《应用随机过程》课程教学课件（讲稿）第3章 Poisson过程 3.1 Poisson过程

第3章 Poisson过程 03.1 Poisson过程 03.2与Poisson过程相联系的若于分布 03.3 Poisson过程的推广

第3章 Poisson过程 Ø 3.1 Poisson过程 Ø 3.2 与Poisson过程相联系的若干分布 Ø 3.3 Poisson过程的推广 1

法国数学家.1781年6月21日生于法国 卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法 国索够798年入巴蒙综合工科学校深造.在半 业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师，受到 拉普拉斯、拉格朗日的赏识. 1800年毕业后留校任教，1802年任副教授，1806年接 替傅里叶任该校教授.1808年任法国经度局天文学家，1809年 任巴黎理学院力学教授.1812年当选为巴黎科学院院士. 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声 学理论中的应用.他工作的特色是应用数学方法研究各类力学 和物理问题，并由此得到数学上的发现.他对积分理论、行星 运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论 都有重要贡献

1798年入巴黎综合工科学校深造. 在毕 业时，因优秀的研究论文而被指定为讲师, 受到 拉普拉斯、拉格朗日的赏识. 法国数学家. 1781 年6月21日生于法国 卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840年4月25日卒于法 国索镇. 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其在摆的运动和声 学理论中的应用. 他工作的特色是应用数学方法研究各类力学 和物理问题，并由此得到数学上的发现. 他对积分理论、行星 运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论 都有重要贡献. 1800年毕业后留校任教，1802年任副教授, 1806年接 替傅里叶任该校教授. 1808年任法国经度局天文学家,1809年 任巴黎理学院力学教授. 1812年当选为巴黎科学院院士. 2

复习 [0-1)分布]随机变量X只可能有两个值：0和1， 其概率分布为： P{X=1}=p,P{X=0}=1-p=q E(X)=p,D(X)=pq [I二项分布]随机变量X为n重Bernoulli试验中事件A 发生的次数，则X~B(,p),概率分布为： an o E(X)=np,D(X)=npq

[(0-1)分布] 随机变量 X 只可能有两个值: 0 和 1， 其概率分布为： [二项分布] 随机变量 X 为n重Bernoulli试验中事件A 发生的次数，则 X ~ B (n, p)，概率分布为： 复习 3

[泊松定理在二项分布中，设p=口是常数，则有 enǒ lim n®￥ fipgn. k! [泊松分布]随机变童X的所有可能取值为0,1,2，·，而 取各个值的概率为 Ike-l PX=k= k=0,1,2,L(1>0为常数) k! 则随机变量X服从参数为口的泊松分布，简记为P(口)， E(X)=1,D(X)=1 4

[泊松分布] 随机变量X的所有可能取值为0, 1, 2, . ，而 取各个值的概率为 则随机变量X服从参数为￾ 的泊松分布，简记为P(￾ ). [泊松定理] 在二项分布中，设 np=￾ 是常数，则有 4

3.1 Poisson过程 一.计数过程 二.Poisson:过程的定义 三.Poisson过程的数字特征 四.Poisson过程的分解 五.Poisson过程的合成

3.1 Poisson过程 5 一.计数过程 二.Poisson过程的定义 三.Poisson过程的数字特征 四.Poisson过程的分解 五.Poisson过程的合成

一.计数过程 随机过程N),20}称为计数过程， 如果Nt)表示(0，t时间内某一特定事件A发生的次数， 它具备以下两个特点： (1)N)≥0且取值为整数； (2)若s<t,则Ns)≤N), 且N()一NS)表示(s,时间内事件A发生的次数. 6

一 .计数过程 6 （1）N(t) ≥0且取值为整数； （2）若s < t , 则 N(s) ≤N(t), 随机过程{N(t)，t≥0} 如果N(t)表示(0 , t]时间内某一特定事件A发生的次数， 它具备以下两个特点： 称为计数过程， 且N(t)－ N(s)表示(s , t]时间内事件A发生的次数

二.Poisson过程的定义 定义1计数过程{N①，仑0}称为参数为>O)的 Poisson过程，如果： (1)N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的s,t≥0 +s)-N(s)ne) n=0,1,2,L 注：由(3)可知过程有平稳增量；N(:P(It) 注：由于ENt)=k,常将称为Poisson过程的速率或 强度，表示单位时间内事件发生的平均次数

注：由( 3 )可知过程有平稳增量; 二.Poisson过程的定义 定义1 计数过程{N(t)，t≥0}称为参数为l(l>0)的 Poisson过程，如果： (1) N(0)=0; (2) 过程有独立增量; (3) 对任意的 s，t ≥0 7 注：由于E(N(t))=lt, 常将l称为Poisson过程的速率或 强度,表示单位时间内事件发生的平均次数

Poi sson过程在排队论中的应用 顾客到达某商店服从参数 人/小时的泊松过程， 己知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客， 而到11：30时总计已达5位顾客的概率 解设N(t)表示在时间t时到达的顾客数，9：00为0时刻 P{N(0.5)=1,N(2.5)=5} =P{W(0.5)=1,W(2.5)-N(0.5)=4} =P{N(0.5)=1}P{W(2.5)-N(0.5)=4} =4'0.5)ye40542)e42 1! 4 》0.0155. 8

解 设 表示在时间 t 时到达的顾客数, 9:00为0时刻 顾客到达某商店服从参数 人/小时的泊松过程， 已知商店上午9:00开门，试求到9:30时仅到一位顾客， 而到11:30时总计已达5位顾客的概率. Poisson过程在排队论中的应用 8

事故的发生次数和保险公司接到的索赔数 若以N()表示(0，时间内发生事故的次数.Poisson过 程{W(t),t3是很好的一种近似.考虑保险公司每次赔 付都是1，每月平均4次接到索赔要求，则一年中它要 付出的平均金额为多少？ 解设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末为时 刻12 PN(12)-N0)=n=4'12”e12, n! 均值 E[W(12)-W(0)]=4'12=48

若以N(t)表示(0,t]时间内发生事故的次数. Poisson过 程 是很好的一种近似. 考虑保险公司每次赔 付都是1, 每月平均4次接到索赔要求，则一年中它要 付出的平均金额为多少？ 事故的发生次数和保险公司接到的索赔数 解 设一年开始为0时刻，1月末为时刻1，则年末为时 刻12： 均值 9

Poisson过程的等价定义 定义2 设N(t),t30}是一个计数过程，它满足 (1)N(0)=0; (2)过程有平稳独立增量， (3)存在入>0，当h时， P{N(t+)-N(t)=1}=λh+o(h), (4)当h-0时， P{N(t+h)-W(t)32}-o(h): 10

定义2 设 是一个计数过程，它满足 （1） （2）过程有平稳独立增量， （3）存在 当 时， （4）当 时， Poisson过程的等价定义 10