长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第7章 连续信号的傅里叶变换分析 7.2 傅里叶变换的性质（2/2）

卷积定理服三角脉冲可以看成两个时域卷积定理：相同门函数的卷积积分例7.5三角脉冲的频计19.(0)G.(t)FG0)VT方*-T1O-T/2-T/2OT/2OT/2门函数的傅里叶变换为：Gr(0-VSae)VT根据时域卷积特性：FGo)-[Tsa}-TSc(吴山大学电信学院

电信学院 1 卷积定理 ⚫ 时域卷积定理： ( ) ( ) ( ) ( ) f 1 t  f 2 t  F1 j F2 j 例7.5 三角脉冲的频谱，可用时域卷积特性来计算：  Q (t) T t −T 0 T 1 t 0 T 1 −T 2 ( ) 1 G t T T T 2 t 0 T 1 −T 2 ( ) 1 G t T T T 2 三角脉冲可以看成两个 相同门函数的卷积积分 门函数的傅里叶变换为： ) 2 ( ) ( 1 T G t T S a T T   根据时域卷积特性： ) 2 ) ( 2 ( ) ( 2 2 T T S a T F j T S a    =       =

频域卷积定理慧oD)*F,(j)G,(t)Sa(令T=2G(t)2Sa(0)余弦脉冲（例7.7）G(t)costt f(t)已知: G,(t)← 2Sa(の),costcos号t 元[8( -号)+8( +号)]O-1根据频域卷积定理：f(t) 2元 2Sa(0)* 元[8(0 -号)+ 8(0 + 号)sin(の -号)sin( の+: F(jの) = Sa(α -号)+ Sa(の +) =(0-号)(の +号)COSOCOSO元COS0+72(3)2 -0220一の+吴江大学电信学院

电信学院 2 频域卷积定理 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 1 2 1  2   f t f t  F j  F j f t G t t 2 2 ( ) ( )cos  = cos [ ( ) ( )] ( ) 2 ( ), 2 2 2 2           − + +  t G t Sa 根据频域卷积定理： ( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] 2 2 2 1   f t   Sa     − +  + ( ) sin( ) ( ) sin( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2              + + + − −  F j = Sa − + Sa + = 2 2 2 2 2 ( ) cos cos cos           − = + + − − = t f (t) t 2 cos  0 1 1 −1 已知: 2 ( ) 2 ( ) ) 2 ( ) (  2     G t Sa G t Sa =   令 ⚫ 余弦脉冲(例7.7)

频域卷积定理广调制信号f(t) = Sa(αct)coswotOT，根据对偶性：TSa()一 2元G,(0)已知：G,(t) tSa(2将换成20,得：c Sa(oct)Gz () Sa(act)一”G20 ()元0c又已知：:cos0ot 元[8(α - 00)+S(0 +00))根据频域卷积定理：1二G20 (0)*[6(0-00)+6(0+0)]f(t)e2元Oc二[G20(0-0)+G2m(0+0)]f(t)←20c吴山大学电信学院

电信学院 3 频域卷积定理 f t Sa t t C 0 ( ) = ( )cos cos [ ( ) ( )] 0 0  0  t    − + + 根据频域卷积定理： ) 2 ( ) (    已知： G t  Sa ，根据对偶性： ) 2 ( ) 2 (     G t Sa  将 换成2c，得： ( ) ( )  2    c Sa C t G C  ( ) ( ) 2     c S a t G C C  又已知： ( ) [ ( ) ( )] 2 1 ( ) 2     0   0        − + + C f t G C [ ( ) ( )] 2 ( ) 2  0 2  0     − +  + C C f t G G C ⚫ 调制信号

时域微分和积分性质服时域微分性质df (t)f(n (t)(jo)" F(ja) jwF(ja)dt时域积分性质当 F(0)=F(jo) -」f(t)dt=0 时,F(jo)'f(t)dt-joF(jo)fn(t)(jo)"吴山大学电信学院

电信学院 4 时域微分和积分性质 ⚫ 时域微分性质 ⚫ 时域积分性质 ( ) ( ) ( ) ( ) f t j F j n  n ( ) ( ) jF j dt df t  ( ) ( ) 1 ( ) ( )   F j j f t n −n    − = (0) = ( ) = ( ) = 0 0 F F j f t dt  当  时，     j F j f d t ( )  ( )  −

广时域微积分性质的公式般的求法:f(t)→f(t)=y(t)，先求y(t)的频谱Y(jの)Y(jo)y()dt-+ 元Y(0) S(0)jo其中：Y(0) = [ y()dt =[ f(t)dt =f(t)= f(o)-f(-o0)Y(jo)I'y(t)dt+元[f(c0) - f(-0)] 8(0)io因为 [ y(t)dt =[f'(t)dt = f(t) - f(-00) - F(j)- 2元 f(-00)8(0)Y(jo) + 元[ f() - f(-00)] 8(0)F(j@) - 2元 f(-)S(α)ioY(jo)+[f(0)+ f(-0)] 元(0)F(jo)=jo吴江大学电信学院

电信学院 5 时域微积分性质的公式 一般的求法： f (t) → f (t) = y(t) ，先求 y(t) 的频谱 Y( j) (0) = ( ) = ( ) = ( ) = () − (−)  −  −  −  其中： Y y t dt f t dt f t f f (0) ( ) ( ) ( )      Y j Y j y t dt t  + − [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )       +  − − − f f j Y j y t dt t ( ) = ( ) = ( ) − (−)  ( ) − 2 (−) () − − y t dt f t dt f t f F j f t t 因为 [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )       −  −   = + f  − f − j Y j F j f [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( )      = + f  + f − j Y j F j

时域微分和积分特性国结论：每次对f(t)求导后的图形的面积为O即Y(0) = [ y(t)dt =0gLf(0)=-g[f(0))则io从上面公式可知一个有始有终的信号，即f(0)=f(-o)=0, 则 F(j)中无8(の)项。一个无限信号是否含8(の），看是否有 f(o)+f（-80)=0吴山大学电信学院

电信学院 6 时域微分和积分特性 ⚫ 结论： ◆每次对 f (t)求导后的图形的面积为０，即 则 ◆从上面公式可知，一个有始有终的信号,即 f ()= f (-)=0, 则 F(j)中无()项。 ◆一个无限信号是否含()，看是否有 f ()+ f (-)=0 (0) ( ) 0   − Y = y t dt = [ ( )] 1 [ ( )] f t j F f t = F  

例7.8求下列信号的傅里叶变换：T(tT081Sa(-)eF(jo)=2+元(0)2jo1f'(t).FUjo)-1Sacee2+3元（0）Pjoafttf(t)e-jaSalF(jo)=EjoVC吴山大学电信学院

电信学院 7 例 7.8 求下列信号的傅里叶变换： f (t) 0 t 1 1 f (t) t 0 1 1 ) ( ) 2 ( 1 ( ) 2        = + − j Sa e j F j ) 3 ( ) 2 ( 1 ( ) 2        = + − j Sa e j F j       = − − −      j j Sa e e j F j 2 ) 2 ( 1 ( ) f (t) 0 t 1 1 2 f (t) t 0 1 1 f (t) 0 t 1 1 f (t) t 0 1 1 (−1)

例7.9鳥三角脉冲Qr(t)Qr(t)Qr(t)to.(t)1TO10-TOF(jo)0:0-10(+-号6(0+0(-)根据时域微分特性：212(jo)"Fjo)-jemr-joT0e2元QTTTT5.: F(jo) =a*T(1-cosoT)---吴江大学电信学院

电信学院 8 例 7.9 ⚫ 三角脉冲 QT(t) 根据时域微分特性： Q (t) T t −T 0 T 1 t −T 0 T T 1 T 1 T 2 Q (t) T  ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) t T T t T t T T Q t T  =  + −  +  − , 1 2 1 ( ) ( ) 2 j T j T e T T e T j F j     − = − + ) 2 ) ( 2 sin ( 4 (1 cos ) 2 ( ) 2 2 2 2 T TSa T T T T F j        = − = =  F( j) T 0 T 2 t 0 T 1 T 1 − −T T Q (t) T 

例7.9慧符号函数sgn(t)dsgn(t) = 28(t)已知dt(j@)F(j@) = 2根据时域微分特性2sgn(t) ←jo冲激偶已知 s(t)←1根据时域微分特性S'(t) - jos(m (t) - (jo)吴江大学电信学院

电信学院 9 例 7.9 ⚫ 符号函数sgn(t) ⚫ 冲激偶 sgn(t) 2 (t) dt d =  根据时域微分特性 ( j)F( j) = 2 j t 2 sgn( )   (t) 1 已知 已知 根据时域微分特性  (t)  j n n (t) ( j ) ( )   

频域微分性质慧公式jt f(t)< F'(jo)(-jt)" f(t) F(n (jo)变形t f(t) jF'(jo)主要应用计算含的时域信号的傅里叶变换吴江大学电信学院

电信学院 10 频域微分性质 ⚫ 公式 ⚫ 变形 ⚫ 主要应用 ◆计算含t的时域信号的傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) ( ) jt f t F j n  n − − jt f (t)  F( j) t f (t)  jF( j)