长江大学：《信号与系统》课程教学资源（PPT课件）第2章 连续系统的时域分析 2.4 冲激响应与阶跃响应 2.5 卷积积分

2.4冲激响应与阶跃响应慧输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为冲激响应。用h（t）表示。输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，称为阶跃响应。用g（t）表示。阶跃响应与冲激响应的关系：8(t)h(t)LTI:(t)g(t)ds(t)dg(t)h(t) =S(t)=dtdtc(t)= [ S(t)dtg(t)=[ h(t)dt吴山大学电信学院

电信学院 1 2.4 冲激响应与阶跃响应 ⚫ 输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，称为 冲激响应。用h (t) 表示。 ⚫ 阶跃响应与冲激响应的关系： dt d g t h t ( ) ( ) = − = t g(t) h( )d ⚫ 输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，称为 阶跃响应。用g (t) 表示。 LTI  (t) h(t)  (t) g(t) dt d t t ( ) ( )   = − = t  (t)  ( )d

计算机例题C2.3门已知系统的阶跃响应为 g(t)=(2-e-21)c(t)，求冲激响应。g=sym((2-exp(-2*t))*Heaviside(t)');h=diff(g);h=simple(h)h =2*exp(-2*t)*Heaviside(t)+Dirac(t)冲激响应为h(t) = 2e-21 s(t) + S(t)吴江大学电信学院

电信学院 计算机例题C2.3 ⚫ 已知系统的阶跃响应为 ( ) (2 ) ( ) ，求冲激响应。 2 g t e t t  − = − ⚫ g=sym('(2-exp(-2*t))*Heaviside(t)'); ⚫ h=diff(g); ⚫ h=simple(h) h =2*exp(-2*t)*Heaviside(t)+Dirac(t) ( ) 2 ( ) ( ) 2 h t e t t t =  + − 冲激响应为

计算机例题C2.3慧已知系统的冲激响应为h(t)=3s(t)-e-2ic(t)，求阶跃响应。h=sym(3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t));g=int(h);g=simple(g)g-1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2 *t))阶跃响应为g(t) = 0.5(5 + e-21 )e(t)吴山大学电信学院

电信学院 计算机例题C2.3 ⚫ 已知系统的冲激响应为 ，求阶跃响应。 ⚫ h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); ⚫ g=int(h); ⚫ g=simple(g) 阶跃响应为 ( ) 3 ( ) ( ) 2 h t t e t t   − = − g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) ( ) 0.5(5 ) ( ) 2 g t e t t  − = +

2.5卷积积分用8（）表示任意信号f() = / f(t)o(t-t)dt即任意信号f（t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。也就是任意信号可以用函数8（t）来表示。对于任意信号为输入信号的零状态响应：根据线性非时变系统的性质：f(t) = / f(t)S(t-t)dt系统y(t)=/f(t)h(t-t)dt卷积积分的定义：y=s(t)= / f(t)h(t-t)dt = f(t)* h(t)英江大学电信学院

电信学院 4 2.5 卷积积分 ⚫ 用(t)表示任意信号 ⚫ 对于任意信号为输入信号的零状态响应： f t f   t  d   − ( ) = ( ) ( − ) 即任意信号f (t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。 也就是任意信号可以用函数(t) 来表示。 根据线性非时变系统的性质： f t f f()t((tt−−d(t) ) 系统 hf( (t )−)h(t)− )   − ( ) = ( ) ( − ) y t f  h t  d z s   − ( ) = ( ) ( − ) y (t) f ( )h(t )d f (t) h(t) z s = − =    −    ⚫ 卷积积分的定义：

卷积积分的图解计算慧步骤计算 f(t)=f(t)* f(t)=f(t)f,(t-t)dt将fT)反折得f（-T)1 f,(-t)卷积积分的图解法步骤即ft-t）当t=0时位置换元：换成12反折：将波形反折03-2扫描：从左向右移动分时段：确定积分段0.图形向左移动：f,(t-t)定积分限；0.图形向右移动·计算积分值；1-2T0-3+t-1+t扫描吴山大学电信学院

电信学院 5 卷积积分的图解计算 步骤   − f (t) = f (t) f (t) = f ( ) f (t − )d 计算 1 2 1 2 t 0 1 ( ) 1 f t 1 t 0 2 1 ( ) 2 f t 1 2 3  0 2 1 ( ) 2 f − −3 − 2 −1  0 2 1 ( ) 2 f t − −3+ t −1+ t 即 当 时位置 将 反折得 ( ) 0 ( ) ( ) 2 2 2 − = − f t t f f    图形向右移动 图形向左移动 0, 0, ;   t t  0 1 ( ) 1 f  1 扫描 卷积积分的图解法步骤： • 换元：t 换成 • 反折：将波形反折 • 扫描：从左向右移动 • 分时段：确定积分段 • 定积分限； • 计算积分值；

例2.6计算 f(t) =fi(t)* f,(t)=[fi(t)f,(t-t)dtf(t-t)t fi(t)fo)1-21-3+t-1+t0023f,(t -t)t fi(t)当0<-1+t<1 即1≤t<2时10-I ((-)dr-Ir-(-1)T即为重叠部分的面积。0-1+11-3+t当1≤-1+t且-3+t<0即2≤t<3时：f2(t -t)t f(t)1(-J.()/(-)dr-J1x2dr--即为重叠部分的面积。-3 +10HI+t吴山大学电信学院

电信学院 6 −3+ t −1+ t 例 2.6   − f (t) = f (t) f (t) = f ( ) f (t − )d 计算 1 2 1 2 −3+ t −1+ t 和 没有公共的重叠部分， 故卷积 −1+ t  0 t 1 ( ) 2 f t − ( ) 1 f  f (t) = f 1 (t)  f 2 (t) = 0 当 即 时：  0 1 ( ) 1 f  1 ( ) 2 f t −  0 1 ( ) 1 f  1 ( ) 2 f t − t 0 2 1 f (t) 1 2 3 4 当 0  −1+t 1 即 1 t  2 时： ( 1) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 = 1 2 − =  = −   − + − + f t f f t d d t t t     即为重叠部分的面积。 当 1 −1+t 且 即 2  t  3 时： 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 0 = 1 2 − =  =   f t f  f t  d d 即为重叠部分的面积。 −3+t  0 −3+ t −1+ t  0 1 ( ) 1 f  1 ( ) 2 f t −

例2.6计算 f(t) =fi(t)* f,(t)= fi(t)f,(t-t)dtfo1-202341f,(t -t)t f(t)当0≤-3+t<1 即3<t<4时：()=(t)f(t-)dt-1×dt=,(4-1)即为重叠部分的面积。0-3+11-一+1当-3+t≥1即t≥4时：f2(t - t)t fi(c)f(t-t)和 f(t)没有公共的重叠部分，故卷积 f(t)=fi(t)* f,(t)=001-3+1-1+t吴江大学电信学院

电信学院 7 −3+ t −1+ t 例 2.6   − f (t) = f (t) f (t) = f ( ) f (t − )d 计算 1 2 1 2 当 即 时： 和 没有公共的重叠部分， 故卷积 −3+t 1 t  4 ( ) 2 f t − ( ) 1 f  f (t) = f 1 (t)  f 2 (t) = 0  0 1 ( ) 1 f  1 ( ) 2 f t − 当 0  −3+t 1 即 3 t  4 时： (4 ) 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1 3 1 2 f t f f t d d t t t = − =  = − − + − +     即为重叠部分的面积。 t 0 2 1 f (t) 1 2 3 4 −3+ t −1+ t  0 1 ( ) 1 f  1 ( ) 2 f t −

例2.7计算 f(t) =fi(t)* f,(t)= fi(t)f,(t-t)dtf(t)f(t)AB4tl-2+tO01234f.(t)当0≤t<1时：当0≤-2+1即23时1t-2+100≤t<l[4-(t-1)]fi(t)2t-41t<2<即≤t<2时：A(0)=J,4x号(+/440(2)12≤1<t230-2+11吴江大学电信学院

电信学院 8 −2+t t −2+t t 例 2.7   − f (t) = f (t) f (t) = f ( ) f (t − )d 计算 1 2 1 2 t 0 B ( ) 2 f t 1 2  0 ( ) 2 f − − 2 −1 t B 2 −2+t t t 0 2 f (t) 1 3 4 4 AB (2 1) 4 ( ) 2 ( ) 1 0 =  − = −  t AB t d B f t A   当 1 t 且− 2 + t  0 即 1 t  2 时： 当 0  t 1 时： 2 0 0 1 2 4 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) t AB t d B f t f f t d A t t = − =  − =   当 0  −2+t  1  即 时：   2  t  3 [4 ( 1) ] 4 ( ) 2 ( ) 2 1 2 =  − = − − − + t AB t d B f t A t   f (t) = f 1 (t) f 2 (t) = 0 2 4 t AB(2 1) 2 t − AB [4 ( 1) ] 4 2 − t − AB0 t  0 0  t 1 1 t  2 2  t  3 t  3  0 A ( ) 1 f  1  0 A ( ) 1 f  1  0 A ( ) 1 f  1

慧举例已知线性非时变系统的冲激响应h(t）=e-s(t)，激励信号为f(t）=ε(t）。试求系统的零状态响应。解：系统零状态响应为：y(t)=h(t)*f(t)=e-s(t)*ε(t)h(t)f(-t)将f(t）反折，再扫描可确定积分上下限. y,(t) = J.e'dt = -elo =(l-e')s(t吴江大学电信学院

电信学院 9 t 举 例 已知线性非时变系统的冲激响应 ，激励信号为 。试求系统的零状态响应。 h(t) e (t) t  − = f (t) =  (t) 解：系统零状态响应为： y (t) h(t) f (t) e (t) (t) t z s =  =   − ( ) (1 ) ( ) 0 0 y t e d e e t t t t z s   − − −  = = − = −   0 h( ) 将f(t)反折，再扫描可 确定积分上下限。  0 f (− ) 1

服课堂练习题自测题2.3自测题2.4自测题2.5吴江大学电信学院

电信学院 10 课堂练习题 ⚫ 自测题2.3 ⚫ 自测题2.4 ⚫ 自测题2.5