同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第25章 普遍方程与拉氏方程（3/3）

第二类拉格朗日方程的初积分(i=1, 2, ..., n)r, = r(q1,q2,...,qk;t)k ordrar>V:gdtatdaj=1Y1my?>T=-2i=1kkororararorar1Z>2,[22+2m,a2.9aqsatatat2odiaqji1j=l s=1j=1KarKarY1ZZ(2)9,9smaqsdi1i-1j=l s=1nnorornar,arZZZq(m;m;oqjatatat2i=lj=l i=1

第二类拉格朗日方程的初积分 ( , , , ; ) 1 2 r r q q q t i = i  k   (i=1,2,.,n) t r q q r t r v i j j i k j i i   +   = = =      d 1 d = = n i i i T m v 1 2 2 1     = = = =      +      +      = n i i i j i n j j i j s k j k s s i j i i t r t r q t r q r q q q r q r m 1 1 1 1 [ 2 ] 2 1          t r t r m i i n i i      + =   2 1 1   = = =      = k j j s k s s i j i n i i q q q r q r m 1 1 1 ( ) 2 1     j i n j j i n i i q t r q r m    ( ) 1 1      += =

即:T=T(q,..",qkqi,..,qk;t)最高为广义速度的二次方ararAjs =Zm;令：aqsaqi=1narZB, =m,oqji=1narorZmatat2i=lkRZZA,9,9s再令：T, =广义速度的二次方项2j=1 s=lkT=ZB,qj广义速度的一次方项j=lT =C广义速度的零次方项

即: T = T(q1 ,  ,qk ;q  1 ,  ,q  k ;t) 最高为广义速度的二次方 令： s i j i n i js i q r q r A m      = =   1 t r q r B m i j i n i j i      = =   1 广义速度的二次方项 t r t r C m i i n i i      = =   2 1 1 T0 = C 再令： = = = k j j s k s T Ajsq q 1 1 2 2 1   = = k j T Bj qj 1 1  广义速度的一次方项 广义速度的零次方项

则：T=T2+T+ToaLd.aL=0对主动力均为有势力系统dt aqjoqj1.循环积分aLd.aL=0二)=0若L中不显含qs，则aqsdt aqsaL=常广义动量守恒aqs缺省的q,为循环坐标

则: T=T2+T1+T0 对主动力均为有势力系统 ( ) 0 d d =   −   j qj L q L t  1. 循环积分 若L中不显含qs，则 = 0   s q L ( ) 0 d d =   qs L t  = 常   s q L  缺省的qs为循环坐标。 广义动量守恒

2.广义能量积分（能量积分）在L中不显含时间时，在aLda=0(j-1, ..,k)dt aqjaqj每一式上乘上相应的9i后，并求和有kaLdaLZ[9]qjoqjdtqj j=1WaLaLdaL(99qjC二oqjdtoqjoqjj=IkkdaLaLaLZ(qZ(q)①ai1dtaqjaqjoqjj=1j=1

2. 广义能量积分（能量积分） 在L中不显含时间t时，在 ( ) 0 d d =   −   j qj L q L t  ( j=1, .,k ) 每一式上乘上相应的 q  j 后，并求和有 ( ) ] 0 d d [ 1 =   −   = j j j k j j q L q q L t q    ( ) ] 0 d d [ 1 =   −   −   = j j j j j j k j q L q q L q q L q t      ( ) ( ) 0 d d 1 1 =   −   −     = = k j j j j j k j j j q L q q L q q L q t      ①

kkaLaLdaLZ(q)Z(q,=0aiqj①oqjdtaqjj=1 j=1另从拉氏函数(不显含时间t)，即L=L(q,,qksq,,qk)kaLdLaLZ(q;)=0+qj2dtoqjqjj=1式②代入到式①AdaLaLdLd[ZZ(qjL=O0(q)dtaqjdtaqjdtj=1j=1kaLZ(q;③-L=常量得：aqJ=1将L=T-V=T,+T,+To-V代入式③

( ) ( ) 0 d d 1 1 =   −   −     = = k j j j j j k j j j q L q q L q q L q t      式②代入到式① 另从拉氏函数(不显含时间t)，即 ( , , ; , , ) L L q1 qk q1 qk =     ( ) 0 d d 1 =   +   == k j j j j j q L q q L q t L    0 d d ( ) d d 1 − =   = t L q L q t k j j j   [ ( ) ] 0 d d 1 − =   = L q L q t k j j j   将L=T-V=T2+T1+T0 -V代入式③ 得: − = 常量   = L q L q k j j j 1 ( )   ① ② ③

aT2Z(qj=2Taq,j=1其中：欧拉齐次函数定理2aTZ(a)oj=lavaT.=0=0aqjaqj则式③为：2T2+Ti-（T2+T+To-V）=常量即：T2-T,+V=常量，为广义能量积分对定常系统，T,=To=O，T-T2，则T,+V=常量，为能量积分

其中： 2 1 2 ( ) 2T q T q k j j j =   =   1 1 1 ( ) T q T q k j j j =   =    欧拉齐次函数定理 0 0    qj T   0   qj V  则式③为：2T2+T1 -（T2+T1+T0 -V）=常量 即：T2 -T0+V=常量，为广义能量积分 对定常系统，T1 =T0=0，T=T2，则T2+V=常量，为能量积分

例12半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水平轴O转动，绕其转动惯量为Jo，另一半径为r、质量为m的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分方程。mv2+T解：2222mrVc =(R-r)p零势位O50以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有D(R-r)p = R+ormg(R-r)p-OR得：0=r217m(R-r)Rpo= T,52 55

例12 半径为R的匀质空心圆柱内壁足够粗糙，可绕中心水 平轴O转动，绕其转动惯量为JO，另一半径为r、质量为m 的匀质圆球C沿其内壁作纯滚动。试写出系统的运动微分 方程。 O C q j mg 解： 2 5 2 J mr v (R r)j  C = C = − R r R r − j = q + O  ( )  2 2 2 2 ( ) 5 2 ( ) 5 7 2 1 ) 5 2 ( 2 1 T = JO + m R q + m R − r j − m R − r Rjq = T     2 2 2 2 1 2 1 2 1 O C C O T = J q  + mv + J  以球与圆柱的接触点为基点研究球心，有 r R r R O j q   −  − = ( ) 得： 零势位

V =-mg(R-r)cos@因为L=T-V = L(@,@,0)循环坐标，有aL22C+m(R-r)Rp=Cma035又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由T,+V=C2保守系统21 7m(R-r)o即:(Jo +=mR22 5252m(R-r)Rpo-mg(R-r)cos@= 0-5积分常数C、C,由系统运动的初始状态决定

V = −mg(R − r) cosj T2 +V =C2 (j,j,q)  因为 L = T −V = L  1 2 ( ) 5 2 ) 3 2 (J m r m R r R C L = + − − =   q j q    q为循环坐标，有 又L中不显含时间t，且T=T2，存在能量积分，由 即： 2 2 2 ( ) 5 7 2 1 ) 5 2 ( 2 1 q j  J mR m R r O + + − ( ) ( ) cos 0 5 2 − m R − r Rjq − m g R − r j =   积分常数C1、C2由系统运动的初始状态决定。 保守系统

b例13一离心调速器。设小零势面球A、B的质量为m1，大小不0计，套筒C的质量为m2，杆重力不计、长如图示。试求C1212转动的角速度の与张角β的关AB系。migmigm2g1102解：T：.2+=m2Vc-m,v22v =(b+ sin p)o? +(lp)Vc =-2l2psin p点的运动学T = m[(b+l, sin p) 2 +(l,)"]+=m2(2l2psin p) = T, +T2V = -2(ml +m2l2)g cosp

例13 一离心调速器。设小 球A、B的质量为m1，大小不 计，套筒C的质量为m2，杆 重力不计、长如图示。试求 转动的角速度与张角j的关 系。 A B C O b  j l2 l2 m1g m2g m1g 2 1 2 2 1 2 v (b l sin j)  (l j ) A = + + 2 2 2 0 2 1 2 2 1 1 (2 sin ) 2 1 T = m [(b + l sin j)  + (l j) ]+ m l j j = T +T 2 2 2 1 2 1 2 2 1 A C T = m v  + m v vC = −2l 2 j sin j 点的运动学 V = −2(m1 l 1 +m2 l 2 )g cosj 解： 零势面

得：L=T-V=T,+To-V，为非定常系统，不显含t 的，则：T2-To+V=C(ml2 +2ml2 sin p)p2 -m(b+l, sin p)*o2 -2(ml + m2l2)g cosp= C上式对时间求导，得2(ml? + 2m2l2 sin * p)pp+ 4m,l2g3 sin pcos-2m(b+l, sin p)o*pcosp+2(ml +m2l2)gpsin p = 0整理后为[2(ml? +2m,l2 sin p)p +2m,2g° sin 2p-2m(b+l sin )l,o~ cos+2(ml +mzl2)g sin plp = 0

得：L=T-V=T2+T0 -V，为非定常系统，不显含t 的，则： T2 -T0+V=C (m l + 2m l sin j)j −m (b +l sin j)  − 2(m1 l 1 + m2 l 2 )g cosj = C 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1  上式对时间t求导，得 整理后为 2( 2 sin j)jj 4 j sin j cosj 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m l + m l  + m l  2 ( sin ) cos 2( 1 1 2 2 ) sin 0 2 − m1 b +l 1 j l 1  j  j + m l + m l gj  j = [2( 2 sin j)j 2 j sin 2j 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 m l + m l  + m l  2 ( sin ) cos 2( 1 1 2 2 ) sin ] 0 2 − m1 b +l 1 j l 1  j + m l + m l g j j  =