长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第5章 离散系统的Z变换分析 5.4 差分方程的Z变换解 5.5 系统函数与系统特性

具5.4差分方程的Z变换解返回移位特性Zr(k)=t [f(k -m)e(k)]=z-m F(-)+zk=-mm-3时, %[f(k-3)e(k)]= z -3F(z)+ f(-1) z -2 + f(-2) z -1+ f(-3)m=2时, % [f(k-2)e(k)]= z -2F(z)+ f(-1) z-1 + f(-2) (k +m)(k)=-"F(=)--"Zf(k)z-k=0m=3时 % [f(k+3)e(k)]= z3F(z)-f(0) z3 - f(1) z2- f(2)zm=2时 ,%[f(k+2)e(k)]=z2F(z)- f(0) z2-f(1)z吴山大学电信学院

电信学院 1 5.4 差分方程的Z变换解 返回 ⚫ 移位特性  − = − + = − 1 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) m k m m k Z f k m  k z F z z f k z ◆ m=3时, Z [f (k-3)(k)]= z -3F(z)+ f (-1) z -2 + f (-2) z -1+ f (-3) ◆ m=2时, Z [f (k-2)(k)]= z -2F(z)+ f (-1) z -1 + f (-2)  − =− − − − − = + 1 [ ( ) ( )] ( ) ( ) k m m m k Z f k m  k z F z z f k z ◆ m=3时，Z [f(k+3)(k)]= z3F(z)- f(0) z 3 - f(1) z 2 - f(2)z ◆ m=2时，Z [f(k+2)(k)]= z 2F(z)- f(0) z 2 - f(1)z

具前向差分方程查公式考虑二阶系统：y(k +2)+ay(k +1)+aoy(k) =b, f(k+2)+b f(k +1)+bof(k)初始值：y(O),y(1)两边取乙变换有：(2 +az + αo)Y(=)- y,(0)z2 - y,(1)z-ay.,(0)z =(b,z + b,z+ bo)F(2)Y()-.():ty.03+ay.(0)=+bg+bs+bhF(c)z? +a,z+ao= +az+ao零输入响应零状态响应其中H(2) =元涵数z+az+ao吴山大学电信学院

电信学院 2 前向差分方程 考虑二阶系统： ( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( ) 1 0 2 1 0 y k + + a y k + + a y k = b f k + +b f k + +b f k ⚫ 初始值： (0), (1) zi zi y y 两边取Z变换有： ( ) ( ) (0) (1) (0) ( ) ( ) 1 0 2 1 2 2 1 0 2 z a z a Y z y z y z a y z b z b z b F z + + − z i − z i − z i = + + ( ) (0) (1) (0) ( ) 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 1 2 F z z a z a b z b z b z a z a y z y z a y z Y z z i z i z i + + + + + + + + + = Y(z) Y (z) Y (z) = zi + zs Y (z) H(z)F(z) zs = 1 0 2 1 0 2 2 ( ) z a z a b z b z b H z + + + + 其中： = 系统函数 零输入响应 零状态响应 查公式

前向差分方程具查公式考虑二阶系统：y(k+2)+a, y(k + 1) +aoy(k) = b, f(k+2)+ b f(k +1)+b.f(k)初始值：y(O), y(1)两边取Z变换有：考虑所给是系统响应初始值。故有(z +α,z +α)Y(z) - y(O)z2 - y(1)z -a y(O)z=(b,z2 +b,z+b.)F(z)-b, f(O)z2- b, f(1)z-b f(O)z令 : M(=)=[v(0) -b, f(0)-2 +[y(1)+aiy(0) -b, f(I)-b,(0)]2M()b,2* + bz+ bo0. F(=)Y() =z +az+aoz +a,z+aoY(z零状态响应零输入响应吴江大学电信学院

电信学院 3 前向差分方程 考虑二阶系统： ( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( ) 1 0 2 1 0 y k + + a y k + + a y k = b f k + +b f k + +b f k ⚫初始值： y(0), y(1) 两边取Z变换有：考虑所给是系统响应初始值。故有： ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 F z z a z a b z b z b z a z a M z Y z + + + + + + + = Y(z) Y (z) Y (z) = zi + zs 零输入响应 零状态响应 查公式 b z b z b F z b f z b f z b f z z a z a Y z y z y z a y z ( ) ( ) (0) (1) (0) ( ) ( ) (0) (1) (0) 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 1 0 2 = + + − − − + + − − − M(z) [y(0) b f (0)]z [y(1) a y(0) b f (1) b f (0)]z 1 2 1 2 令： = − 2 + + − −

系统函数定义零状态响应的z变换Y.(2)H(z) =激励信号的z变换F(z)二阶系统零状态响应b,= +b,=+bo F(2) = H(2)F(2)Ys(z) =2? + a,z +ao对n阶LTI系统的系统函数bm" +bm-12"-l +..+b,z+ boH() =-an=" +an-z"- +...+a,z+ao吴江大学电信学院

电信学院 4 系统函数 ⚫ 定义 ⚫ 二阶系统零状态响应 ⚫ 对n阶LTI系统的系统函数 ( ) ( ) ( ) F z Y z z z H z z s = = 激励信号的 变换 零状态响应的 变换 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 2 1 0 2 2 F z H z F z z a z a b z b z b Y z z s = + + + + = 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) a z a z a z a b z b z b z b H z n n n n m m m m + + + + + + + + = − − − −  

广系统函数包含了两层含义系统函数与冲激响应y=,(k) = h(k)* f(k)Y,(2) =H(z)F(2)可见系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数，它与输入无关，反映系统本身特性。只不过h(k)是系统在时域的描述，H(z)是对系统在复频域的描述。本征信号yzs(k)= H(z)zk系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数吴山大学电信学院

电信学院 5 系统函数包含了两层含义 ⚫ 系统函数与冲激响应 ⚫ 系统函数与复指数信号 ◆系统函数可视为系统对复指数信号的加权系数 y (k) h(k) f (k) zs =  Y (z) H(z)F(z) zs = h(k)  H(z) 本征信号    =− −  =− − = = =  =  i k i i k i k z s h i z z h i z y k h k f k h k z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k zs y (k)= H(z)z 可见系统函数可视为系统对复指数信号的加权 系数，它与输入无关，反映系统本身特性。只 不过h(k)是系统在时域的描述，H(z)是对系统在 复频域的描述

例5.12具描述某离散系统的差分方程为y(k +2)+3y(k +1)+2y(k) = f(k +1)+3 f(k激励信号f(k)=s(k)，若初始条件y,(1)=1,y,(2)=3，试分别求其零输入响应y（k）、零状态响应yz(k)和全响应y(k)。解一：按Z变换公式求解解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按系统函数求解英江大学电信学院

电信学院 6 例 5.12 描述某离散系统的差分方程为 解一：按Z变换公式求解 y(k + 2) +3y(k +1) + 2y(k) = f (k +1) +3 f (k) 激励信号f(k)=(k)，若初始条件yzi(1)=1, yzi(2)=3，试分别求其 零输入响应yzi(k) 、零状态响应yzs(k)和全响应y(k)。 解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按 系统函数求解

例5.12具解法一y(k +2)+3y(k +1)+2y(k) = f(k +1)+3f(k)初始值按Z变换的公式所需要的是V(0)和y（1），将V(1)=1y(2)=3代入原方程的齐次差分方程，并取k-0，得yzi(2)+3yz(1)+2yz(0)=0 ,故y,(0)=-3两边取Z变换(-2 +3z +2)Y(z) - y,(0)z2 - y,(1)z - 3y_,(0)z = (z +3)F(z)ZZ+3Y(a) = y,(0)2 + y,()=+3y,(0)=F(2)z2 +3z+2z2 +3z +2零输入响应零状态响应泰山大学电信学院

电信学院 7 例 5.12 解 法 一 ⚫ 初始值 ◆按Z变换的公式所需要的是 yzi(0)和 yzi(1)，将 yzi(1)=1、 yzi(2)=3 代入原方程的齐次差分方程，并取 k=0，得 yzi(2)+3yzi(1)+2yzi(0)=0，故 yzi(0)=-3， ⚫ 两边取Z变换 y(k + 2) +3y(k +1) + 2y(k) = f (k +1) +3 f (k) ( 3 2) ( ) (0) (1) 3 (0) ( 3) ( ) 2 2 z z Y z y z y z y z z F z + + − z i − z i − z i = + ( ) 3 2 3 3 2 (0) (1) 3 (0) ( ) 2 2 2 F z z z z z z y z y z y z Y z z i z i z i + + + + + + + + = 零输入响应 零状态响应

例5.12具解法一零输入响应-322-8z5z2zY,() - y-(0)2 + y,()2 +3y,(0)=-z2 +3z +2(z +1)(z+2)z+1 z+2:y,(k) =[-5(-1)* + 2(-2)*ls(k)零状态响应z+3Z+3Zz+1 3z+2: y(h)=-(-1)+(-2) 16(k)全响应(k)= y,(k)+y.(k)=/2-6(-1)* +2(-2) 1e(k)吴江大学电信学院返回

电信学院 8 例 5.12 解 法 一 ⚫ 零输入响应 2 2 1 5 ( 1)( 2) 3 8 3 2 (0) (1) 3 (0) ( ) 2 2 2 + + + − = + + − − = + + + + = z z z z z z z z z z y z y z y z Y z z i z i z i z i y (k) [ 5( 1) 2( 2) ] (k) k k z i  = − − + −  ⚫ 零状态响应 3 2 1 3 1 1 1 ( 1)( 2) 1 3 3 2 1 3 ( ) 2 + + + − + − = −  + + + = −  + + + = z z z z z z z z z z z z z z z z Y z z s ( 2) ] ( ) 3 1 ( 1) 3 2 y (k) [ k k k z s  = − − + −  ⚫ 全响应 y(k) = yzi(k) + yzs(k) = ( 2) ] ( ) 3 2 6( 1) 3 2 [ k k k − − + −  返回

例5.12具解法一y(k +2)+ 3y(k +1)+2y(k) = f(k +1)+3 f(k) yz(1)=1, y(2)=3零输入响应按时域方法求零输入响应：特征根为-1，-2，故有y,(k)=C(-1)* +C,(-2)代入初始值： y,(1)=-C -2C, =1 y_(2)=C +4C, =3解得: C =-5, C, =2 y(k)=[-5(-1) +2(-2) Je(k)z+3Z零状态响应 Y.(a)-H(a)F(=)=7+3z+2 =-1: y(h)=I-(-1) +(-2) 1e(h)全响应(h)=y,(h)+y.,(h)=I-6(-1) +(-2) 1e(k)吴江大学电信学院返回

电信学院 9 例 5.12 解 法 二 ⚫ 零输入响应 y (k) [ 5( 1) 2( 2) ] (k) k k z i  = − − + −  ⚫ 零状态响应 ( 2) ] ( ) 3 1 ( 1) 3 2 y (k) [ k k k z s  = − − + −  ⚫ 全响应 y(k) = yzi(k) + yzs(k) = ( 2) ] ( ) 3 2 6( 1) 3 2 [ k k k − − + −  返回 y(k + 2) +3y(k +1) + 2y(k) = f (k +1) +3 f (k) yzi(1)=1, yzi(2)=3 按时域方法求零输入响应：特征根为 -1，-2，故有 k k yzi(k) C ( 1) C ( 2) = 1 − + 2 − 代入初始值： yzi(1) = −C1 − 2C2 =1 yzi(2) = C1 + 4C2 = 3 解得： C1 = −5, C2 = 2 3 2 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 −  + + + = = z z z z z Y z H z F z z s

例5.13具描述某离散系统的差分方程为y(k +2)+3y(k +1)+2y(k) = f(k +1)+3f(k激励信号f(k)=s(k)，若初始条件y(1)=l,(2)=3，试分别求其零输入响应y(k）、零状态响应y（k)和全响应y(k)。解一：直接用系统响应的初始值求解解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按系统函数求解爱山大季电信学院

电信学院 10 例 5.13 描述某离散系统的差分方程为 解一：直接用系统响应的初始值求解 y(k + 2) +3y(k +1) + 2y(k) = f (k +1) +3 f (k) 激励信号f(k)=(k)，若初始条件y (1)=1, y (2)=3，试分别求其零 输入响应 yzi(k) 、零状态响应yzi(k)和全响应y(k)。 解二：零输入响应按时域方法求，零状态响应按 系统函数求解