同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第11章 应力状态分析（2/2）

S.11 -4空间应力的应力状态分析一一点的最大应力T010022003103与α3平行的斜截面上的应力可在、の应力圆的圆周上找到对应的点。与2平行的斜截面上的应力可在1、03应力圆的圆周上找到对应的点。与α,平行的斜截面上的应力可在2、3应力圆的圆周上找到对应的点

s t o s  s  s  与s3平行的斜截面上的应力可在s1、s2 应力圆的圆周上找到对应的点。 x y z y §11 -4 空间应力的应力状态分析 — 一点的最大应力 与s2平行的斜截面上的应力可在s1、s3应力圆的圆周上找到对应的点。 与s1平行的斜截面上的应力可在s2、s3 应力圆的圆周上找到对应的点

T01max02Qα203X3001Z图a图b结论1）：弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。i-03=T.3=2).整个单元体内的最大切应力为：T13max2

sa ta o s  s  s  1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对 应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图a 图b 2).整个单元体内的最大切应力为： t max 结论 —— max 1 3 13 2 t s s t = − =

3）：整个单元体内的最大切应力所在的平面：0301-32T13=TmxT13 =2o01(0i, 03, T13)l0,x620202ZαOα230a1

3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面： max 1 3 13 2 t s s t = − = x z y s 2 s 1 s 3 s 2 s 2 s 1 s 3 13 t 1 3 13 2 (s , s , t ) ⊥s sa ta o s  s  s 

例用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面，最大切应力m及作用面。y20MPa2020MPa204040MPa20MPax(a)(b)解：由图示应力状态可知g,=20MPa为一主应力与该应力平行的斜截面上的应力与其无关可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力

例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主平面， 最大切应力tmax及作用面。 解：由图示应力状态可知sz =20MPa为一主应力， 与该应力平行的斜截面上的应力与其无关。 20 20 40 (a) (b) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 可由图b所示的平面应力状态来确定另两个主应力

用应力圆求主应力、主平面，最大切应力t..及作用面。yIT图b所示应力状态对应的应力圆C20MPa厂20MPaBA40MPaC2a20MPax由此可得：(a)20,a2α= 34°20Omx =OA= 46MPaOmin = OB = -26MPa40O, = 46MPa由此可知：C, = 20MPaO3 =-26MPa(b)

20 20 40 (b) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 图b所示应力状态对应的应力圆 46MPa s max = OA = 26MPa s min = OB = − 由此可得： 用应力圆求主应力、主平面，最大切应力tmax及作用面。 46MPa s1 = 20MPa s 2 = 26MPa s 3 = − 由此可知： t O s s3 s1 A C D2 D1 (c) B 2a0  2a0 = 34

lyG, = 46MPa20MPaC, = 20MPa20MPax核图片法C, = -26MPa40MPa20MPaxIt(d)B= 46MPa0max(a)=-26MPaOminDXul(c)2α=34°ADa0CAa02αgC0200D9.G依据三个主应力值可绘出三个应力圆

46MPa s1 = 20MPa s 2 = 26MPa s 3 = − 依据三个主应力值可绘出三个应力圆 t O s s3 s1 A C D2 D1 (c) t O s t max s3 s2 s1 B A C D2 D1 (d) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z 46MPa s max = 26MPa s min = −  2a0 = 34 2a0

2(d)B20MPaDXU20MPa40MPa0020MPax(a)0a0O3O最大切应力对应于B点的纵坐标，即X路01-03= 36MPa= BC 7max2(e)作用面与,平行而与,成45°角，如图e所示

36MPa 2 1 3 max = − = = s s t BC 作用面与s2平行而与s1成45°角，如图e所示。 最大切应力对应于B点的纵坐标，即 x (e) s3 s2 s1 tmax 17° t O s t max s3 s2 s1 B A C D2 D1 (d) (a) 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa x y z

平面应力状态作为三向应力状态的特例1LLmax200030003050

200 300 50 t s o s 3 s 2 s 1 tmax 平面应力状态作为三向应力状态的特例

20050a020330001050

200 50 3 s 1 s s 2 s O t 300 50

1aQ30230006150

300 50 s 1 s 3 s 2 O s t