内蒙古科技大学：《工程力学》课程授课教案（讲义）第11章 组合变形强度计算

第11章教学方案组合变形强度计算基本内容组合变形概述拉伸（压缩）与弯曲的组合弯曲与扭转的组合1、了解组合受力与变形的概念及研究方法。教学目2、掌握拉伸（压缩）与弯曲的组合的内力与应力计算。的3、掌握弯曲与扭矩组合的内力与应力计算，并进行强度计算。重点组合变形的概念；组合变形分析。难点

第 11 章 教学方案 ——组合变形强度计算 基 本 内 容 组合变形概述 拉伸（压缩）与弯曲的组合 弯曲与扭转的组合 教 学 目 的 1、了解组合受力与变形的概念及研究方法。 2、掌握拉伸（压缩）与弯曲的组合的内力与应力计算。 3、掌握弯曲与扭矩组合的内力与应力计算，并进行强度计算。 重 点 、 难 点 组合变形的概念；组合变形分析

第11章组合变形强度计算11.1组合变形概述11.1.1 组合变形的概念和分类前面各章分别讨论了杆件的轴向拉伸（压缩）剪切、扭转、弯曲四种基本变形。而工程实际中的杆件，在使用时可能同时产生几种基本变形。例如，图11.1所示压力机机架工作时受到F力作用，立柱在F力作用下横截面存在轴力和弯矩，将产生拉伸和弯曲的变形组合；图11.2所示传动轴，电动机对传动轴施加力偶mo，皮带轮紧边和松边张力分别为Fn和Fr2，这些外力共同作用下轴将产生弯曲和扭转的变形组合。R-F.+1图 11.2图 11.1组合变形：杆件同时产生两种或两种以上基本变形的受力情况称为组合变形。组合变形分类：拉伸（压缩）与弯曲组合变形：拉伸（压缩）与扭转组合：弯曲与扭转组合；拉伸（压缩）、扭转与弯曲组合由于杆件一般弯曲问题（称为斜弯曲）可认为是同时在两个方向发生平面弯曲，其分析方法与组合变形相同，也常将斜弯曲作为组合变形处理。11.1.2 组合变形的研究方法叠加原理：当组合变形杆件材料服从胡克定律、变形满足小变形条件时，在进行组合变形强度计算时，可以认为任一载荷作用所产生的应力都不受其他载荷的影响。则有如下结论：杆在几个载荷共同作用下所产生的应力，等于每一个载荷单独作用下所产生的应力的总和，这一结论称为叠加原理。组合变形研究方法：先将载荷简化或分解为产生基本变形的几组载荷，然后分别计算各基本变形下的应力，最后将所得结果进行叠加，得到总的应力。也可以首先用截面法确定杆件各横截面的内力形式、大小和危险截面位置，然后计算每一内力对应的应力，最后叠加得到总的应力。11.3拉伸（压缩）与弯曲的组合11.3产生拉（压）弯组合变形的两种受力情况拉伸（压缩）与弯曲的组合变形是工程实际中最常见的组合变形情况。如果杆件除了在通过其

第 11 章 组合变形强度计算 11.1 组合变形概述 11.1.1 组合变形的概念和分类 前面各章分别讨论了杆件的轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲四种基本变形。而工程实际中 的杆件，在使用时可能同时产生几种基本变形。例如，图 11.1 所示压力机机架工作时受到 F 力作用， 立柱在 F 力作用下横截面存在轴力和弯矩，将产生拉伸和弯曲的变形组合；图 11.2 所示传动轴，电 动机对传动轴施加力偶 m0，皮带轮紧边和松边张力分别为 FT1 和 FT2，这些外力共同作用下轴将产生 弯曲和扭转的变形组合。 组合变形：杆件同时产生两种或两种以上基本变形的受力情况称为组合变形。 组合变形分类：拉伸（压缩）与弯曲组合变形； 拉伸（压缩）与扭转组合； 弯曲与扭转组合； 拉伸（压缩）、扭转与弯曲组合； 由于杆件一般弯曲问题（称为斜弯曲）可认为是同时在两个方向发生平面弯曲，其分析方法与 组合变形相同，也常将斜弯曲作为组合变形处理。 11.1.2 组合变形的研究方法 叠加原理：当组合变形杆件材料服从胡克定律、变形满足小变形条件时，在进行组合变形强度 计算时，可以认为任一载荷作用所产生的应力都不受其他载荷的影响。则有如下结论：杆在几个载 荷共同作用下所产生的应力，等于每一个载荷单独作用下所产生的应力的总和，这一结论称为叠加 原理。 组合变形研究方法：先将载荷简化或分解为产生基本变形的几组载荷，然后分别计算各基本变 形下的应力，最后将所得结果进行叠加，得到总的应力。也可以首先用截面法确定杆件各横截面的 内力形式、大小和危险截面位置，然后计算每一内力对应的应力，最后叠加得到总的应力。 11.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合 11.3 产生拉（压）弯组合变形的两种受力情况 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形是工程实际中最常见的组合变形情况。如果杆件除了在通过其 图 11.1 图 11.2

轴线的纵向平面内受到力偶或垂直于轴线的横向外力外，还受到轴向拉（压）力作用，杆件将发生拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称拉（压）弯组合变形产生拉（压）弯组合变形两种受力情况：（1）杆件在通过其轴线的纵向平面内受到不垂直于轴线的载荷作用。将载荷分解为垂直轴线的横向力和平行于轴线的轴向力，横向力产生弯曲变形，轴向力产生拉压变形。图11.7所示简易吊车的横梁AB，当吊车工作时，拉杆BC对横梁作用一个沿BC方向的外力，使横梁AB产生压弯组合变形（2）杆件受到轴向外力作用，但外力的作用点不过截面形心，称为偏心拉压。图11.8所示厂房立柱，载荷F2偏离立柱轴线，若将该力平移到轴线处，则产生附加的弯曲力偶矩，使立柱产生压弯组合变形。图 11.8 图 11.711.3.2最大正应力和强度条件当杆件产生拉（压）弯组合变形时，杆件横截面上同时作用轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。根据外力情况画杆件的轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面及危险截面上的轴力FN和弯矩Mma轴力Fn对应的正应力在横截面上均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时，产生压应力。其值为ON=E弯矩Mmax对应的正应力沿横截面高度方向线性分布，相对对称轴一侧是拉应力，另一侧是压应力，其值为OM应用叠加法，将同一点的两个正应力代数相加，所得的应力就是该点的总应力。由于弯曲正应力的最大值出现在受弯方向的凹凸表面上，因此最大应力也应出现在此处。根据实际受力和截面形状，最大正应力有不同的情形。若横截面在弯曲方向有对称轴，则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力相等，则有最大正应力

轴线的纵向平面内受到力偶或垂直于轴线的横向外力外，还受到轴向拉（压）力作用，杆件将发生 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称拉（压）弯组合变形。 产生拉（压）弯组合变形两种受力情况： （1）杆件在通过其轴线的纵向平面内受到不垂直于轴线的载荷作用。将载荷分解为垂直轴线的 横向力和平行于轴线的轴向力，横向力产生弯曲变形，轴向力产生拉压变形。图 11.7 所示简易吊车 的横梁 AB，当吊车工作时，拉杆 BC 对横梁作用一个沿 BC 方向的外力，使横梁 AB 产生压弯组合 变形。 （2）杆件受到轴向外力作用，但外力的作用点不过截面形心，称为偏心拉压。图 11.8 所示厂 房立柱，载荷 F2 偏离立柱轴线，若将该力平移到轴线处，则产生附加的弯曲力偶矩，使立柱产生压 弯组合变形。 11.3.2 最大正应力和强度条件 当杆件产生拉（压）弯组合变形时，杆件横截面上同时作用轴力、弯矩和剪力。忽略剪力的影 响，轴力和弯矩都将在横截面上产生正应力。 根据外力情况画杆件的轴力图和弯矩图，可以确定杆件的危险截面及危险截面上的轴力 FN 和弯 矩 Mmax。 轴力 FN 对应的正应力在横截面上均匀分布，轴力为正时，产生拉应力；轴力为负时，产生压应 力。其值为 A FN  N = 弯矩 Mmax 对应的正应力沿横截面高度方向线性分布，相对对称轴一侧是拉应力，另一侧是压应 力，其值为 y I M z z  M = 应用叠加法，将同一点的两个正应力代数相加，所得的应力就是该点的总应力。由于弯曲正应 力的最大值出现在受弯方向的凹凸表面上，因此最大应力也应出现在此处。根据实际受力和截面形 状，最大正应力有不同的情形。若横截面在弯曲方向有对称轴，则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应 力相等，则有最大正应力 图 11.7 图 11.8

[FN]Mme(11-5)0=o+0m-+W强度条件与弯曲时相同，即0 mx ≤[0] 【例11-2】图11.9（a）所示起重支架，AB梁由两根并排槽钢复合而成。已知：α=3m，b=1mF=36kN，AB梁的材料许用应力[o]-140MPa。试选择槽钢型号。+4300MFO图 11.9 解：（1）确定AB梁的外力分析AB受力，画受力图如图11.9（b）所示。列平衡方程ZM,=0,Fcasin 30° -F(a+b)=0解得：Fc-96kN（2）作内力图，确定危险截面根据AB杆的外力，作杆的轴力图和弯矩图如图11.9（c）和（d）所示。从图中可以看到，在AC段既存在弯矩又有轴力，是拉弯组合变形：CB段是弯曲变形。显然C截面处是危险截面，其内力为FN =83.1kN,M = 36kNm（3）确定危险点应力，强度计算在C截面的上下侧边缘有最大弯曲正应力，上侧为拉应力，下侧为压应力：拉伸正应力各点相同。显然叠加后C截面上侧边缘各点正应力最大，是危险点。建立强度条件0m=+]因为上式中A和W.都未知，故用试凑法计算。可先只考虑弯曲应力确定W，选择槽钢型号，再进行校核。由_ 36×10′ [0]=140×10°MmxW.W.W.≥257×10-m3-257cm3得查型钢表，选二根18a槽钢，W=14.2×2cm2=282.8cm，相应得横截面积A=25.92×2=51.38cm2

Wz M A FN max  max =  N +  M max = + （11-5） 强度条件与弯曲时相同，即    max 【例 11-2】 图 11.9（a）所示起重支架，AB 梁由两根并排槽钢复合而成。已知：a=3m，b=1m， F=36kN，AB 梁的材料许用应力[σ]=140MPa。试选择槽钢型号。 解：（1）确定 AB 梁的外力 分析 AB 受力，画受力图如图 11.9（b）所示。列平衡方程 0 , sin 30 ( ) 0 0 M A = FCa − F a + b = 解得： FC=96kN （2）作内力图，确定危险截面 根据 AB 杆的外力，作杆的轴力图和弯矩图如图 11.9（c）和（d）所示。从图中可以看到，在 AC 段既存在弯矩又有轴力，是拉弯组合变形；CB 段是弯曲变形。显然 C 截面处是危险截面，其内 力为 FN = 83.1kN , Mmax = 36kNm （3）确定危险点应力，强度计算 在 C 截面的上下侧边缘有最大弯曲正应力，上侧为拉应力，下侧为压应力；拉伸正应力各点相 同。显然叠加后 C 截面上侧边缘各点正应力最大，是危险点。建立强度条件  = +   Wz M A FN max max 因为上式中 A 和 Wz 都未知，故用试凑法计算。可先只考虑弯曲应力确定 Wz，选择槽钢型号， 再进行校核。由   6 3 max 140 10 36 10  =   =  Wz Wz M 得 Wz≥257×10-6m3=257cm3 查型钢表，选二根 18a 槽钢，Wz=14.2×2cm3=282.8cm3，相应得横截面积 A=25.92×2=51.38cm2， 图 11.9

校核强度=143MPa [o]=140MPa最大应力没超过许用应力得5%，工程中许可，可以选用18a槽钢。如果最大应力超过许用应力较多，则应重新选择型钢，并进行强度校核。【例 11-3】图 11.10(a)所示悬臂钻床结构和受力。钻床立柱为空心铸铁管，管的外径D=140mm内、外径比d/D=0.75。铸铁的许用拉应力[α]=35MPa，许用压应力[αe]=90MPa，F=15kN，e=400mm校核立柱的强度，解：（1）确定立柱横截面的内力用假想截面沿m-m将立柱截开，取上半部分研究，如图11.10（b）所示。由平衡条件可得横截面上的轴力和弯矩分别为Fn = F =15kNM = Fe=6kNm（2）确定最大应力，强度计算立柱在偏心载荷 F 作用下产生拉弯组合变形。在立柱mm(a)(b)所有横截面上的轴力和弯矩都相等，各横截面的危险程度相同。根据图11.10（b）所示的轴力和弯矩的实际方向可图 11.10 知，横截面上的左侧α点承受最大压应力，右侧b点承受最大拉应力，其值分别为FeMx= 34.92MPaD(1-α）元D(1-α)4TM=-30.38MPaCExD(1-α）D(1-α)W.432可见，[o,],[o]，满足强度条件，立柱的强度足够。11.4 弯曲与扭转的组合11.4.1 弯扭组合变形杆件的危险截面分析机械中的传动轴、曲柄轴等零件除受扭转外，还经常伴随着弯曲变形，这种组合变形形式常称为弯扭组合，这是机械工程中最重要的一种组合变形形式。现以图 11.11（a）所示曲拐轴为例，说明弯扭组合变形的强度计算方法。首先分析 AB轴的受力。在不改变AB的内力和变形的前提下，将F力等效平移到B点，得到一个力F'和一个力偶MB，如图11.11（b）所示。其值分别为-使AB杆产生弯曲变形；F'=FMB=Fa—一使AB杆产生扭转变形。画出AB杆的扭矩图和弯矩图，如图11.11（c）和（d）所示。可以看出，在AB杆的固定端截面A上有最大扭矩和最大弯矩，是危险截面，危险截面上的扭矩和弯矩分别为

校核强度 143MPa   140MPa N max  max = + =   = Wz M A F 最大应力没超过许用应力得 5%，工程中许可，可以选用 18a 槽钢。如果最大应力超过许用应力 较多，则应重新选择型钢，并进行强度校核。 【例 11-3】图 11.10（a）所示悬臂钻床结构和受力。钻床立柱为空心铸铁管，管的外径 D=140mm， 内、外径比 d / D=0.75。铸铁的许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=90MPa，F=15kN，e=400mm。 校核立柱的强度。 解：（1）确定立柱横截面的内力 用假想截面沿 m-m 将立柱截开，取上半部分研究， 如图 11.10（b）所示。由平衡条件可得横截面上的轴力和 弯矩分别为 FN = F =15kN M = Fe = 6kNm （2）确定最大应力，强度计算 立柱在偏心载荷 F 作用下产生拉弯组合变形。在立柱 所有横截面上的轴力和弯矩都相等，各横截面的危险程度 相同。根据图 11.10（b）所示的轴力和弯矩的实际方向可 知，横截面上的左侧 a 点承受最大压应力，右侧 b 点承受 最大拉应力，其值分别为 30.38MPa 32 (1 ) 4 (1 ) 34.92MPa 32 (1 ) 4 (1 ) 2 2 3 4 c N max 2 2 3 4 t N max = − − − − = − = = − + − = + =           D Fe D F W M A F D Fe D F W M A F z z 可见，     c c t max t max    ,    ，满足强度条件，立柱的强度足够。 11.4 弯曲与扭转的组合 11.4.1 弯扭组合变形杆件的危险截面分析 机械中的传动轴、曲柄轴等零件除受扭转外，还经常伴随着弯曲变形，这种组合变形形式常称 为弯扭组合，这是机械工程中最重要的一种组合变形形式。现以图 11.11（a）所示曲拐轴为例，说 明弯扭组合变形的强度计算方法。 首先分析 AB 轴的受力。在不改变 AB 的内力和变形的前提下，将 F 力等效平移到 B 点，得到 一个力 F 和一个力偶 MB，如图 11.11（b）所示。其值分别为 F =F——使 AB 杆产生弯曲变形； MB=Fa——使 AB 杆产生扭转变形。 画出 AB 杆的扭矩图和弯矩图，如图 11.11（c）和（d）所示。可以看出，在 AB 杆的固定端截 面 A 上有最大扭矩和最大弯矩，是危险截面，危险截面上的扭矩和弯矩分别为 图 11.10

-b)C(d)M.-FAI图11.11T=M=Fa,Mmx=FI需要说明的是，横截面上还存在大小为F的剪力。但一般情况下剪力引起的切应力与扭转切应力相比很小，通常在研究弯扭组合变形强度问题时都不加考虑。11.4.2危险点及其应力状态危险截面上由于弯矩作用产生弯曲正应力，其应力分布如图11.11（e）所示，最大正应力出现在截面的上下边缘α、b两点处；由于扭矩作用产生扭转切应力，其应力分布如图11.11（f）所示，最大切应力出现在截面周边各点。显然，在α、b两点处同时有最大正应力和最大切应力，故α、b两点是危险点。将a、b两点的单元体取出，如图11.11（g）和（h）所示，是二向应力状态。最大扭转切应力和最大弯曲正应力分别为,0=MmW.Wp以上两式中，Wp和1W.分别为圆截面的抗扭截面系数和抗弯截面系数11.4.3强度条件及其应用对于塑性材料制成的杆件，可选用第三或第四强度理论进行强度计算。强度计算前先根据（10-4）式确定危险点的主应力1、02和 3，对于α点有[图) +7, 0:=0. 0,---(图)+0=号+ (2)对于b点有+T+t*,0,=0, 0,=-01=-号+V(22-V2选用第三强度理论进行强度计算时，两点数据代入强度条件公式，有

T M Fa M Fl = B = , max = 需要说明的是，横截面上还存在大小为 F 的剪力。但一般情况下剪力引起的切应力与扭转切应 力相比很小，通常在研究弯扭组合变形强度问题时都不加考虑。 11.4.2 危险点及其应力状态 危险截面上由于弯矩作用产生弯曲正应力，其应力分布如图 11.11（e）所示，最大正应力出现 在截面的上下边缘 a、b 两点处；由于扭矩作用产生扭转切应力，其应力分布如图 11.11（f）所示， 最大切应力出现在截面周边各点。显然，在 a、b 两点处同时有最大正应力和最大切应力，故 a、b 两点是危险点。将 a、b 两点的单元体取出，如图 11.11（g）和（h）所示，是二向应力状态。 最大扭转切应力和最大弯曲正应力分别为 Wz M W T max P  = ,  = 以上两式中，WP和 Wz 分别为圆截面的抗扭截面系数和抗弯截面系数。 11.4.3 强度条件及其应用 对于塑性材料制成的杆件，可选用第三或第四强度理论进行强度计算。强度计算前先根据（10-4） 式确定危险点的主应力 σ1、σ2 和 σ3，对于 a 点有 2 2 2 3 2 2 1 2 2 , 0 , 2 2           +       + = = −      = + 对于 b 点有 2 2 2 3 2 2 1 2 2 , 0 , 2 2           +       + = = − −      = − + 选用第三强度理论进行强度计算时，两点数据代入强度条件公式，有 图 11.11

0g=0,-0, = Vα* +4t” ≤[0](11-6)选用第四强度理论进行强度计算时，两点数据代入强度条件公式，有04 =/[0, -0, ) +(0, -0,) +(0, -0)]]- /* +3t2 [0](11-7)两点的相当应力相同，说明两点危险程度相同。将应力计算式代入（11-6）和（11-7）两式，并注意到圆截面杆的Wp=2W=，得到弯扭组合强度条件为M+s60g=o?+4t2(11-8)第三强度理论W. +0.75Ts6]Ou = Vo? +3t? -第四强度理论(11-9)W【例11-4】图11.12（a）所示电动机带动皮带轮工作。已知电动机的功率为9kW，转速为715转/分，皮带轮直径D=250mm，皮带的紧边拉力为Fi，松边拉力为F2，且F=1.5F2，电动机主轴外伸部分的长度=-120mm，直径d=40mm。若已知轴材料的许用应力为[o]-100MPa，试用第三强度理论校核主轴外伸部分的强度。2CEUHH图 112解：（1）主轴上作用外力的计算和简化电动机通过皮带轮输出功率，其作用在皮带轮上的外力偶矩为9kWm= 9549=9549×=120.2 Nm715r/min根据皮带拉力与外力偶矩的平衡关系有Fx号-Fxβ=m因为Fi=1.5F2，所以F =2884.8N, F, =1923.2N将电动机主轴外伸部分简化为悬臂结构，皮带拉力Fi和F2向轮心简化，得计算模型如图11.12（b）所示。其中F= F+F, =4808N（2）确定危险截面及其弯矩和扭矩作扭矩图和弯矩图如图11.12（c）所示。可以看出，在主轴根部有最大弯矩，同时受扭矩作用

 =  − =  +     2 2 r3 1 3 4 （11-6） 选用第四强度理论进行强度计算时，两点数据代入强度条件公式，有  = ( − ) + ( − ) + ( − )  =  +    2 2 2 3 1 2 2 3 2 r4 1 2 3 2 1 （11-7） 两点的相当应力相同，说明两点危险程度相同。 将应力计算式代入（11-6）和（11-7）两式，并注意到圆截面杆的 WP=2Wz，得到弯扭组合强度 条件为 第三强度理论       + = + = Wz M T 2 2 2 2 max r3 4 （11-8） 第四强度理论       + = + = Wz M T 2 2 2 2 max r4 0.75 3 （11-9） 【例 11-4】 图 11.12（a）所示电动机带动皮带轮工作。已知电动机的功率为 9kW，转速为 715 转/分，皮带轮直径 D=250mm，皮带的紧边拉力为 F1，松边拉力为 F2，且 F1=1.5F2，电动机主轴外 伸部分的长度 l=120mm，直径 d=40mm。若已知轴材料的许用应力为[σ]=100MPa，试用第三强度理 论校核主轴外伸部分的强度。 解：（1）主轴上作用外力的计算和简化 电动机通过皮带轮输出功率，其作用在皮带轮上的外力偶矩为 120.2 Nm 715r / min 9kW = 9549 = 9549 = n P m 根据皮带拉力与外力偶矩的平衡关系有 m D F D F  −  = 2 2 1 2 因为 F1=1.5F2，所以 F1 = 2884.8N , F2 =1923.2N 将电动机主轴外伸部分简化为悬臂结构，皮带拉力 F1 和 F2 向轮心简化，得计算模型如图 11.12（b） 所示。其中 F = F1 + F2 = 4808N （2）确定危险截面及其弯矩和扭矩 作扭矩图和弯矩图如图 11.12（c）所示。可以看出，在主轴根部有最大弯矩，同时受扭矩作用， 图 11.12

是危险截面。其扭矩和弯矩分别为T =m=120.2NmMmx = Fl = 576.96 Nm（3）强度校核按第三强度理论有M+T576.96 ±+120=93.8MPa[]Qa=元×0.043W:32所以，电动机主轴强度足够，是安全的

是危险截面。其扭矩和弯矩分别为 576.96 Nm 120.2 Nm max = = = = M Fl T m （3）强度校核 按第三强度理论有     =   + = + = 93.8MPa 32 0.04 576.96 120.2 3 2 2 2 2 max r3 Wz M T 所以，电动机主轴强度足够，是安全的