同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第9章 弯曲应力 §9-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件

S9-2梁横截面的切应力和切应力强度条件矩形截面梁横截面上的切应力一1、假设：（1）横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。(2)切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。2、公式推导Ehdx图axK业不b

z y b h §9-2 梁横截面的切应力和切应力强度条件 一、 矩形截面梁横截面上的切应力 1、假设：⑴ 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。 ⑵ 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力 大小相等）。 2、公式推导 x d x 图a y τ Fs

→Ro图aF+dF+yMZX = N, - N- t,b(dx) = 0M +dMHMSM.odA* = N=1Adx k业I.(M +dM)S*N.I2FS*F.S*dMTtibl.bl.dx婴婴馨馨F.S*SbT由切应力互等定理可知I.b注意：F为横截面的剪力；I为整个横截面对z轴的惯性矩：b为所求点对应位置截面的宽度；S*为所求点对应位置以外的面积对中性01轴z的静矩。图C

X = N1 − N − 1 b(dx) = 0 z z A z A I MS ydA I M N dA    = = =      z z I M dM S N  + = ( ) 1 z s z z z bI F S bI S dx dM    1 = = A z y y 由切应力互等定理可知 I b F S z s z   = Fs M h M +dM Fs + dFs dx 注意：Fs为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对 z 轴的惯性矩；b为所求点对应位置截面的宽 度； 为所求点对应位置以外的面积对中性 轴 z 的静矩。 * z S x d x 图a z y b y τ Fs

h3、矩形截面切应力的分布：A*=b(=-y)FS*T1.b代maxhhh2S'=y'A*bV222h?3 FFSS=1.5T矩max212 AZ（1）T沿截面高度按二次抛物线规律变化(2)同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处（y=0）;(3)上下边缘处（y=土h/2)，切应力为零

 1.5 2 3 max = = A Fs ) 4 ( 2 2 2 y h I F z s  矩 = − 3、矩形截面切应力的分布： ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 2 y b h y h b y h Sz yc A − = − + = =    I b F S z s z   =  z y h b B Fs ) 2 ( * y h A = b − * c y max  Fs (1)  沿截面高度按二次抛物线规律变化； (2) 同一横截面上的最大切应力max在中性轴处 ( y=0 )； (3)上下边缘处（y=±h/2)，切应力为零

圆截面梁二、非矩形截面梁切应力的分布特征：边缘各点切应力的方向与圆周相切：切应H力分布与v轴对称：与V轴相交各点处的Tmax切应力其方向与v轴一致。0关于其切应力分布的假设：Zkt1、离中性轴为任意距离V的水平直线段上K各点处的切应力汇交于一点；O'2、这些切应力沿y方向的分量,沿宽度相等。yiFsS*I,b(y)

二、非矩形截面梁——圆截面梁 切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应 力分布与y 轴对称；与y 轴相交各点处的 切应力其方向与y 轴一致。 ( ) * S I b y F S z z  y = 关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离 y 的水平直线段上 各点处的切应力汇交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量  y 沿宽度相 y 等。 O max k k' O' d Fs y

O最大切应力tmax在中性轴处TmaxFss'元maxI.d0Zk'2dk元dFS243元O'πd4xdyI6404F4FsZ3A儿yI

最大切应力 max 在中性轴处 I d F S z z * S  max = A F d F 3 4 4 π 3 4 S 2 S =       = d d d d F                 = 64 π 3π 2 4 π 2 1 4 2 S y O max k k' O' d y O C 2d /3 p

三、薄壁截面梁1、工字形薄壁梁bEbS22腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算三三Tmi假设：t腹板侧边，并沿12腹板12其厚度均匀分布SFS:xT0TmaxcJ1.8122翼缘S一一下侧部分截面对中性Tmin轴Z的静矩tyI.yFsb(h, - h) +8(h- 4y)T(V)81.0hTmax = t(0)Tmin =T(±)2

1、工字形薄壁梁   z z I F S y * S ( ) = 假设 :  // 腹板侧边，并沿 其厚度均匀分布  ( ) ( 4 ) 8 ( ) 2 2 2 2 0 S b h h h y I F y z = − + −   (0) max  = ) 2 ( min h  =  腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。 ——下侧部分截面对中性 轴 z 的静矩 * z S 三、薄壁截面梁 Fs

2、盒形薄壁梁22Tmin手丰ho22Fsz0Ctmaxy212丰三TminoIFsHa6(h - h2)+28(h? - 4y2)1..2161.0

2、盒形薄壁梁  ( ) 2 ( 4 ) 2 16 ( ) 2 2 2 2 0 S * S b h h h y I F I F S y z z z = − + −  =    

3、薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征(1）d<<ro→沿壁厚切应力的大小不变：(2）内、外壁上无切应力→切应力的方roTmaxTmax向与圆周相切；02(3）轴是对称轴→切应力分布与轴对称；与V轴相交的各点处切应力为零。最大切应力仍发生在中性轴z上。Tmax

3、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征： (1) d <<r0→沿壁厚切应力的大小不变； (2) 内、外壁上无切应力→切应力的方 向与圆周相切； (3) y 轴是对称轴 → 切应力分布与 y 轴 对称；与 y 轴相交的各点处切应力 为零。 最大切应力max 仍发生在中性轴z上。 y O max  r  0 max

薄壁环形截面梁最大切应力的计算02d A=2元0r。×r?= 2元rI,=I +I=2I0-TmaxTmax0Z元Sr22rS* =(元)2r28A = 2元Sr元FsS'Fs(2r?8)maxZ01. (28)元0r(28)2ro /元1OFsFs2ATroyI

(  )  2 0 0 0 * 2 π 2 π r r S r z =  = 3 0 2 0 0 2 I p d A 2π r r 2π r A =  =   =   z y z I I I 2I p = + = 3 p π 0 2 1 I I r z = =  ( ) π (2 ) (2 ) 2 3 0 2 S 0 * S max      r F r I F S z z = = A F r F S 0 S 2 π = =  2π 0 A = r y 2r0 /p O C 薄壁环形截面梁最大切应力的计算 y O max  r  0 max

4、薄壁截面梁翼缘上的切应力(1）平行于y轴的切应力计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力TdA≥0.9FFst = lAO，工程上一般可见翼缘上平行于轴的切应力很小，不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担

4、薄壁截面梁翼缘上的切应力 计算表明，工字形截面梁的腹板 承担的剪力 (1) 平行于y 轴的切应力 可见翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上一般 不考虑。截面上的剪力基本上由腹板承担 S 1 FS1 d A 0.9F A =    y  h O d b  y