同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第17章 刚体平面运动（2/2）

七、平面图形内各点的加速度已知平面图形上一点A的加速度α、图形的角速度の与dBA角加速度，确定平面图形S2上任意点的加速度aBA1aAaBAVB =VA+OXTAB小O两边求导：AAdadrABab=aa++@xXTABdtdtaB=aA+α×rAB +×VBAαxTAB =aBAO×VBA =aBAaB =aA +aBA +aBAaBA =aBA +aB

已知平面图形上一点A 的 加速度 、图形的角速度 与 角加速度 ，确定平面图形 上任意点B的加速度 aA  七、平面图形内各点的加速度 aA aBA  aBA n aBA B A AB v v r     = + 两边求导： B A AB BA a a r v       = +  + dt d dt d AB B A AB r a a r       = +  +  τ AB aBA r      = n BA aBA v     =  BA n aB aA aBA a     = + + n τ aBA aBA aBA    = +

a=a +aB+ap2加速度合成定理平面图形内任一点的加速度，等于随基点平动的加速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速度（相对加速度）的矢量和。向AB的连线投影：[a,lAs=[aalas+[aBa]将 ag =aa +aBa +aBs则有当 αB=0,即の=0[aB]AB =[aA]AB

τ n aB aA aBA aBA     = + + ——加速度合成定理 平面图形内任一点的加速度，等于随基点平动的加 速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速 度（相对加速度）的矢量和。 将 aB aA aBA τ aBA n 向AB的连线投影：     = + +       B AB A AB BA AB a a a   n = + 当 0, 0 n aBA = 即  = 则有     B AB A AB a a   =

例1车轮沿直线作纯滚动，已知轮的半径为R，轮心的速度和Uoao加速度分别为o(t)。Onapo试求：图示瞬时车轮上速度Paoapo瞬心P的加速度解：以轮心点O为基点分析点P的加速度，如图所示。Vo由于点P为速度瞬心，则①=Rdo11 duo轮的加速度为α=doRRdtdt

车轮沿直线作纯滚动，已知 轮的半径为R，轮心的速度和 加速度分别为 。 试求：图示瞬时车轮上速度 瞬心P的加速度 ( ) 0  t 例1 解：  以轮心点O为基点分析点P的加速度，如图 所示。 O a  PO a n PO a R 0 由于点P为速度瞬心，则  = 0 0 1 d 1 d d d a t R t R = = =   轮的加速度为 

由加速度合成定理ap = ao +apo +apoUoaoV1大小?VapoNV方向？VPa1POi0R=apo = Rα= αoPCRuaA所以aPOR结论：瞬心，速度为零的点加速度不为零

n τ P O PO PO a a a a     = + + 由加速度合成定理 O a  PO a n PO a = =  = = = = R a a R a R a a ω R P P O P O P O 2 n 0 2 n 2 0 0 τ    所以 结论：速度为零的点——瞬心，加速度不为零。 大小 ？ √ √ √ 方向 ？ √ √ √

例2图示机构中，OA三12cm，AB一30cm，AB杆的B端以UB=2m/s，aB=1m/s2向左沿固定平面运动。求图示瞬时，AB杆的角速度和角30AV加速度，以及点A的加速度。BagUB解：AB杆作平面运动，由A、B两点的速度方向可知AB杆作瞬时平移，如图所示。则有VAQ AB = 0UA =UBQOA

图示机构中，OA＝12cm，AB ＝30cm，AB杆的B端以 ＝2m/s， aB ＝1m/s2向左沿固定平面运动。 求图示瞬时，AB杆的角速度和角 加速度，以及点A的加速度。  B 例2 解：AB杆作平面运动，由A、B两 点的速度方向可知AB杆作瞬时 平移，如图所示。  A 则有 OA A A B AB   =  = 0 0 =

以点A为基点，研究点B的加速度，OVAa:=a"+a+aBa+absasna?N?大小vVIaBAVVVJaBA =0方向√30°BaaB向AB连线投影aBAag cos30°= a, cos30°+a' sin 30° 得: α, =as- tan 30°在y轴上投影O =a-aBAcos30a'aBACOs30°22×2U?/OA= 128 rad/s2αAB0.12×0.3/3ABcos30°结论：瞬时平动刚体的角速度为零，角加速度不为零

0 n aBA = 大小 √ √ ？ √ ？ 方向 √ √ √ √ √ 在y轴上投影  0 cos30 n τ = aA − aBA A B τ aA n aA n aA τ aA τ aBA n aBA aB y  30 2 2 2 n τ 128 rad/s 0.12 0.3 3 2 2 cos30 / cos30 =   = = =   AB OA a a A A B A B A   结论：瞬时平动刚体的角速度为零，角加速度不为零。 以点A为基点，研究点B的加速度， n τ n τ aB aA aA aBA aBA      = + + + 向AB连线投影 cos30 = cos30+ sin 30 τ n B A A a a a 得: = − tan 30 τ n aA aB aA

例3圆轮在曲面做纯滚动，杆OA做匀速转动，已知:の=10rad/s,0A=r=10cm.AB=l=40cm，R=20cm，试求：圆轮与杆AB的角加速度VAA解：杆AB作瞬时平动0BVA= VB=Or0WB= Vp/r=OWAB=OR

 0 A B r R 圆轮在曲面做纯滚动，杆OA做匀速转动，巳知:=10 rad/s, OA=r=10cm,AB=l=40cm, R=20cm, 试求:圆轮与杆AB的角加速度。 例3 vA vB 解: B= vB/r= 杆AB作瞬时平动 vA= vB=r AB=0

ABVAA以A为基点，求点B的加速度4nABA0αABBVyΦBar +a, =a+an+aBa+aaaBR07aBNBA4AAB: ap'cos -ap" sin Φ=-a"sin da"= "rag"= Vp2/(R+r)sin@= 0.25;RcosΦ = 0.968αp= ap /r= -17.2 1/s2 ;aB =-172 cm/sABA"= 0y:ag"=aBA"cos+aAαAB= aAB /I=-17.2 1/s2 ;aBAt=-688.5 cm/s

 0 A B r R f cosf = 0.968 sinf = 0.25; aA n aA n aB n aBA n aB  aBA  AB AB aA n= 2 r aB n= v B 2 /(R+r) AB: aB cos f – aB n sin f =−aA n sin f aBA n= 0 172 cm/s τ a B = − y: aB n = aBA  cosf +aA n aBA =−688.5 cm/s B= aB  / r= –17.2 1/s2 ; AB= aAB  / l= –17.2 1/s2 ; vA τ n τ n τ n vB a B a B aA aA aBA aBA       + = + + + 以A为基点，求点B的加速度

例4等边三角形ABC在自身平面内运动，已知a//BCa//AC且a=2a,a=a,求顶点C的加速度解：三角形ABC作平面运动2a设其边长为l，转动的角速度和角加速度分别为の和αBB

例4 解: 三角形ABC作平面运动 设其边长为l，转动的角速 度和角加速度分别为和

（1）以A为基点，点B的加速度：AJAa =aa +aBa+aBAxanx: αg sin 60°=aB -αa sin 60°atBABACBaAy: -ag cos60°=aBA -a cos60°aB式中:αa =2aa=aaBA = αlaB^ = ′13/3aa2α02121

（1）以A为基点，点B的加速度： n τ aB aA aBA aBA     = + +   : sin 60 sin 60 τ aB aBA aA x = −   : cos60 cos60 n aB aBA aA y − = − 式中： aA = 2a aB = a a l BA = τ a l BA n 2 = l a 2 2  = l a 2 3 3  =