《时间序列分析》课程教学课件（讲稿）第七章 季节模型

第七章季节模型

第七章 季节模型

01 季节时间序列的重要特征 02 季节性时间序列模型 03 季节性检验 04 ARIMA季节加法模型 05 ARIMA季节乘法模型

01 季节时间序列的重要特征 02 季节性时间序列模型 季节性检验 ARIMA季节加法模型 05 04 03 ARIMA季节乘法模型

季节时间序列的重要特征 一、季节时间序列表示 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的 季度序列在夏季最高，、序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在莓军的7肖 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，.玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，.每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。，以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。，单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成二个二维的表格，其中二维表示周期，另一维表示秉个周 期的一个观测值，茹表8.1所示

3 季节时间序列的重要特征 • 一、季节时间序列表示 • 许多商业和经济时间序列都包含季节现象，例如，冰淇淋的销量的 季度序列在夏季最高，序列在每年都会重复这一现象。相应的周期 为4。类似地，在美国汽车的月度销售量和销售额数据在每年的7月 和8月也趋于下降，因为每年这时汽车厂家将会推出新的产品；在西 方，玩具的销售量在每年12月份会增加，主要是因为圣诞节的缘故； 在中国，每年农历5月份糯米的销售量大大地增加，这是因为中国的 端午节有吃粽子的习惯。以上三种情况的季节周期都是12个月。由 上面的例子可以看到，很多的实际问题中，时间序列会显示出周期 变化的规律，这种周期性是由于季节变化或其他物理因素所致，我 们称这类序列为季节性序列。单变量的时间序列为了分析方便，可 以编制成一个二维的表格，其中一维表示周期，另一维表示某个周 期的一个观测值，如表8.1所示

表7.1单变量时间序列观测数据表 周期点。 le 20 3 40 "3 Se 周期 X X X X Xs' 2 Xa X X X Xs 30 Xis X18s3 Xs X Xas" 40 X X393 X34 "羽 X.s e e e e 例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期$=12，起点为1993年1月，具体 数据见附录

4 • 表7.1 单变量时间序列观测数据表 • 例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具体 数据见附录

二、季节时间序列的重要特征 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过$个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以$为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。 例如，图7.2的数据是1993年1月到2000年12月的中国社会 消费品月销售总额。 5

5 • 二、季节时间序列的重要特征 • 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。 • 例如，图7.2的数据是1993年1月到2000年12月的中国社会 消费品月销售总额

4000 3500 3000 2500 2000 1500 人人人 1000 500 19931994199519961997199819992000 -SALES 图7.21993年1月一2000年12月的中国社会消费品月销售总额 当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势 变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影 响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它 们对经济的影响。 6

6 • 图7.2 1993年1月—2000年12月的中国社会消费品月销售总额 • 当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势 变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影 响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它 们对经济的影响

01 季节时间序列的重要特征 02 季节性时间序列模型 03 季节性检验 04 ARIMA季节加法模型 05 ARIMA季节乘法模型

01 季节时间序列的重要特征 02 季节性时间序列模型 季节性检验 ARIMA季节加法模型 05 04 03 ARIMA季节乘法模型

第二节季节时间序列模型 一、随机季节模型 季节性随机时间序列时间间隔为周期长度$的两个时间点上 的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列 表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12,X,与X,2有相 关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在X,与X,2之间 进行拟合。 设一个季节性时间序列{x}通过D阶的季节差分(I-B)P后 为一平稳时间序列四，即W=(1-B)”,X,则一阶自回归季 节模型为 w=f w.s+a (1-f Bs)w=a (7.1) 其中，4，为白噪声序列。将W,=(1-B)PX,代入式(71) (1-f BS)(1-B)X,=a (7.2) 8

8 第二节季节时间序列模型 • 一、随机季节模型 • 季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上 的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列 表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12， 与 有相 关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在 与 之间 进行拟合。 • 设一个季节性时间序列{ }通过D阶的季节差分 后 为一平稳时间序列 ，即 ，则一阶自回归季 节模型为 • 或 (7.1) • 其中， 为白噪声序列。将 代入式（7.1）， 得 (7.2)

同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 W,=a,-91a.,或(1-B)PX=(1-9B)a,(7.3) ·推广之，季节性的SARIMA为 U(BS)(1-BS)X,=V(BS)e (7.4) ·其中， U(B)=1-GB-G,B2-.G,B V(B)=1-HB-HBS-.-HB

9 • 同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 或 (7.3) • 推广之，季节性的SARIMA为 • (7.4) • 其中

二、乘积季节模型 式(7.4)的季节性SARIMA模型中，我们假定是a,白噪声 序列，值得注意的是实际中，不一定是白噪声序列。因 为式(7.4)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节 成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期 点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势， 相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以， 模型可能有一定的拟合不足，如果假设4，是 ARIMA(p,d,q)模型，则式(7.4)可以改为 F(B)U(BS)NNX,=Q(B)V(B)a, (7.5) 10

10 • 二、乘积季节模型 • 式(7.4)的季节性SARIMA模型中，我们假定是 白噪声 序列，值得注意的是实际中 不一定是白噪声序列。因 为式(7.4)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节 成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期 点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势， 相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以， 模型可能有一定的拟合不足，如果假设 是 ARIMA（p,d,q）模型，则式(7.4)可以改为 • • (7.5)