图 4.9（b）所示。其中 , ( ) (i 1,2, ,n) Fi  = Fi Mi = MO Fi =  作用于 O 点的空间汇交力系可以合成为一个力 FR（图 4.9c），此力的作用线过 O 点， 大小和方向等于力系的主矢，即 = = +  + +  = n i n i 1 FR F1 F2  F F 空间力偶系可合成为一个力偶 MO（图 4.9c），其力偶矩矢等于各附加力偶矩矢的矢量 和，也就是原力系中各力对简化中心 O 取矩的矢量和，即力系对 O 点的主矩 ( ) 1 1 2 i n i MO M M Mn  MO F = = + ++ = 因此可得如下结论：空间任意力系向空间任一点 O 简化可以得到一个力和一个力偶。 该力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线过简化中心 O；该力偶的矩矢等于该力系对简 化中心 O 的主矩。 由式（4-7）可得该合力的大小为 2 2 2 F = (X) + (Y) + (Z) R （4-21） 由式（4-13）可得该合力偶矩矢的大小为       = + + = + + 2 2 2 2 2 2 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ( ) ( ) ( ) M F M F M F M M M M x y y ix iy iz （4-22） 4.4.3 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充分必要条件是：该力系的主矢和对任意一点的主矩都等于零。 由式（4-21）和（4-22）得空间任意力系的平衡方程为 图 4.9

Zr-o(4-23)M(F)ZM,(F)=ZM.(F)=0可见，空间任意力系有6个平衡方程，可以解6未知量。空间任意力系平衡方程除了式（4-23）形式外，也有其他形式。只要保持方程的数目不变，可以将投影方程式改为取矩方程式将空间汇交力系、空间平行力系等特殊力系看成是空间任意力系的特殊情况，可以从空间任意力系平衡方程中得到其他特殊力系的平衡方程。在如图4.10所示空间平行力系中，式（4-23）平衡方程中，ZX=0，ZY=0和M（F）=0均为恒等式。达此，空间平行力系的平衡方程为z=0M,(F)=图 4.10(4-24)FACM,(F)=0可见，空间平行力系有3个平衡方程，可以解3个未知量。【例4-3】水平面内的刚架 ABC如图 4.11所示，自由端C处作用着平行于轴的力E,和平行于x 轴的力 F，以及绕 BC 轴转动的力偶 mc。求固定端 A处的约束反力。解：（1）取ABC刚架研究，受力分析4端是固定端，其约束反力包括三个坐标方向的约束力FAx、FaFA和三个方向的约束反力偶mAxm4-，如图4.11 所示。可见，这是空间任意力系。（2）列平衡方程求解ZX=0, F,-Fx =0FAx=Fx图 4.11ZY=0, Fa-F,=0, Fa,=F,Zz=0, Fa=0ZM(F)=0, F,a-mx=0, mx=F,aZM,(F)=0, F-2a-may=0, ma,=2Fa

          = = = = = =       ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0 0 0 F F F z y x M M M Z Y X （4-23） 可见， 空间任意力系有 6 个平衡方程，可以解 6 个 未知量。空间任意力系平衡方程除了式（4-23）形 式外，也有其他形式。只要保持方程的数目不变， 可以将投影方程式改为取矩方程式。 将空间汇交力系、空间平行力系等特殊力系看 成是空间任意力系的特殊情况，可以从空间任意力 系平衡方程中得到其他特殊力系的平衡方程。在如 图 4.10 所示空间平行力系中，式（4-23）平衡方程 中，∑X=0，∑Y=0 和∑Mz（F）=0 均为恒等式。因 此，空间平行力系的平衡方程为      = = =    ( ) 0 ( ) 0 0 F F y x M M Z （4-24） 可见，空间平行力系有 3 个平衡方程，可以解 3 个未知量。 【例 4-3】水平面内的刚架 ABC 如图 4.11 所示，自由端 C 处作用着平行于 y 轴的力 Fy和平 行于 x 轴的力 Fx，以及绕 BC 轴转动的力偶 mC。求固定端 A 处的约束反力。 解：（1）取 ABC 刚架研究，受力分析 A 端是固定端，其约束反力包括 三个坐标方向的约束力 FAx、FAy、FAz 和三个方向的约束反力偶 mAx、mAy、 mAz，如图 4.11 所示。可见，这是空间 任意力系。 （2）列平衡方程求解 X = 0 , Fx − FAx = 0 FAx=Fx Y = FAy − Fy = 0， FAy = Fy 0 , Z = 0 , FAz = 0 M（x F）= 0 , Fya − mAx = 0， mAx = Fya M（y F）= 0 , Fx  2a − mAy = 0， mAy = 2Fxa 图 4.10 图 4.11

ZM(F)=0,mc-F,2a-ma-=0,m=mc-2F,a【例4-4】图4.12（a）所示皮带轮轴传递转动力偶矩为m=703Nm，A轮皮带沿水平方向，B轮皮带沿铅直方向，两轮直径均为D=0.6m，其中Frn为紧边，Fz2为松边，Frn>Fr2。已知Fiz=1500N。试求轴承C、D处的约束反力。（图中长度单位：mm）+IF+FFo400401250(a)(b)图4.12解：（1）取皮带轮轴研究，分析受力分别将A、B两处的皮带拉力Fr和Fr2向轴线平移，并附加力偶矩max和mBx，由于皮带轮传递的力偶矩m,=Fr--Fp:所以，紧边的拉力+ Ffz = 3843N并且mAx=mBx=mx画出轴承C、D处的约束反力，可得轮轴的受力图（图4.12b）。（2）列平衡方程，求约束反力力系是空间任意力系，分别列平衡方程Mc(F)=0,Fb,(400+800)-(Fn +Fz)×400=0Fs 3843+100 400 178IN1200ZMp(F)=0, Fo(400+800)-(Fu+Fiz)x800=0Fg 0843+100 800 35621200ZMg,(F)=0, Fp(400+800)-(Fn +Fz)×(400+800+250)=0Fs83+100(00+800206451200ZMp(F)=0, Fe(400+800)-(Fn +Fz)×250=0

M（z F）= 0 , mC − Fy  2a − mAz = 0， mAz = mC − 2Fya 【例 4-4】图 4.12（a）所示皮带轮轴传递转动力偶矩为 mx=703Nm，A 轮皮带沿水平方 向，B 轮皮带沿铅直方向，两轮直径均为 D=0.6m，其中 FT1 为紧边，FT2 为松边，FT1＞FT2。 已知 FT2=1500N。试求轴承 C、D 处的约束反力。（图中长度单位：mm） 解：（1）取皮带轮轴研究，分析受力 分别将 A、B 两处的皮带拉力 FT1 和 FT2 向轴线平移，并附加力偶矩 mAx和 mBx，由于皮 带轮传递的力偶矩 2 2 T1 T2 D F D mx = F  −  所以，紧边的拉力 3843N 2 T1 = + FT2 = D m F x 并且 mAx = mBx = mx 画出轴承 C、D 处的约束反力，可得轮轴的受力图（图 4.12b）。 （2）列平衡方程，求约束反力 力系是空间任意力系，分别列平衡方程 MCz (F) = 0 , FDy (400 +800) − (FT1 + FT2 )400 = 0 1781N 1200 (3843 1500) 400 = +  FDy = MDz (F) = 0 , FCy (400 +800) − (FT1 + FT2 )800 = 0 3562N 1200 (3843 1500) 800 = +  FCy = MCy (F) = 0 , FDz (400 +800) − (FT1 + FT2 )(400 +800 + 250) = 0 6456N 1200 (3843 1500) (400 800 250) = +  + + FDz = MDy (F) = 0 , FCz (400 +800) − (FT1 + FT2 )250 = 0 图 4.12