《应用随机过程》课程教学课件（讲稿）第1章 预备知识 1.3 数字特征、矩母函数与特征函数

1.3数字特征、矩母函数与特征函数 一.数字特征 二.矩母函数 三.特征函数

一. 数字特征 1.3 数字特征、矩母函数与特征函数 1 二.矩母函数 三.特征函数

一.数字特位 1.数学期望 ì。 axPX=x},X是离散型随机变量 EX=òF(x)-iH d()k,X是连续型随机变量 2.随机变量函数的期望 Y=g(X) E(Y)=Eg(X)用=àg(xHP=ò，g(r)dF(x)

1.数学期望 一 . 数字特征 2.随机变量函数的期望 2

3.矩 1)普通k阶矩E()òrdF() 2)k阶绝对矩E(x)òxdF(x) 3)k阶中心矩E(X-Ex)）ò(x.Ex)() 注① 物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量； ②二阶中心矩为方差，方差表示稳定性

3.矩 1）普通k阶矩 2）k阶绝对矩 3）k阶中心矩 ① 物理上，一阶矩是重心，二阶矩是转动惯量; ②￾￾二阶中心矩为方差，方差表示稳定性。 注 : 3

4.n维随机向量的矩 (化，L,X)是n维随机向量，分布函数为 F(,L,xn)，若g(c,L,)为n维Borel函数，则： Eg(XL,Xn)月=òLòg(x,L,xnHF(x,L,xn) 特别地： E"L LLdF() 称为(X,LXn)的(k,Lkn) 阶轭

4.n维随机向量的矩 是n维随机向量，分布函数为 ，若 为n维Borel函数，则： 特别地： 称为 阶矩. 4

5.协方差与相关系数 随机变量X与Y的协方差为： Cov(,Y)=E(X-EX)(Y-EY) =E(XY)-EE Y) 随机变量X与Y的相关系数为： cov(X,Y)=cov(X,Y） om(xvar(x）ar7 SXSY

5.协方差与相关系数 随机变量X与Y的协方差为： 随机变量X与Y的相关系数为： 5

6.性质 1°E(c)=c,Var(c)=0; 2 E(cX)=cE(X),Var(cX)=c-Var(X); 3°E(X+Y)=E(X)+E(Y); 4°X,Y相互独立PE(XY)=E(X)E(Y), P Var(+Y)=Var()+Var(Y) 5°Var(X±Y)=VarX+VarY±2cov(X,Y); 6°co(aX,bY)bcov(X,Y)； 7 cov(X+X2,Y)=ov(X ,Y)+cov(X,Y) 6

6.性质 相互独立 6

二.矩母函数 设随机变量X的分布函数为F(x),X的矩母函 万价-0w0女发 数定义为： iae产PX=x},为型 省短母函款存在时，它唯一地决定分布。 泊松分布P)f(t)=expl(e-1)} 正态分布N6:）f)-cxpm+srg 2

二. 矩母函数 设随机变量X的分布函数为F(x)，则X的矩母函 数定义为： 当矩母函数存在时，它唯一地决定分布. 泊松分布 正态分布 7

例：设X与Y是独立的正态随机变量，且 X-N(m,s 2).Y~N(m,s2) 求X+Y的分布. 分析：fry()=Eex+且 =Ee“HEe"B-fx(tfr(t) 而f①=e?,0s2 2 f0-f(0f,)e字 2 (m+m)1+2+)2 e 2 所以，X十Y服从正态分布. 8

例：设X与Y是独立的正态随机变量，且 求X+Y的分布. 分析： 所以， X+Y服从正态分布. 8

准意到：f't)=E(Xe)月 f"(t)=E(xe) M f(t)=E(x"ex) 今=0，得到 f(0)=E(X”) 拒母函数可用耒推导随机变量的各阶拒

矩母函数可用来推导随机变量的各阶矩. 注意到： 令t=0,得到 9

拒母函数的修质： ☑支矩母函数存在时，它唯一地决定分布： ☑两个相互独立的随机变量和的矩母函数等于 各个随机变量矩母函数的积fxv()=fx(tf,(): ☑矩母函散与各阶矩关系：fm(t)儿，0=EX”. 10

Ø 当矩母函数存在时，它唯一地决定分布； Ø 两个相互独立的随机变量和的矩母函数等于 各个随机变量矩母函数的积 ； Ø 矩母函数与各阶矩关系： 矩母函数的性质： 10