同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第19章 质点动力学的基本方程（动力学基本定律、质点运动微分方程）

动力学第三篇静力学是研究物体的平衡问题，没有考虑物体在不平衡力系作用下将如何运动：运动学只研究物体运动的几何性质而不考虑力的作用静力学、运动学未考虑的问题，正是动力学所要研究的问题1动力学任务研究作用于物体的力与物体运动变化之间的关系，即建立力和运动之间的关系

静力学是研究物体的平衡问题，没有考虑物体在不平衡力系 作用下将如何运动; 运动学只研究物体运动的几何性质而不考虑力的作用。 静力学、运动学未考虑的问题，正是动力学所要研究的问题。 第三篇 动力学 研究作用于物体的力与物体运动变化之间的关系，即建立力 和运动之间的关系。 1 动力学任务

2学习动力学目的(1）解决实际工程问题(2）为后续课程奠定基础3动力学的基本模型(1)质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和大小尺寸忽略不计。(2)质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联系的系统。可变质点系：质点间距离可以改变的质点系。如流体等不变质点系：质点间距离保持不变的质点系。如刚体

2 学习动力学目的 (1) 解决实际工程问题 (2) 为后续课程奠定基础 (1)质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和大小尺寸忽略 不计。 3 动力学的基本模型 (2)质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联系的系统。 不变质点系：质点间距离保持不变的质点系。如刚体。 可变质点系：质点间距离可以改变的质点系。如流体等

当研究飞行器姿态动力当研究飞行器轨道动学时，「可将其视为刚体系或力学问题时，可将飞行器质点系。视为质点

当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。 当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系

第十九章动力学基本定律质点运动微分方程819-1牛顿运动定律惯性坐标系第一定律惯性定律任何物体，若不受外力作用，将永远保持静止或作匀速直线运动第二定律力与加速度关系定律质点的加速度大小与所受力的大小成正比，而与质点的质量成反比，加速度方向与力的方向一致。F=ma质量是物体惯性的度量适用于惯性参考系第三定律作用与反作用定律两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿同一作用线，且同时分别作用于两个物体上

适用于惯性参考系 §19-1 牛顿运动定律 惯性坐标系 第一定律 惯性定律 任何物体，若不受外力作用，将永远保持静止或作匀速直 线运动 第二定律 力与加速度关系定律 质点的加速度大小与所受力的大小成正比，而与质点的质 量成反比，加速度方向与力的方向一致。 F ma   = 第三定律 作用与反作用定律 质量是物体惯性的度量 两物体间相互作用的力总是大小相等，方向相反，沿 同一作用线，且同时分别作用于两个物体上 。 第十九章 动力学基本定律 质点运动微分方程

动力学主要研究两类基本问题1.已知运动求力(逆问题F2F2.已知力求运动（正问题FW地球

2.已知力求运动(正问题) 1.已知运动求力(逆问题) P a F1 F2 地球 动力学主要研究两类基本问题 W  F  a 

m7819-2质点运动的微分方程rtF一、矢量式ad?rdvma=mmdf?dty二、直角坐标式xd? xQRyd?FFmmFxdt?dt?m?di?三、自然轴系式bd?sdvSTAma,=mmMAdt?dtB2F= ZF :ma.=m+nd0pnmab =0= ZF :b

§19-2 质点运动的微分方程 一、矢量式 Fy t y m = 2 2 d d F t r m t v ma m     = = = 2 2 d d d d 二、直角坐标式 三、自然轴系式 ; d d d d 2 2  F t s m t v ma = m = = Σ ; n 2 n F v ma = m =  0 Σ ; mab = = Fb x y z m F  a  r  S A B M + _ n b  F  a  Fx t x m = 2 2 d d Fz t z m = 2 2 d d

四、两类问题1、已知运动，求力（微分问题）已知 =r)=()a=a)求F是一个微分过程2、已知力，求运动（积分问题），还要已知初始条件例如：重力（1）力是常力F=常矢量FdxFxXmx = Fx =x中dtmmFXFxdtdxX= xo +XtJoXmm

四、两类问题 1、已知运动，求力（微分问题） 已知 r r(t)   = v v(t)   = a a(t)   = F  求 是一个微分过程 2、已知力，求运动（积分问题），还要已知初始条件 （1）力是常力 F = 常矢量  例如：重力 Fx mx = m F x x  =   = t x x x t m F x 0 d d 0    m F t x x = d d t m F x x x  =  0 + '' x

（2）力是位置的函数例如：弹簧力F=F()F(x)mx = F(x)xx :mdxdxdxdx（分离变量法）x=Xdtdxdtdx21YF(x)dxxdx =AAxo +-0xom JxomF= F()例如：空气阻力（3）力是速度的函数F()r1mx= F(x)x :mdx1xdtJxo F(3)m Jto

（2）力是位置的函数 F F(r)    = 例如：弹簧力 '' x'' m  x  = F(x) ( ) m F x x = x x x t x x x t x x d d d d d d d d      = =  = （分离变量法） ( )   = x x x x F x x m x x 0 0 d 1 d     (x) m x x  2 2 0 2  =  + （3）力是速度的函数 F F(v )    = 例如：空气阻力 '' x'' m  x  = F(x ) ( ) m F x x   = ( )   = t t x x F x m x 0 0 dt  d 1   

（4）力是时间的函数例如：周期力F=F(0)x=F()mx = Fr()xmdx = (' Fx(t)dtx= xo +p(t)Xm Jto说明：以上积分的分离形式并不是惟一的，具体如何分离，要与所求问题相对应求解动力学问题的步骤：1、取研究对象画受力图确定坐标系213、建立微分方程4、求解

（4）力是时间的函数 F F(t)   = mx F (t) = x '' x''  ( ) m F t x x  = ( )   = t t x x x F t t m x 0 0 d 1 d    例如：周期力 x = x +(t) 0   说明：以上积分的分离形式并不是惟一的，具体如何 分离，要与所求问题相对应. 1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解 求解动力学问题的步骤：

例1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑物块以加速度a,滑下,试求：楔块的加速度值。y解:a2Ax: ma(aicos β+a2)=magsin βaiBy: mAaisin β=Fn-magcos βYai=(gsin β-a2)/ cos βa=aiaz=gsin β-ai cos βAx讨论：Fa=a21.ai>gtan β,a,0，物块相对下降2. ai< gtan β,α2=0，物块相对不动。3.aj= g tan β

例1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑 物块以加速度a2滑下,试求：楔块的加速度a1值。 解： A B  a1 a2 A ar =a2 FN P ae =a1  y x x: mA (a1cos  +a2 )=mAgsin  x ’ y ’ y: mAa1 sin  =FN -mAgcos  a1 =(gsin  - a2 )/ cos  讨论： 2. a1 g tan , 3. a1= g tan , a2=gsin  - a1 cos  a20, 物块相对下降。 a2=0, 物块相对不动