长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第4章 离散系统的时域分析 4.4 差分方程的解法

门4.4差分方程的解法选代法可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式（或称闭式）解答较为困难。经典法和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较烦，但各响应分量的物理概念比较清楚卷积和法利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系统的完全响应Z变换法爱大学电信学院

电信学院 1 4.4 差分方程的解法 ⚫ 迭代法 ◆可以利用手算或计算机递推法算，方法简便，概念 清楚，但对于复杂问题直接得到一个解析式(或称闭 式)解答较为困难。 ⚫ 经典法 ◆和连续系统的时域分析法相似，先求齐次解和特解， 再根据边界条件求待定系数，时域法求解过程比较 烦，但各响应分量的物理概念比较清楚。 ⚫ 卷积和法 ◆利用卷积和法求系统的零状态响应，再由齐次解求 零输入响应，零状态响应与零输入响应之和即为系 统的完全响应。 ⚫ Z变换法

慧选代法令ay(k-i)=b,f(k-) 式的 ao=1,i=0i=0则常系数线性差分方程为M+Zy(k)=-ay(k-i)+b,f(k-i)i=0令上式中k=0，有y(0) =-ay(-1) -α,y(-2)-..:-αny(-N)+bo f(O)+ b f(-1)+...+ bm f(-M)即 (O)是差分方程的系数与 (-1),(-2),:::(-N)和 f(O),f(-1),..:, f(-M)的线性组合。吴山大学电信学院

电信学院 2 迭代法 ⚫ 令 式的 ， ⚫ 则常系数线性差分方程为 ⚫ 令上式中 ，有 ⚫ 即 是差分方程的系数与 ， ， 和 的线性组合。   = = − = − N i M i i l a y k i b f k i 0 0 ( ) ( ) 1 a0 =   = = = − − + − M i i N i i y k a y k i b f k i 1 0 ( ) ( ) ( ) k = 0 (0) ( 1) ( ) (0) ( 1) ( 2) ( ) 0 1 1 2 b f b f b f M y a y a y a y N M N + + − + + − = − − − − − − −   y(0) y(−1) y(−2)  y(−N) f (0), f (−1), , f (−M )

慧选代法令上式中k=1.有..-αny(-N+l)y(1) =-a,y(O) -a, y(-1) -+ b. f(I) + b, f(O) + ... + bm f(-M + 1)y(0) y(-1) :: :(-N +1)所以，V(1是差分方程的系数与和f(1),f(O), 的线性组合。以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响应值。这种送代方法最适合用计算机计算，下面我们用Matlab来实现这种计算吴山大学电信学院

电信学院 3 迭代法 ⚫ 令上式中 ，有 ⚫ 所以， 是差分方程的系数与 ， ， 和 的线性组合。 ⚫ 以此类推，通过反复迭代，就可以求出任意时刻的响 应值。这种迭代方法最适合用计算机计算，下面我们 用Matlab来实现这种计算。 k =1 (1) (0) ( 1) (1) (0) ( 1) ( 1) 0 1 1 2 + + + + − + = − − − − − − + b f b f b f M y a y a y a y N M N   y(1) y(0) y(−1)  y(−N +1) f (1), f (0),, f ( −M +1)

广选代法y(k)--a,y(k-i)+Zb,(k-1)i=1i=0上式中的第一项为y(k- N)y(k - N + 1Zay(k-)-lav an-t a]i=1y(k -1)第二项求和与上式类似吴江大学电信学院

电信学院 4 迭代法   = = = − − + − M i i N i i y k a y k i b f k i 1 0 ( ) ( ) ( )               − − + − − = − =  ( 1) ( 1 ( ) ( ) 1 1 1 y k y k N y k N a y k i aN aN a N i i   上式中的第一项为 第二项求和与上式类似

计算机例题C4.3用MATLAB迭代计算差分方程y(k) - y(k -1) + 0.24y(k -2) = f(k) - 2 f(k - 1)其中输入信号 f(k)=kc(k), 初始条件y(-1)= 2,y(-2)=1 。解Matlab程序如下：+k=-2:10;n=length(k)-2;y=[1,2,zeros(1,n)l;f-k. *u(k);for i=3:n+2y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1):endclf;stem(k,y);xlabel(k);ylabel(y(k));disp(ky);disp([num2str([k,y'DD)吴山大学电信学院

电信学院 5 计算机例题C4.3 ⚫ 用MATLAB迭代计算差分方程 其中输入信号 ，初始条件 。 解 Matlab程序如下： ◆ k=-2:10;n=length(k)-2; ◆ y=[1,2,zeros(1,n)];f=k.*u(k); ◆ for i=3:n+2 ◆ y(i)=y(i-1)-0.24*y(i-2)+f(i)-2*f(i-1); ◆ end ◆ clf;stem(k,y);xlabel('k');ylabel('y(k)'); ◆ disp('k y');disp([num2str([k',y'])]) f (k) = k (k) y(k) − y(k −1) + 0.24y(k − 2) = f (k) − 2 f (k −1) y(−1) = 2, y(−2) = 1

慧Matlab程序运行结果W21.762.281.85760.31040-10-2.13542-15-5.20992-8.69742-20-12.447-16.3597-2502460107k-20.372410-24.4461吴江大学电信学院

电信学院 6 Matlab程序运行结果 ⚫ >> k y ⚫ -2 1 ⚫ -1 2 ⚫ 0 1.76 ⚫ 1 2.28 ⚫ 2 1.8576 ⚫ 3 0.3104 ⚫ 4 -2.13542 ⚫ 5 -5.20992 ⚫ 6 -8.69742 ⚫ 7 -12.447 ⚫ 8 -16.3597 ⚫ 9 -20.3724 ⚫ 10 -24.4461

差分方程的经典解法全响应一齐次解（自由响应）十特解（强迫响应）齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点齐次解有不同的形式。般形式（无重根）：Zcnyh(k) =元.特征根i-1特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定用初始值确定系数Ci。一般情况下n阶方程有n个常数可用个初始值确定吴山大学电信学院

电信学院 7 差分方程的经典解法 ⚫ 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) ◆齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有 频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一 般形式（无重根）： ◆特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定 系数法确定。 ◆用初始值确定系数Ci。一般情况下，n 阶方程有n个常数， 可用n个初始值确定。 i 特征根 n i k h Ci i y k    = = 1 ( )

例4.5儿描述某线性非移变系统的差分方程为y(k) +3y(k -1) +2y(k -2) = 2* (k)试求：当初始状态为 y-1)=0,-2)= /时，求全响应。解：（1)求齐次解，特征根为:=-1,=-2: y,(k)= C(-1)k +C,(-2)(2)求特解：设特解为:y,(k)=P(2)将y（K)代入原差分方程，得：P(2)* + 3P(2)kl + 2P(2)k-2 = 2kP(2) +号 P(2) +2 P(2) = 2h解得：P=234,(4)-1(2)吴江大学电信学院

电信学院 8 例 4.5 描述某线性非移变系统的差分方程为 试求：当初始状态为 y(-1)=0, y(-2)= ½时，求全响应。 y(k) 3y(k 1) 2y(k 2) 2 (k) k + − + − =  解：(1)求齐次解，特征根为： 1, 2 1 = − 2 = − k k yh (k) C ( 1) C ( 2)  = 1 − + 2 − (2)求特解：设特解为： k yp (k) = P(2) 将yp(k)代入原差分方程，得： k k k k P(2) 3P(2) 2P(2) 2 1 2 + + = − − 解得： 3 1 P = k p y k (2) 3 1  ( ) = k k k k P P P(2) 2 4 2 (2) 2 3 (2) + + =

例4.5(3）用初始值求常数：全响应为: (h)=y(k)+y,(k)=C(-1) +C,(-2) +(2)初抢件代入上代但D差分方程的经典解法与微分方程的经典解法类似！强迫响应自由响应吴江大学电信学院

电信学院 9 例 4.5 (3)用初始值求常数： 全响应为： k k k y k yh k y p k C C (2) 3 1 ( ) ( ) ( ) ( 1) ( 2) = + = 1 − + 2 − + 将初始条件代入上式，得： 0 6 1 2 ( 1) 2 − = − 1 − + = C y C 2 1 12 1 4 ( 2) 2 − = 1 + + = C y C 3 2 C1 = C2 = −1 解得： 故，全响应为： (2) 0 3 1 ( 1) ( 2) 3 2 y(t) = − − − + k  k k k 自由响应 强迫响应 差分方程的经典解法与 微分方程的经典解法类似！

例4.6广，描述银行存款模型的差分方程为y(k +l) -(1+r)y(k) = f(k + 1)这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，k）代表每年开始时还贷的金额V(K)代表扣除当期还贷金额后的还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%即或1-0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年所需的还贷额。解设每年所需的还贷额为P则f(k)-P初始条件是贷款v（0一-20000。注意，由于还贷10次后将全部还清贷款余额必须找出使y(10）=0的每年所需还贷额P。吴山大学电信学院

电信学院 10 例 4.6 ◆描述银行存款模型的差分方程为 ◆这个模型也可以用来计算还贷余额。其中，f(k)代表每 年开始时还贷的金额，y(k)代表扣除当期还贷金额后的 还贷余额，若向银行贷款20000元，每年利息是10%， 即或r=0.1。按等额还贷法计算10年归还贷款本息时每年 所需的还贷额。 ⚫ 解 设每年所需的还贷额为P，则f(k)=P。 ◆初始条件是贷款y(0)=-20000 。注意，由于还贷10次后将 全部还清贷款余额，必须找出使y(10)=0的每年所需还贷 额P。 y(k +1) − (1+ r) y(k) = f (k +1)