《应用随机过程》课程教学课件（讲稿）第2章 随机过程的基本概念和基本类型 2.3 随机过程的基本类型

2.3随机过程的基本类型 一.二阶矩过程 二.正态过程 三.平稳过程 四.独立过程 五.独立增量过程 六.平稳增量过程

2.3 随机过程的基本类型 1 一.二阶矩过程 二.正态过程 三.平稳过程 四.独立过程 五.独立增量过程 六.平稳增量过程

一.二阶矩过程 如果随机过程{X(),t∈T)的所有二阶矩都存 在，则称{X(),∈T为二阶矩过程 淮： ☑二阶矩过程的均值函数必存在； ⑦二阶矩过程的自相关函数必存在： O二阶矩过程的所有数字特征都存在. 2

如果随机过程{X(t), t∈T}的所有二阶矩都存 在，则称{X(t), t∈T}为二阶矩过程. 注: Ø ； Ø Ø 2 一.二阶矩过程

例1 设X()=Xcoswt,tiR,考察下列两种情况下{X(),tiR) 是否为二阶矩过程： (1)XN(4,o2) (2)X的概率密度函数为)p+r

设 ,考察下列两种情况下 是否为二阶矩过程： (2)X的概率密度函数为 例1 3 (1)X～N(μ, σ 2 )

二.正态过程 若对任一正整数n及任意41,2，L,tn1T,n维随机 变量 (X(t),X(t2),L ,X(t) 服从n维正态分布，则称{X(t),t∈T为正态(Gauss)过程， 性质 “1)正态过程的n维分布由其均值函数与协方差函数确定： 有，Lx)= 1s代湖 @s ￥=(，5，Lx),m(m《m,4L,m-)》,S=g,1) 2)正态过程是二阶矩过程

1）正态过程的n维分布由其均值函数与协方差函数确定： 若对任一正整数n及任意 n维随机 变量 服从n维正态分布，则称{X(t),t∈T}为正态(Gauss)过程. 二.正态过程 4 性质 : 2）正态过程是二阶矩过程

例2设X(t)=Y+Zt,仑0，Y,Z服从N(0,1),Y,Z相互 独立，则{X(),仑0}是正态过程. 证明：对"n31,"1,2,L,1n>0, eX(1)oadtδ X6,)_84过g 由于9：X0对0o0 SM÷ CM M-ZO :N80g80100 8Xu)0110 aex(1)6 aad 1 6 ad1δ d 166 X2 所以 N Cel 420612el06 112÷÷ M ÷1 "9MM:0g9MM01o9MM片 X()o 1 eX(4,)δ 061+121+t42 L1+t4nǒ0 Xt):wo+t今 即s 1+122 L 1+t2tn÷ "CCMC M M M x()o 0a1+4,1-以。L1-海 所以{X(),仑0}是卫态过程

例2 设X(t)=Y+Zt, t>0，Y, Z 服从N(0, 1),Y,Z相互 独立，则{X(t), t>0}是正态过程. 5 证明： 所以{X(t), t>0}是正态过程

例3设X()=YcoSwt,.D0,其中，w为常数，X:N(0,1) 侧{X(),仑0}是正态过程. 证明：对"n31,"t,t2,L,tn>0,X()=Xc0sw4,i=l,2L,n 由于X:N(0,1) 则K化)，X化，)L,X化，的意线性组合 ic)-ieas以道csw:意cv o 66 ě同 故(X(),X(t2),L,X(tn)服从n维正态分布， 所以{X(),仑0}是正态过 程. 6

例3 设 t>0， 则{X(t), t>0}是正态过程. 6 证明： 所以{X(t), t>0}是正态过 程. 服从n维正态分布

三.平稳过程 如果一个过程是平稳过程，则它的性质不 随时间的推移而变化，只与变量之间的时间间 隔有关，而与所考察的起始点无关 平隐过程根据限制条件的乎格程度分 为乎平隐过程和宽平稳过程

如果一个过程是平稳过程，则它的性质不 随时间的推移而变化，只与变量之间的时间间 隔有关，而与所考察的起始点无关. 三.平稳过程 平稳过程根据限制条件的严格程度分 为严平稳过程和宽平稳过程. 7

严平稳过程 如果随机过程{X),∈T}对任意的t1,.,∈T 和任意的h(使得t+h∈T)有，(Xt+h),.,Xtn+h)与(X (t1),.,(t)具有相同的联合分布，记为 (X(t +h),L X(t +h))(X(t),L X(t)), 则称{X(),∈T为严平稳过程 有限雅分布关于时向是平铝不变的

如果随机过程 {X(t), t∈T}对任意的t 1 ,.,t n∈T 和任意的h(使得t i+h∈T)有，(X(t 1+h),. , X(t n +h))与(X (t 1 ), . , X(t n ))具有相同的联合分布，记为 严平稳过程 d 则称{X(t), t∈T}为严平稳过程. 有限维分布关于时间是平移不变的 8

宽平稳过程 如果随机过程{X),∈T的所有二阶矩都存 在，并且[X()]=μ，协方差函数(s,)只与时间差 s有关，则称{X(),∈T为宽平稳过程或二阶平稳 过程 当参数t仅取整数时，称为平稳序列

如果随机过程{X(t), t∈T}的所有二阶矩都存 在，并且E[X(t)]=μ, 协方差函数γ(s, t)只与时间差t￾s有关，则称{X(t), t∈T}为宽平稳过程或二阶平稳 过程. 宽平稳过程 9 Ø 当参数 t 仅取整数时，称为平稳序列

严平稳和宽平稳的区别与联系 ⑦宽平稳过程是一个二阶矩过程， 其一阶统计特征与二阶统计特征随时间的推移不变， 但并不是一切统计特征都随时间的推移而不变： 0 严平稳过程的有限维分布都随时间的推移不变， 从而对平稳性要求更严 6

Ø 宽平稳过程是一个二阶矩过程, 其一阶统计特征与二阶统计特征随时间的推移不变， 但并不是一切统计特征都随时间的推移而不变. Ø 严平稳过程的有限维分布都随时间的推移不变， 从而对平稳性要求更严. 严平稳和宽平稳的区别与联系 10