《应用随机过程》课程教学课件（讲稿）第7章 Brown运动 7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律

7.5 Browni运动的最大值变量及反正弦律 一.首中时及其分布 二.最大值及其分布 三.反正弦律

7.5 Brown运动的最大值变量及反正弦律 一.首中时及其分布 二.最大值及其分布 三.反正弦律 1

一.首中时及其分布 设{B),≥0}为标准布期运动，B(0)=0, 令T。=int;仑0，B()=u, 则T,表示首次击中a的时刻（首中时)· 当a>0时，由全概率公式有 PB(1)a -PB)3aT￡}PT￡}+PB()3aT,>t}PT.>t}

设{B(t),t≥0}为标准布朗运动，B(0)=0， 令Ta=inf{t;t>0,B(t)=a}， 2 一.首中时及其分布 则Ta表示首次击中a的时刻（首中时）. 当a > 0时，由全概率公式有

显然 P{B()3alT,>1}=0 又由布朗运动的对称性知，在{T,≤的条件下， 即B(T)=时，{B(≥与{B()≤a}是等可能的， 即PB)'aTE}PB0sa忆，￡i}=) \PT￡}=2PB()3a} 于是当a>0时，有

显然 又由布朗运动的对称性知，在{Ta≤t}的条件下， 即B(Ta ) =a时，{B(t) ≥a}与{B(t) ≤ a}是等可能的， 即 于是当a > 0时，有 3

F (t=PT=2PB(t)3 a ()=Fe() 0, t￡0 推论1：P亿。<￥}=1布朗运动的常返性. 证：P7<半}四r克卿。 2 2 +￥ Q e 2dx=1. 2p

推论1： 布朗运动的常返性. 4

推论2：ET。=+0布朗运动的零常返性. 证：7，-òP亿>M=0 òe2dudt 0 十￥ a u2 2 Y òyie2dudt= √2p √2p 2du 2a2 2 +￥ 2a1 2a'ei 1】 /2p /2p dhu=￥. 2p 推论3：由布朗运动的对称性，有T,与T有相同的 分布，即P(T≤)=P(T≤)

推论2：ETa=+∞ 布朗运动的零常返性. 5 推论3：由布朗运动的对称性，有T-a与Ta有相同的 分布，即 P(T-a≤t)= P(Ta≤t)

对任意的a有 (PE-02 、 =0F 1lde,1>0 3 a ()=Fe()=ip 0, t￡0 6

6 对任意的a有

二.最大值及其分布 M (t)=max B(s) 0￡sft 称为布朗运动在0，中的最大值. 利用 M()a}-T,￡} 可得0小Pg4京0-0F PM)<}-2F(7-1 2

称为布朗运动在[0,t]中的最大值. 利用 可得 7 二.最大值及其分布

类似地可得到布朗运动在0，中的最小值 m()minB(s) 的分布

类似地可得到布朗运动在[0,t]中的最小值 的分布. 8

三.反正弦律 定义：如果时刻使得B()=0,则称为布朗运动的零点. 定理：记0(t,t2)={至少有一个t∈(t1,t2),使得B()=0} ={B()在(t1,)内至少有一个零点}， 0(4,2)={在t∈(t1,2)内没有一个t,使得B()=0}, ={B()在(t,t2)内没有零点} 则P.以子nm反一 反正弦律 9

9 三.反正弦律 定义：如果时刻t使得B(t)=0，则称t为布朗运动的零点. 定理：记0(t1 ,t2 )={至少有一个t∈ (t1 ,t2 ), 使得B(t)=0} ={B(t)在(t1 ,t2 )内至少有一个零点}， {在t∈ (t1 ,t2 )内没有一个t, 使得B(t)=0}， 则 ={B(t)在(t1 ,t2 )内没有零点} ， —— 反正弦律

证明：由全概率公式 P6hòe)8)eh 其中P66B()=}P存在+s1《)使得B(6,+)0B) =P存在i(O,1-4),使得B(+s)B(化)=xB(G,)=x}由独立增量性 =P存在i(0,424),使得B(+s)B()=-x}由平稳增量性 =P存在si(O,5-4),使得B(s)B(O)B(S)-x =P,￡4，}P气￡}由布朗运动的对称性 P》p-0d 224dx 2-h

由布朗运动的对称性 10 证明：由全概率公式 由独立增量性 其中 由平稳增量性