《时间序列分析》课程教学课件（讲稿）单位根检验

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单位根检验

单位根检验 ·单位根检验是构造统计量进行序列平稳性检验的最常用方法。 ·它的理论基础是：如果序列是平稳的，那么该序列的所有特征根都应该在单 位圆内。基于这个性质构造的序列平稳性检验方法叫作单位根检验。 ·最早的单位根检验方法是由统计学家Dickey和Fuller提出来的，所以人们 以他们名字的首字母DF命名了最早的平稳性检验方法一一DF检验。 ·随着学科的发展，后续又产生了很多种单位根检验方法，比如ADF检验， PP检验等等

单位根检验 • 单位根检验是构造统计量进行序列平稳性检验的最常用方法。 • 它的理论基础是：如果序列是平稳的，那么该序列的所有特征根都应该在单 位圆内。基于这个性质构造的序列平稳性检验方法叫作单位根检验。 • 最早的单位根检验方法是由统计学家Dickey和Fuller提出来的，所以人们 以他们名字的首字母DF命名了最早的平稳性检验方法——DF检验。 • 随着学科的发展，后续又产生了很多种单位根检验方法，比如ADF检验， PP检验等等

DF检验的构造原理 ·D「检验是从最简单的一种情况着手进行构造的单位根检验方法。它假设序列的确 定性部分可以只由过去一期的历史数据描述，即序列可以表达为 x,=fx.1+x, 式中，x,为序列的随机部分，常常假设x,V(0,s) ·显然该序列只有一个特征根，且特征根为 1=f ·通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外）可以检验序列的平稳性。由于现 实生活中绝大多数序列都是非平稳序列，所以单位根检验的原假设为序列非平稳， 备择假设是序列平稳 Hf1《H:f<1

DF检验的构造原理 • DF检验是从最简单的一种情况着手进行构造的单位根检验方法。它假设序列的确 定性部分可以只由过去一期的历史数据描述，即序列可以表达为 式中，￾￾￾为序列的随机部分，常常假设 • 显然该序列只有一个特征根，且特征根为 • 通过检验特征根是在单位圆内还是单位圆上（外）可以检验序列的平稳性。由于现 实生活中绝大多数序列都是非平稳序列，所以单位根检验的原假设为序列非平稳， 备择假设是序列平稳

DF统计量 统计量的渐进分布为标准正态分布 f <i 0)- ®M0,1) s(f) 统计量的渐近分布不是我们熟知的任何参数分布，Dickey和 f= Fulleri通过随机模拟的方法，得到该统计量的经验分布 4器® òW(rdw(r) s(f) Vòw(eJ山

DF统计量 统计量的渐进分布为标准正态分布 ￾￾￾￾￾￾￾￾ 统计量的渐近分布不是我们熟知的任何参数分布，Dickey和 Fuller通过随机模拟的方法，得到该统计量的经验分布

DF检验的等价表达 ·等价假设 令r=f-1,则假设条件等价为：H。:r=0《H:rta a ·当 时，接受原假设，认为序列非平稳。等价判别是统计量的P值大于显著性水平

DF检验的等价表达 • 等价假设 • 检验统计量 • 检验结果判定 • 当显著性水平取为￾￾￾时，记￾￾￾￾￾为DF检验的￾￾￾￾分位点，则 • 当￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾时，拒绝原假设，认为序列平稳。等价判别是统计量的P值小于等于显著性水平￾￾￾￾ ； • 当￾￾￾￾￾￾￾￾￾￾时，接受原假设，认为序列非平稳。等价判别是统计量的P值大于显著性水平￾￾￾

DF检验的三种类型 ·类型一：无漂移项自回归结构 x,=fx1十x ·类型二：有漂移项自回归结构 x=fo+f x.+x ·类型三：带趋势回归结构 x,=a+bt+f x+x

DF检验的三种类型 • 类型一：无漂移项自回归结构 • 类型二：有漂移项自回归结构 • 类型三：带趋势回归结构

例.1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数） 判断该序列的平稳性. ·绘制时序图，根据时序图判断该序列的平稳性。 该序列时序图显示： ·从1915年开始澳大利亚每年的自杀 率长期围绕在10万分之3附近波动， 而且波动范围长期在10万分之2至 10万分之4之间，这呈现出平稳序 列的特征。但是看序列的最后20年 的波动，自杀率又是一路递减，这 是有趋势吗？如果是趋势，这就是 非平稳特征： ·这时，通过时序图判断序列的平稳 性有点困难。 。 这时，可以借助序列自相关图的性 质进一步辅助识别。 1920 1940 1960 1980 2000 Time

例.1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数） ￾￾￾￾判断该序列的平稳性. • 绘制时序图，根据时序图判断该序列的平稳性。 该序列时序图显示： • 从1915年开始澳大利亚每年的自杀 率长期围绕在10万分之3附近波动， 而且波动范围长期在10万分之2至 10万分之4之间，这呈现出平稳序 列的特征。但是看序列的最后20年 的波动，自杀率又是一路递减，这 是有趋势吗？如果是趋势，这就是 非平稳特征。 • 这时，通过时序图判断序列的平稳 性有点困难。 • 这时，可以借助序列自相关图的性 质进一步辅助识别

自相关图检验 ·自相关图检验技巧 ·我们证明了平稳序列通常具有短期相关性.这就是我们利用自相关图进 行平稳性判别的标准. ·该性质用自相关系数来描述就是随着延迟阶数k的增加，平稳序列的自 相关系数'会很快地衰减向零； ·而非平稳序列的自相关系数'k衰减向零的速度通常比较慢

自相关图检验 • 自相关图检验技巧 • 我们证明了平稳序列通常具有短期相关性.这就是我们利用自相关图进 行平稳性判别的标准. • 该性质用自相关系数来描述就是随着延迟阶数k的增加，平稳序列的自 相关系数 会很快地衰减向零; • 而非平稳序列的自相关系数 衰减向零的速度通常比较慢

例续 ·绘制1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数）的自相关图 Series Suicide 该序列自相关系数延迟15阶 之后依然显著非零，这说明该 序列自相关系数具有长期相关 性，而且自相关图呈现出明显 的倒三角特征，这是具有单调 趋势的非平稳序列的典型特征， 根据自相关图特征，我们可以 认为该序列非平稳，且具有长 期趋势. 在该序列时序图难以判别平稳 性的情况下，自相关图可以帮 助我们进一步识别序列的平稳 15 性 Lag

例续 • 绘制1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数）的自相关图 • 该序列自相关系数延迟15阶 之后依然显著非零，这说明该 序列自相关系数具有长期相关 性，而且自相关图呈现出明显 的倒三角特征，这是具有单调 趋势的非平稳序列的典型特征. • 根据自相关图特征，我们可以 认为该序列非平稳，且具有长 期趋势. • 在该序列时序图难以判别平稳 性的情况下，自相关图可以帮 助我们进一步识别序列的平稳 性

例续 ·对1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数）进行DF检验， 判断该序列的平稳性。 Augmented Dickey-Fuller Test alternative:stationary Type 1:no drift no trend lag ADF p.value [1,] 0-1.39 0.179 [2,] 1-1.32 0.204 Type 2:with drift no trend lag ADF p.value [1,] 0-1.98 0.337 [2,] 1-1.31 0.586 Type 3:with drift and trend 1ag ADF p.value 0-2.29 0.449 1-1.65 0.719 Note: in fact,p.value =0.01 means p.value <=0.01

例续 • 对1915-2004年澳大利亚自杀率序列（每10万人自杀人口数）进行DF检验， 判断该序列的平稳性