长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第2章 连续系统的时域分析 2.1 系统模型的建立 2.2 微分方程的经典解法 2.3 零输入响应和零状态响应

長江大学息第2章连续系统的时域分析讨论微分方程的经典解法系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应弄清系统响应的两种分解，四种响应之间的关系。理解两种初始值的含义说明卷积积分的意义及性质应用图解法、解析法和性质法计算卷积积分。分析系统的串联和并联结构讨论自相关和互相关及其应用长江大学教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社

教材：金波张正炳编著《信号与系统分析》高教出版社 1 第2章 连续系统的时域分析 ⚫讨论微分方程的经典解法。 系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应。 弄清系统响应的两种分解，四种响应之间的关系。 理解两种初始值的含义。 ⚫说明卷积积分的意义及性质。 ◆应用图解法、解析法和性质法计算卷积积分。 ◆分析系统的串联和并联结构。 ⚫讨论自相关和互相关及其应用

2.1系统模型的建立广电气系统1R1iR(t) =-u.(t)uc(tis(t)RRTil(t) =uc(t)dL-orduc(t)ic(t)=cadt根据KCL有ir(t)+i(t)+ic(t)=is(t)d'uc(t)di,(t)11duc(t)-uc(t) =-+dt?RLdt dt吴江大学电信学院

电信学院 2 2.1 系统模型的建立 ⚫ 电气系统 − + u (t) i S (t) C R i L i C i ( ) R L C 1 ( ) u t R i t R = C u  d L i t t L  C − = ( ) 1 ( ) dt du t i t C C C ( ) ( ) = i (t) i (t) i (t) i (t) 根据KCL有 R + L + C = S dt di t u t dt L du t dt R d u t C S C C C ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 2 + + =

2.1系统模型的建立机械系统dy(t)国##所f(t) = k, y(t)f(t) = kadtk.ky(t)位置y(t)位置(b）弹簧(a）阻尼器运动物体的惯性力 r()-Md"()dt?k,惯性力摩擦力弹簧力f(t)Md?y(t)dy(t)M+kdk,y(t)= f(t)+dt?Kddty(t)外力吴山大学电信学院

电信学院 3 2.1 系统模型的建立 ⚫ 机械系统 dt dy t f t kd ( ) ( ) = kd y(t)位置 (a) 阻尼器 f (t) k y(t) = s y(t)位置 s k (b) 弹簧 运动物体的惯性力 2 2 ( ) ( ) dt d y t f t = M f (t) y(t) s k d k M ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 k y t f t dt dy t k dt d y t M + d + s = 惯性力 摩擦力 弹簧力 外力

儿2.1系统模型的建立机电系统T(t) = k- f(t)f(t)iT(t)0(t)de(t)BBdtj d0(t)de(t)=k. f(t)+ Bdt?dt电动机产生的力矩惯性力矩阻尼力矩吴江大学电信学院

电信学院 4 2.1 系统模型的建立 ⚫ 机电系统 J f (t) L i  (t) B T (t) dt d t B  ( ) T(t) k f (t) = T ( ) ( ) ( ) 2 2 k f t dt d t B dt d t J + = T   惯性力矩 阻尼力矩 电动机产生的力矩

2.2微分方程的经典解法慧全响应一齐次解（自由响应）十特解（强迫响应）齐次解y（t）：齐次方程（右边为零时）的解dn-lydyd"y+a.y= 0LO.+adt n-1dtdtn写出特征方程求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点齐次解有不同的形式无重根：y,()-ECew元为特征根i=1有重根: yh(t) =(Cr-ft"-l + Cr-2t"-2 +..+ Ct + Co)eu房山大学电信学院

电信学院 5 2.2 微分方程的经典解法 ⚫ 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) ◆齐次解yh (t)：齐次方程（右边为零时）的解 写出特征方程，求出特征根(自然频率或固有频率)。根据 特征根的特点，齐次解有不同的形式。 无重根： 有重根: = = n i t h i i y t C e 1 ( )  i 为特征根 r t r r h r y t C t C t C t C e  ( ) ( ) 1 0 2 2 1 = 1 + + + + − − − −  1 0 0 1 1 + 1 + + + = − − − a y dt dy a dt d y a dt d y n n n n n 

服2.2微分方程的经典解法特解yp(t) :根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。全解（全响应）：y(t) = y(t)+ y,(t)=ce +y,(0)i=1一般情况下，n阶方程有n个用初始值确定积分常数常数，可用个n初始值确定吴江大学电信学院

电信学院 6 2.2 微分方程的经典解法 ◆特解yp (t)： ➢ 根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数 法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是 稳态解。 ◆全解（全响应）： ◆用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个 常数，可用个 n 初始值确定。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 y t y t y t C e y t p n i t h p i i = + =  + = 

例2.3描述某线性非时变系统的方程为y"(t)+3y'(t)+2y(t) = f'(t)+2f(t)试求：当 f(t)=t2,y(O)=时的金解l解：（1）求齐次解，特征方程为：2+31+2=0元=-1,2=-26-2Yh(t)= Ce+Ce吴山大学电信学院

电信学院 7 例 2.3 描述某线性非时变系统的方程为 y (t) +3y (t) + 2y(t) = f (t) + 2 f (t) 试求：当 ( ) , (0) 时的全解 1, (0) 。 1 2 f t = t y = y  = 解：(1)求齐次解，特征方程为：  1 = −1, 2 = −2 t t h y t C e C e 2 1 2 ( ) − −  = + 3 2 0 2  +  + =

例 2. 3 y(t)+3y(t)+2y(t)= f'(t)+2f(t)(2)求特解：y,(t)= Pt + Pt + P设特解为：将上式代入原微分方程，得：2P, + 3(2P,t+ P)+ 2(P,t2 + Pt + P) = 2t +2t即: 2P,t2 +(2P +6P)t+(2P+3P+2P)=2t +2t比较系数可得：2P, =2解之： P, =12P +6P, = 2P =-22P。 +3P + 2P, = 0P=2y,(t)=t - 2t+2吴山大学电信学院

电信学院 8 例 2.3 ⚫ (2)求特解： y (t) +3y (t) + 2y(t) = f (t) + 2 f (t) 设特解为： 1 0 2 2 yp (t) = Pt + Pt + P 将上式代入原微分方程，得： 2 1 0 2 2P2 + 3(2P2 t + P1 ) + 2(P2 t + Pt + P ) = 2t + 2t 2Pt (2P 6P )t (2P 3P 2P ) 2t 2t 2 1 2 0 1 2 2 即： 2 + + + + + = + 比较系数可得： 2 2 P2 = 2P1 + 6P2 = 2 2 3 2 0 P0 + P1 + P2 = 解之： 1 2 P = 2 1 P = − 2 0 P = ( ) 2 2 2  yp t = t − t +

例2.3全解的通解为：y(t) = yh(t)+ y,(t) =C,e-l +C,e-21 +t2 - 2t + 2将初始条件代入上式，得：y(0)=C +C, +2 =1[C=1y(0) = -C -2C -2=1C =-2强迫响应自由响应故，全解为：y(t)=e'-2e-2 +t?-2t+2t≥0吴江大学电信学院

电信学院 9 例 2.3 ⚫ 全解的通解为： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = + = 1 + 2 + − + − − y t y t y t C e C e t t t t h p 将初始条件代入上式，得： (0) 2 1 y = C1 +C2 + = (0) 2 2 1 y  = −C1 − C2 − = 1 C1 = 2 C2 = − 自由响应 强迫响应 ( ) 2 2 2 0 2 2 = − + − +  − − y t e e t t t 故，全解为： t t

2.3零输入响应和零状态响应慧零输入响应的求法与齐次解一样ZCvesy,(t) =i=1C.由初始值确定元，为特征根零状态响应的求法与求非齐次方程一样y,()-齐次解+特解-ZCe+y,(0)j-1元为特征根C由零状态初始值确定吴山大学电信学院

电信学院 10 2.3 零输入响应和零状态响应 ⚫ 零输入响应的求法与齐次解一样 = = n i t zi xi i y t C e 1 ( )  i 为特征根 Cxi 由初始值确定 ⚫ 零状态响应的求法与求非齐次方程一样 ( ) ( ) 1 y t C e y t p n j t z s f j j =  + =  齐次解＋特解＝  j 为特征根 Cf j 由零状态初始值确定