长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第3章 连续系统的拉普拉斯变换分析 3.3 拉普拉斯反变换

息長江大学3.3拉普拉斯反变换查表法部分分式展开法应用拉氏变换的性质长江大学

1 3.3 拉普拉斯反变换 ⚫ 查表法 ⚫ 部分分式展开法 ⚫ 应用拉氏变换的性质

部分分式展开法返回国用部分分式展开法求拉普拉斯反变换N(s)一般为有理函数。F(s)D(s)单极点：D(s)=0的根也称为的极点。F(s)-2KF(s)可展开成- s-pip, (i=1,2.n)为 n个不相等的单根。K, =(s-p)F(s)s=p,: f(t)=K,ep*e(t)i=l吴山大学电信学院

电信学院 2 部分分式展开法 返回 用部分分式展开法求拉普拉斯反变换， 一般为有理函数。 ⚫ 单极点：D(s)=0的根也称为的极点。 ( ) ( ) ( ) D s N s F s = = − = n i i i s p K F s 1 F(s)可展开成 ( ) p (i 1,2 n) i =  为 n个不相等的单根。 i i i s p K s p F s = − = ( ) ( ) =  = n i p t i f t K e t i 1 ( )  ( )

反变换公式例 3.142s2 + 16已知 F(s)求f(t)。(s2 +5s+6)(s+12)2s2 +16KK,K3解：F(s) =$+2 s+3s+12(s + 2)(s +3)(s +12)2s2 +16342s2 +1624K2K= 2.4110(s +3)(s+12)(s +2)(s +12)5=-3-95=-22s2 +16304152K,4590(s +2)(s+3) S=-12341522-12t312.4ef(t)=(t)e+e945吴江大学电信学院

电信学院 3 例 3.14 反变换公式 已知 ，求 f(t)。 ( 5 6)( 12) 2 16 ( ) 2 2 + + + + = s s s s F s 解： ( 2)( 3)( 12) 2 3 12 2 16 ( ) 1 2 3 2 + + + + + = + + + + = s K s K s K s s s s F s 2.4 10 24 ( 3)( 12) 2 16 2 2 1 = = + + + = s s s=− s K 9 34 ( 2)( 12) 2 16 3 2 2 − = + + + = s s s=− s K 45 152 90 304 ( 2)( 3) 2 16 12 2 3 = = + + + = s s s=− s K ( ) 45 152 9 34 ( ) 2.4 2 3 1 2 f t e e e t t t t        = − + − − −

部分分式展开法广返回多重极点：若 D(s)-(s-p)",令 n=3KK,K,F(s)可展开成 F(s)=(s-p)(s-p)s-pi2K,=(s- pl)"F(s)s-p-[(s- p)F(s)]K2s=pdsI d?[(s- p)" F(s)]--pK, =2 ds?Pen'+Kten'+Kensf(t) =c(t)2吴山大学电信学院

电信学院 4 部分分式展开法 返回 ⚫ 多重极点： 若 D(s)=(s – p1) n , 令 n=3 F(s)可展开成 1 3 2 1 2 3 1 1 ( ) ( ) ( ) s p K s p K s p K F s − + − + − = 1 ( ) ( ) 3 1 1 s p K s p F s = − = 1 [( ) ( )] 3 2 1 s p s p F s ds d K = − = 1 [( ) ( )] 2 1 3 2 1 2 3 s p s p F s ds d K = − = ( ) 2 ( ) 1 1 1 2 3 1 2 t e K t e K e t K f t p t p t p t        = + +

例3.15反变换公式1已知 F(s)=，求f(t)。s(s?-1)1KK2KK+K,解：F(s) =s(s+1)(s-1)5ss+ls-1S1-2sK=-1 =0K2 =2-1(s?-1)2S=0S=0P1 -2(s~ -1)2 + 4s(s -1)2sK4K3=-12(s2-1)4S=011K,(s+D)1 s=1 2r--r-1+eee)吴江大学电信学院

电信学院 5 例 3.15 反变换公式 已知 ，求 f(t)。 解： ( 1) 1 ( ) 3 2 − = s s F s ( 1)( 1) 1 1 1 ( ) 3 4 5 2 2 3 1 3 − + + = + + + + − = s K s K s K s K s K s s s F s 1 1 1 0 1 2 = − − = s s= K 0 ( 1) 2 0 2 2 2 = − − = s s= s K 1 ( 1) 2( 1) 4 ( 1)2 2 1 0 2 4 2 2 2 3 = − − − − + − = s s= s s s s K 2 1 ( 1) 1 1 4 3 = − = s s s=− K 2 1 ( 1) 1 1 5 3 = + = s s s= K ( ) 2 1 2 1 1 2 1 ( ) 2 f t t e e t t t        = − + + － −

返回部分分式展开法慧复数极点：若 D(s)-(s-α-jβ )(s-α+jβ）其根为pi,2=α±jβF(s)可展开成KK2Ms + NF(s)=s-α-jβs-α+jβ (s-α)+β2K, =(s-α- jβ)F(s)-α+jβ = K, /Z0, = A+ jB由于F(s)是S的实系数有理函数，应有K,=K =K,IZ-0, =A-jB吴山大学电信学院

电信学院 6 部分分式展开法 返回 ⚫ 复数极点： 若 D(s)=(s –-j )(s –+j ) , 其根为 p1,2= j F(s)可展开成 2 2 1 2 ( ) ( )     − +  + = − + + − − = s Ms N s j K s j K F s K１ = (s − − j)F(s) s=+ j =| K1 | 1 = A+ j B 由于F(s)是S的实系数有理函数，应有 K = K = K − = A− jB  2 1 1 1 | | 

返回服部分分式展开法复数极点原函数的形式之一KK2F(s) =K, -K,IZ0s-α-jβ s-α+jβ(0) = K,e(a+iB) + K,e(a-1B)=K,leje(a+jB)+/K,le-10e(α-iB)-K, lea[ej(B+0) +e-(B+0)]=21K, leat cos(βt+@)e(t)吴山大学电信学院

电信学院 7 部分分式展开法 复数极点 ⚫ 原函数的形式之一 j j t j j t j t j t K e e K e e f t K e K e ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 1 1 | | | | ( )           + − − + − = + = + 2 | | cos( ) ( ) | | [ ] 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 K e t t K e e e t t j t j t          = + = + + − +   s  j K s j K F s − + + − − = 1 2 ( ) 1 1 K１ =| K |  返回

返回门部分分式展开法复数极点原函数的形式之一KKF(s)=K, = A+ jBs-α-jβ s-α+jβf(t) = K,e(a+ip) + K,e(a-JB)i=(A+ jB)e(a+JB) +(A- jB)e(α-B)=ea'[A(ejBt +e-jBi)+ jB(eiBt-e-iB)]2eαt[AcosBt-Bsinβt]e(t)吴山大学电信学院

电信学院 8 部分分式展开法 复数极点 ⚫ 原函数的形式之二   s  j K s j K F s − + + − − = 1 2 ( ) K１ = A+ jB j t j t j t j t A j B e A j B e f t K e K e ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )         + − + − = + + − = + 2 [ cos sin ] ( ) [ ( ) ( )] e A t B t t e A e e j B e e t t j t j t j t j t          = − = + + − − − 返回

返回慧部分分式展开法复数极点原函数的形式之三Ms + NβM(s-α)Mα + NF(s) =(s-α)2+β2(s-α) +β2(s-α)2 +ββs-α< eat cos βte(t)(s-α)’ +β?βeat sin βt(t)(s-α)+ β?Maα+Nearsin ot)e(t)f(t)= (Meαt cos βt +β吴江大学电信学院

电信学院 9 部分分式展开法 复数极点 ⚫ 原函数的形式之三 2 2 ( ) ( ) − +  + = s Ms N F s cos ( ) ( ) 2 2 e t t s s t        − + − sin ( ) ( ) 2 2 e t t s t        − + 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )         − + + + − + − = s M N s M s ( ) ( cos e sin t) (t) M N f t Me t t t       +  = + 返回

反变换公式例 3.161，求f(t)。已知 F(s)s(s2 -2s +5)解一：s2-2s+5=0解得：Si,2 =1± j2K,K,F(s)=K+s s-1- j2 s-l+ j2K--2sl-J51/ -90°- arctan 2 =Z -153.4°K, =20s(s-1+ j2)/ s=l+j2(1+ j2): j44V5V5f(t) =cos(2t -153.49) s(t)1OS510吴江大学电信学院1O

电信学院 10 例 3.16 反变换公式 已知 ，求 f(t)。 ( 2 5) 1 ( ) 2 − + = s s s F s 解一： s 2 − 2s +5 = 0 解得： 1 2 1,2 s =  j 1 2 1 2 ( ) 1 2 2 s j K s j K s K F s − + + − − = +  5 1 2 5 1 0 1 2 = − + = s s s= K = − − = −  +  = − + = = + 153.4 20 5 90 arctan 2 4 5 1 (1 2) 4 1 ( 1 2) 1 1 2 2 s s j j j K s j cos(2 153.4 ) ( ) 10 5 5 1 f (t) e t t t           = + − 