《计量经济学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多元线性回归模型 Multiple Linear Regression Model 3.5 可化为线性的多元非线性模型

§3.5可化为线性的多元非线性模型 一、模型的类型与变换 二、非线性▣归实例 三、非线性最小二乘估计

§3.5 可化为线性的多元非线性模型 一、模型的类型与变换 二、非线性回归实例 三、非线性最小二乘估计

说明 ·在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。 ·如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 (Pillips cuves)表现为双曲线形式等。 ·但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单 的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归模型的理论方法

说 明 • 在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的， 直接表现为线性关系的情况并不多见。 • 如著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂 函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线 （Pillips cuves）表现为双曲线形式等。 • 但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单 的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从 而可以运用线性回归模型的理论方法

一、模型的类型与变换

一、模型的类型与变换

1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换 ·一般讲，关于解释变量的非线性问题（例如倒数 关系、多项式关系)都可以通过变量置换变成为 线性问题。 一例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线： s=a+br+cr2,c<0,s:税收，r:税率 -设X1=r,X2=2,则原方程变换为： s=a+bX1+cX2,c<O

1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换 • 一般讲，关于解释变量的非线性问题（例如倒数 关系、多项式关系）都可以通过变量置换变成为 线性问题。 – 例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线： s = a + b r + c r2 ，c<0，s：税收，r：税率 – 设X1 = r，X2 = r2 ， 则原方程变换为： s = a + b X1 + c X2 ，c<0

2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 ·关于参数的非线性问题，函数变换是常用的方法。 -例如，Cobb-Dauglas生产函数为幂函数： Q=AKLP,Q:产出量，K:投入的资本；L:投入的 劳动 一对方程进行对数变换，得到线性模型： In Q=InA+a In K+BIn L

2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法 • 关于参数的非线性问题，函数变换是常用的方法。 – 例如，Cobb-Dauglas生产函数为幂函数： Q = AKL ，Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的 劳动 – 对方程进行对数变换，得到线性模型： ln Q = ln A +  ln K +  ln L

3、复杂函数摸型与级数展开法 ·对于不能采用变量置换和函数变换的复杂的非线性模型， 可以采用级数展开方法将其变换为线性模型

3、复杂函数模型与级数展开法 • 对于不能采用变量置换和函数变换的复杂的非线性模型， 可以采用级数展开方法将其变换为线性模型

例如，常替代弹性CES生产函数 Q=A(6,K-p+62LP)Pe“ (⑧1+δ2=1) Q:产出量，K:资本投入，L:劳动投入 p:替代参数，δ1、δ2：分配参数 方程两边取对数后，得到： LnQ=LnA-合Ln(δ，K-p+δ2LP)+W 将式中ln(δKp+δ，LP)在p=0处展开台劳级数，取关于 p的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得 Iny=I A+6mmn K+8mnL-pmo:02 2

方程两边取对数后，得到：     Q A  K  L e 1 ( ) 1 2 − − − = + (1+2=1) Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入 ：替代参数， 1、2：分配参数       = − + + − − ( ) 1 2 1 LnQ LnA Ln K L 例如，常替代弹性CES生产函数 将式中ln(1K- + 2L - )在=0处展开台劳级数,取关于 的线性项，即得到一个线性近似式。 如取0阶、1阶、2阶项，可得 2 1 2 1 2 ln 2 1 ln ln ln ln               = + + − L K Y A  m K  m L  m 

二、实例

二、实例

建立中国工业生产函数模型（两要素） ·Y为总产出，K、L分别为资本、劳动投入要素 Y=AKB LB. B+B2=1 Y/L=A(K/L n(Y)=B。+B,hK+B2hL+u h(YL)=B。+Bn(K/L)+u nY=1.818+0.677n(K)+0.290n(L) n=1.612+0.687n( L

建立中国工业生产函数模型（两要素） • Y为总产出，K、L分别为资本、劳动投入要素 1 2 Y = AK L 1 / ( / )  Y L = A K L ln(Y) =  0 + 1 ln K +  2 ln L +  ln( Y/L) =  0 + 1 ln( K / L) +  1 1 +  2 = 1.818 0.677ln( ) 0.290ln( ) ˆ ln Y = + K + L 1.612 0.687ln( ) ˆ ln L K L Y = +

变换为线性模型 ·未施加约束，回归结果表明： -InY变化的94.1%可由资本与劳动投入的变化来解释。 -变换后，模型的线性关系显著成立。 -InK、InL参数显著地异于零。 -资本投入与劳动投入的产出弹性之和为0.967，接近于 1

变换为线性模型 • 未施加约束，回归结果表明： – lnY变化的94.1%可由资本与劳动投入的变化来解释。 – 变换后，模型的线性关系显著成立。 – lnK、lnL参数显著地异于零。 – 资本投入与劳动投入的产出弹性之和为0.967，接近于 1