长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第7章 连续信号的傅里叶变换分析 7.3 周期信号的傅里叶变换 7.4 傅里叶反变换

具Parseval定理F(jo)do--F(jo)do[/ f(t) dt =2元时域求得的信号能量频域求得的信号能量上式是非周期信号的能量等式，是Parseval定理在非周期信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得也可以从频域中求得。吴山大学电信学院

电信学院 1 Parseval定理    −  − =    f t dt F j d 2 2 ( ) 2 1 | ( ) |   = 0 2 ( ) 1    F j d 上式是非周期信号的能量等式，是Parseval 定理在非周期 信号时的表示形式。所以，信号能量可以从时域中求得， 也可以从频域中求得。 时域求得的信号能量 频域求得的信号能量

例7.12具sin 5t的能量。求信号f(t)=2cos997t元t解：已知：1 0059971-[6(α-997)+ (0+99)] G (0) -TSa()元根据对偶特性: TSa()一 2元G,(0) 令t=10 10Sa(51)- 2元G(0)210sin5t工cos997tcos997t·10Sa(5t)f(0) =5t元元1根据频域卷积定理：F(jの)=2元G(@)*[8(@ -997) + 8(0 +997)]2元=Gio(@ - 997)+Gio(0 +997)信号的能量为：-F(0) do--[F(j0) do-10E-[f() dt =21吴山大学电信学院

电信学院 2 例 7.12 求信号 的能量。 t t f t t  sin 5 ( ) = 2cos997  解：已知： cos997 [ ( 997) ( 997)] 1    − +   +  t ) 2 ( ) (   G t  Sa cos997 10 (5 ) 1 5 sin 5 cos997 10 ( ) t Sa t t t f t = t  =     根据频域卷积定理： 信号的能量为： 根据对偶特性： ) 2 ( ) 2 (     G t Sa  10 (5 ) 2 ( ) 令 =10 Sa t  G10  ( 997) ( 997) 2 ( ) [ ( 997) ( 997)] 2 1 ( ) 1 0 1 0 1 0 = − + + =   − + +           G G F j G E f t dt F j d F j d J        10 ( ) 1 ( ) 2 1 [ ( )] 0 2 2 2 = = = =      −  −

例7.13广求信号f(t)=e-ate(t)的能量。确定有效带宽r(rad/s)，使得有效带宽内(の<）的频谱分量所贡献的能量是信号能量E的95%。解 信号的能量是 E-[f"(t)dt=[。e-2a"dt=00这个结果表明，0~0的频谱分量含有信号总能量的95%。而余下的频谱分量仅有信号能量的5%大多数信号能量都是包含在某个频带の之内这个带宽就称为信号的有效带宽arctan二arctan-2a元J00元aa元a+a0Q0.95元=12.7062aOB = a tan(2吴大学电信学院

电信学院 3 例 7.13 ⚫ 求信号f(t)=e-at(t)的能量。确定有效带宽B(rad/s)，使得有 效带宽内(||<B )的频谱分量所贡献的能量是信号能量E的 95%。 ⚫ 解 信号的能量是 a E f t dt e dt at 2 1 ( ) 0 2 2 = = =    −  − j a F j + =   1 ( )  = B E F j d     0 2 1 ( ) 1 根据题意 ( ) 0.95 1 2 0 2 1 = =  B a F j d E E     a a a a a d a B B B          arctan 1 arctan 1 1 2 0.95 0 0 2 2 = = + =  a a B ) 12.7062 2 0.95 = tan( =   这个结果表明，0~B的频谱分量含有信号总能量 的95%。而余下的频谱分量仅有信号能量的5%。 大多数信号能量都是包含在某个频带B之内， 这个带宽就称为信号的有效带宽

7.3周期信号的傅里叶变换傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周期与非周期信号的分析统一起来虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也反映了周期信号的离散性，除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似。爱山大学电信学院

电信学院 4 7.3 周期信号的傅里叶变换 ⚫ 傅里叶变换可以推广至周期信号，其目的是把周 期与非周期信号的分析统一起来， ⚫ 虽然周期信号不满足绝对可积条件，但周期信号 的傅里叶变换可以通过冲激函数表达出来，这也 反映了周期信号的离散性。 ⚫ 除了将幅度频谱画作冲激之外，周期信号的傅里 叶变换与其傅里叶级数的系数的双边频谱相似

具正弦信号的傅里叶变换考虑余弦信号f(t) = cos(の,t + 0)cos 0,t - 元[S( +0.) +S(0 - 0.)]品，有根据时移性质，t→t+006Ocos(0,t +0) 元[s(0 +0.) +s(0-0.lecos(0t + 0) - 元[8(0 + 0.)e-j0 + S(α - 0.)ei9]t |F(jo)to(o)10（元）（元）000000o0o吴江大学电信学院

电信学院 5 正弦信号的傅里叶变换 ⚫ 考虑余弦信号 ( ) cos( ) f t = 0 t + cos [ ( ) ( )] 0     +0 +  −0 t 根据时移性质， 0  t → t + ，有             0 cos( ) [ ( ) ( )] 0 0 0 j t +  + + − e cos( ) [ ( ) ( ) ] 0 0 0            j j t +  + e + − e −  F( j) 0 0 0 − ( ) ( ) ()  − 0  0 −0

一般周期信号的傅里叶变换周期信号可表示为：(t)=Femo=已知ejnot一2元S(α-n0)f(t)=ZF,e/m00-2元21F,S(-noo)上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基频の.和它所有谐波频率上。而且冲激的强度等于傅里叶级数的系数2元F，。也可以说明，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特例。吴江大学电信学院

电信学院 6 一般周期信号的傅里叶变换 周期信号可表示为:   =− = n jn t n f t F e 0 ( ) ~   上式说明：周期信号的频谱是离散的，它集中在基 频0和它所有谐波频率上。而且冲激的强度等于傅 里叶级数的系数 。也可以说明，傅里叶级数是 傅里叶变换的一种特例。    =−  =− =  − n n n j n t n f (t) F e 2 F ( n ) ~ 0 0        Fn   2 2 ( ) 0 0      e n j n t 已知  −

例7.14具冲激串函数8r(t), (0)- 2元 F,8(0 - n00)n=02元f.-1o0emd-元0一元O2元Z88(α-n00)= 0. S(0-n0.) = 0. S, (0)8,(t) <←ITn=-0n=8. (0)0f, (t)(1)1020-0000-2T.-T,02T20To周期为0=2元/T吴山大学电信学院

电信学院 7 例 7.14 ⚫ 冲激串函数T0(t)   =  − 0 0 ( ) 2 ( ) 0 n T n  t  F   n 周期为0=2/T0 ( ) 0 t  T − 2T0 −T0 T0 2T0   (1) t 0 ( ) 0    0 0 − 20 −0 2   ( ) 0 0  − − = = = 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 , 1 ( ) 1 T T T T t e dt T F j n t n T         =−  =−  − = − = n n T n n T t ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0 0 0 0 0             

广周期信号的傅里叶变换公式周期函数的频谱f(0)f.(t)0.(0)2T-T。OT.2T2T。-T。1021.周期函数f(t)=fi(t)*S,(t)，其中：f(t)为周期函数的傅里叶ST.变换的一般公式若f(t)F(jの)，根据时域卷积定理F(jの) = F(j) · (@)吴山大学电信学院

电信学院 8 周期函数 ，其中： 为第一个周期， 为冲激串。 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) f t ~ 1 0 f t f t t =  T ( ) 0 t  T 周期信号的傅里叶变换公式 ⚫ 周期函数的频谱 若 f 1 (t)  F1 ( j) ，根据时域卷积定理： 周期函数的傅里叶 变换的一般公式 − 2T0 −T0 T0 2T0   ( ) ~ f t 0 t ( ) 0 t  T − 2T0 −T0 T0 2T0   (1) 0 0 t T0 ( ) 1 f t t  ( ) ( ) ( ) 0 F j = F1 j 0   

例7.15具周期矩形脉冲信号的傅里叶变换OT第一个周期：f(t)=G,(t) tSa(2故信号的频谱为：0t)8F(jo) =F(jo)·O.S (o)= tO,Sa((00o2sa(n0")6(o-no.)显然这是To=2tTOo-2的频谱图7=OF(jo)f(t)TO00-10号1吴山大学电信学院

电信学院 9 例 7.15 ⚫ 周期矩形脉冲信号的傅里叶变换 ) 2 ( ) ( ) ( 1    第一个周期： f t = G t  Sa 故信号的频谱为： 显然这是T0=2 的频谱图 F(jω)  2 0 0  0  f (t) 0 T 2  t 2  −T0 − 0   1 ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( 1 0 0 0 0            F j = F j  = Sa   =− = − n n n Sa ) ( ) 2 ( 0 0 0      

7.4傅里叶反变换傅里叶反变换的求法是借助于已知的变换对和性质，与求傅里叶变换的方法相同。例7.16F(jo)ZF(o)30°160°(5元)（5元）O(3元)0t(3元)?04-20-60°30°2-2044f (t) = 3cos(2t -30°) + 5cos(4t + 60°)员山大享电信学院

电信学院 10 7.4 傅里叶反变换 ⚫ 傅里叶反变换的求法是借助于已知的变换对和性 质，与求傅里叶变换的方法相同。 ⚫ 例7.16  F( j) − 2 0 2 (5 ) (3 )  F() 0 60 (5 ) − 4 (3 ) 4 −30 30 −60 4 2 − 2 − 4 f (t) = 3cos(2t − 30) + 5cos(4t + 60)