《计量经济学》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 多元线性回归模型 Multiple Linear Regression Model 3.7 受约束回归

§3.7受约束回归 Restricted Regression 一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、检验不同组之间回归模型的差异 *四、非线性约束

§3.7 受约束回归 Restricted Regression 一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量 三、检验不同组之间回归模型的差异 * 四、非线性约束

说明 ·在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如： 一需求函数的0阶齐次性条件 一生产函数的1阶齐次性条件 。 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 (restricted regression); ·未加任何约束的回归称为无约束回归 (unrestricted regression)

说 明 • 在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对 模型中的参数施加一定的约束条件。例如： – 需求函数的0阶齐次性条件 – 生产函数的1阶齐次性条件 • 模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回 归（restricted regression）; • 未加任何约束的回归称为无约束回归 （unrestricted regression）

一、模型参数的线性约束

一、模型参数的线性约束

1、参数的线性约束 Y=B。+BX1+f2X2+.+BXk+4 B,+B2=1 B-=Bk Y=B。+BX1+(I-B)X2+.+B-1Xk-1+B-Xk+W Y=B。+B,Xi+BX3+.+B-1X1+4 Y'=Y-X2 B。,B1,B,.,Bi X1=X1-X2 X-1=X-1+X B2=1-B B=B-

1、参数的线性约束 Y =  0 + 1 X1 +  2 X2 ++  k Xk +  1 +  2 =1  k−1 =  k * 0 1 1 1 2 1 1 1 Y =  +  X + (1−  )X ++  k − X k − +  k − X k +  * * 3 3 1 1 * 0 1 1 * Y =  +  X +  X ++  k− Xk− +  0 1 3 1 ˆ , , ˆ , ˆ , ˆ      k− 2 1 ˆ 1  ˆ = −  1 ˆ ˆ Xk Xk Xk  k =  k− X X X Y Y X = + = − = − − −1 * 1 1 2 * 1 2 *

2、参数线性约束检验 ·对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步 进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2 检验与t检验。 ·F检验 一构造统计量； 一检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化

2、参数线性约束检验 • 对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步 进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2 检验与t检验。 • F检验 – 构造统计量； – 检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化

Y=XB+e Y=XB.+e. e.=Y-XB.=XB+e-XB.=e-X(B.-B) e.e.=e'e+(B.-B)'x'X(B.-B) ·受约束样本回归模型的残差平方和RSS大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSS,这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力

Y = Xβ+e ˆ * * ˆ Y = Xβ + e e Y Xβ Xβ e Xβ e X(β β) * * * * = − ˆ = ˆ + − ˆ = − ˆ − ˆ e e e e (β β) X X(β β) * * * *  =  + ˆ − ˆ   ˆ − ˆ • 受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无 约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着， 通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的 解释能力

如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSS与 RSSu的差异较小。 可用(RSSR一RSSu)的大小来检验约束的 真实性。 RSSu/o2~x2(n-ky -1) RSS /2~x2(n-kg-1) (RSSg-RSSU)/2x2(ku-kg) F- (RSSg-RSSu)/(ku-kg)-F(ke-kg:n-ku-1) RSSI /(n-ku-1)

• 如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约 束回归模型具有相同的解释能力，RSSR 与 RSSU的差异较小。 • 可用（RSSR －RSSU）的大小来检验约束的 真实性。 / ~ ( 1) 2 2 RSSU   n − kU − / ~ ( 1) 2 2 RSS R   n − kR − ( )/ ~ ( ) 2 2 R U U R RSS − RSS   k − k ~ ( , 1) /( 1) ( )/( ) − − − − − − − = U R U U U R U U R F k k n k RSS n k RSS RSS k k F

·例：在2010年中国工业生产函数模型实例中，对 1阶齐次性进行检验： -无约束回归：RSSu=4.4039,k=2 -受约束回归：RSSR=4.4854,KR=1 -样本容量n=39,约束条件个数ku-k2-1=1 F=4.4854-4.4039) 1=0.6654 4.4039/36 结论：在5%的显著性水平下，自由度为（1,36)的F 统计量的临界值为4.11。计算的F值小于临界值，不能 拒绝2010年中国工业生产函数具有规模收益不变这一 假设

• 例：在2010年中国工业生产函数模型实例中，对 1阶齐次性进行检验： – 无约束回归:RSSU=4.4039，kU=2 – 受约束回归:RSSR=4.4854，KR=1 – 样本容量n=39，约束条件个数kU - kR=2-1=1 0.6654 4.4039 / 36 (4.4854 4.4039)/1 = − F = 结论：在5%的显著性水平下，自由度为（1，36）的F 统计量的临界值为 4.11。计算的F值小于临界值，不能 拒绝2010年中国工业生产函数具有规模收益不变这一 假设

二、对回归模型增加回或减少解释变量

二、对回归模型增加或减少解释变量

Y=B+BX1+.+B%Xk+4 Y=B。+BX1+.+BXk+Bk+1Xk+1+.Bk+gXk+g+4 前者可以被看成是后者的受约束回归，通过约束 检验决定是否增加变量。 H0:阝x41=Bk+2=.=B+g=0 F= (RSSR-RSSU)/g RSSU /(n-(k+q+1)) (ESSU-ESSg)/qF(d,n-(k+1) RSSU/(n-(k+q+1))

Y =  0 + 1 X1 ++  k Xk +  Y =  0 + 1 X1 ++  k Xk +  k+1 Xk+1 + k+q Xk+q +  前者可以被看成是后者的受约束回归，通过约束 检验决定是否增加变量。 H0： 0 +1 = +2 = = + = k k k q     ~ ( , ( 1)) /( ( 1)) ( )/ /( ( 1)) ( )/ − + + − + + − = − + + − = F q n k q RSS n k q ESS ESS q RSS n k q RSS RSS q F U U R U R U