同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第22章 动能定理 §22-4 功率方程 §22-5 势力场与势能 §22-6 机械能守恒定律

动能定理：dT=T -T =Zw功:w=.F.drdw=F.drk(SW = mg(zc1 - Zc2)W:2[ M.d?w=Gm.mW12刚体内力不做功，理想约束力不做功，静滑动摩擦力不做功，动滑动摩擦力做的功按主动力计算。"W12动能：m,yTmy102222i=lmumy21242

动能定理： T wi d = δ T2 −T1 = wi w F r   d = d w F r s   功： =  d ( ) C1 C2 w = mg z − z ( ) 2 2 2 2 =  1 − k w ) 1 1 ( 2 1 0 r r w = Gm m − 刚体内力不做功，理想约束力不做功，静滑动摩擦力不做 功，动滑动摩擦力做的功按主动力计算。    d 2 1 w Mz =  动能： 2 2 1 T = mv = = n i i i T m v 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 C i i C T = mv + m v 2 2 1 T = mv 2 2 1 T = J z  2 2 1 T = J P  2 2 2 1 2 1 T = m C + JC 

例12-5：已知：杆OA质量m=40kg，长l=1m，pz=0.5m，小车质量M=200kg，h=1.5m，0=0=60°时系统无初速。力偶L=1046N·m。试求：小车在9=90°时的加速度。A解：“系统”T=0T2M2022migZw = mgl(sin 0。 -sin 0)+ L(0- 0.)DV2+=m,v? = mgl(sin -sin 0)+ L(0 -00)TT:hJo.00+mva=-mglcos00+LiVe= vsin 0=0=V /OB =vsin 20 / hva=ve+v.两边对时间求导，并将代入，得é=asin2θ/h+u2sin2sin2/h将é、?、Jo=m(2+p2)代入上式L -mgl cos0-m(? + p?)u? sin ? sin 20 / h?a lo=90 =3.14m/s2 (0= 90)a=m(1? + p)sin / h+m,h / sin

例12-5：已知：杆OA质量 m＝40kg，长l＝1m，cz ＝0.5m，小 车质量M＝200kg，h＝1.5m，＝0 ＝60时系统无初速。力偶 L＝1046Nm。试求：小车在＝90时的加速度。 解： m1g mg C ve = vsin  a v  e v  r v   2 2 2 2  = asin  / h + sin  sin 2 / h 两边对时间求导，并将 代入，得    a e r v v v    = + ve /OB v sin / h 2  = = =   (sin sin ) ( ) 2 1 2 1 0 0 2 1 2 J0z  + m v = mgl  −  + L  −        J 0z + m1 v a = −mgl cos + L ( ) 2 2 0z cz 将   、  、J = m l +  代入上式         2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )sin / /sin cos ( ) sin sin 2 / m l h m h L mgl m l h a cz cz + + − − + = | 3.14m/s ( 90 ) 2 90   = = =   a v T1 = 0 2 2 2 2 1 2 1 T J Mv = o  + “系统”  (sin sin ) ( ) w = mgl 0 −  + L  −0

例6：已知：ma=m，mp=m/2，mc=m/3，鼓轮的回转半径为p，质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，外力偶M，轮C的半径为r，物体A接触的摩擦因数为f。若系统初始无初速，试求物体A的速度（表示成物体A位移x的函数）。MTi =0解：“系统”mg11 mm2F2A2201T2mp'00+Vc2A22 3000-300Fn11 1 mm22OcVBVC2 222 3mmZw=mgsin30°x-mgcos30°fx +Mpogxgx32mg32Pcr =PorPcr=XB=XcPoR=XAVBB1pcr=XB=xcmg2pcr =porpR=xA2

例6：已知：mA=m，mB =m/2，mC=m/3，鼓轮的回转半径为，质 量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，外力偶M，轮C的半径为r， 物体A接触的摩擦因数为fs 。若系统初始无初速，试求物体A的速 度（表示成物体A位移xA的函数）。 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 c B c v m r m v m v m m T A + + = + +    A s A c gxB m gx m w m g x m g f x M 3 2  = sin 30 − cos30 + 0 − − C B C   r = x  = x  r r 2 C 0  =  解: A R = x 0 =300 A M 0 C B vB C B C  r = x = x r r 2 C =0 A  R = x  0 mg mg 2 1 mg 3 1 FN Ff “系统” vB 0 vA vC vB T1 = 0

nMEXmxRR24R22T2-T=ZW213M0mxXAmgR22R224R12.K2MRm6RX.n2024R2R?

) R r R T mx ( A 2 2 2 2 2 2 4 1 2 1 = + +          = + − − ) 12 5 2 3 2 1 ( R r m g f R M w xA s A s A x R r R R r g f Rm M v 2 2 2 2 4 1 ) 6 5 (1 3 2 + +       + − − =  T2 −T1 = W + + ) = R r R mx ( A 2 2 2 2 2 4 1 2 1         + − − ) R r m g( f R M x A s 12 5 2 3 2 1

$22-4功率方程一、功率力在单位时间内所做的功，称为功率，以P表示。△wdwF.drAwF.drp*F.=FVP = lim△tdtdtdtAt→0At功率等于力在速度方向上的投影与速度大小的乘积[w[力[速度]=N.㎡=二=W 瓦特,换算：1kw=1.36马力P[]J二、功率方程"FV,=PdT=ZdW=ZF.dr =EF. dtdT=EP功率方程dt机器的功率方程dTPx-P出-P损员 =P-P-Pdt

§22-4 功率方程       力速 度 W 瓦 特, s J s m N t W P = = =  = = P入 P出 P损 t T = − − d d 换算: 1kw=1.36马力 一、功率 t w P   = * F v F v t r F t F r t w t w P t =  =  =   = =   =  →       d d d d d d lim 0 功率等于力在速度方向上的投影与速度大小的乘积 二、功率方程 T w F r F v t d d i d i i i d     =  =   =   i i Pi F v =    Pi t T =  d d = Pi − Po − Pl 机器的功率方程 力在单位时间内所做的功，称为功率，以P表示。 功率方程

例7：机车作直线行驶，受迎风面阻力为kmg，k常数，m为质量。试求：机车功率2myEdw=dw-kmgds解：T2dT=dw-kmgdsmv2drdw-kmgds2my?dsdwddvF= kmgPkmgkmgmy2dtdtdtdt= mv(a + kg)如：v=at匀加速P = m(a+kg)atdy0,V=ViP = kmgya=如：{=t,时，V=Vi,匀速dt

例7： 机车作直线行驶，受迎风面阻力为kmg，k常数，m 为质量。试求：机车功率. 解: w kmg s mv ) d d 2 d( 2 = − t s kmg mv t t w P d d ) 2 ( d d d d 2 = = + kmgv t v = mv + d d = mv(a + k g) 如：v=at 匀加速 P = m(a + k g)at 如： t=t1 时，v=v1 ,匀速 1 0 d d v v t v a = = ， = 1 1 P = kmgv F= kmg 2 2 mv T = dw = dw− kmgd s dT = d w− kmgd s

s22-5势力场与势能一、势力场与有势力力场：质点所受力矢量是位置的单值、有界且可微的函数，则这部分空间称为力场。有势力场：力场中力所作的功只决定于质点的起始与终了位置，则该力场称为有势力场。二、 势能V(x、y、z)作用在位于势力场中某一给定位置M(x,V,z)的质点的有势力，相对于任一选定的零位置M,(xo,Jo,z)的作功能力。MMV(x.y.2)= WM-Mo= [Mo F.dr=JM(F,dx+F,dy+F, dz)=w2olyx1xo

§22-5 势力场与势能 一、势力场与有势力 力场： 质点所受力矢量是位置的单值、有界且可微 的函数，则这部分空间称为力场。 有势力场： 力场中力所作的功只决定于质点的起始 与终了位置，则该力场称为有势力场。 二、势能 V (x、y、z) 作用在位于势力场中某一给定位置M(x,y,z)的质点的有势 力，相对于任一选定的零位置M0 (x0 ,y0 ,z0 )的作功能力。 0 ( . . ) wM M V x y z = → Fx x Fy y Fz z w M =  M ( d + d + d ) = 0 F r M M   d 0 =   x y z O M0 M 0 x 0 y 0 z x y z

设质点在有势力的作用下由M→M因为有势力的功与路径无关，可设M→M。→MM'M.MMdw= [d'w=[d'w+ [d'w= [d'w- [d'wMMMMMM'MoMdw=V(x,y,z)-V(x+dx,y+dy,z+dz)=-dV有势力的元功等于势能函数的全微z+dz分，并冠以负号。20avavavdvdzdx+-Ozaxay1x+dxdw=Fdx+F.dy+FdzavavavFFFayaxOzMavavav-/dV=VL-grad VW12 =-OxoyOzM

x y z O M0 M 0 x 0 y 0 z x y z M  x + dx y + dy z +dz dw =V(x, y,z) −V(x + d x, y + d y,z + d z) = −dV         =  =  +  =  −  0 0 0 0 d d d d d d M M M M M M M M M M w w w w w w 有势力的元功等于势能函数的全微 分，并冠以负号。 12 1 2 2 1 w dV V V M M = − = −  z z V y y V x x V dV d d d   +   +   = w F x F y F z d = x d + y d + z d x V Fx   = − y V Fy   = − z V Fz   = − k V z V j y V i x V F ( ) = −grad   +   +   = −     设质点在有势力的作用下由 M →M M → M → M 因为有势力的功与路径无关，可设 0

常见势力场中的势能1.重力场势能：P=0P, =-mgP,=0V =[=o-mgdz =mg(z-zo)或V = mg(zc - zco)2.弹性力场势能：取点 M。为零势能点，若取弹簧自然位置为零势能点，%=0kS一23.万有引力场-dV =dw=Gmomd(=Gm.m-J; dV = JβGmomd(-)Vr

常见势力场中的势能 1.重力场势能: 2 .弹性力场势能: Px = 0 Py = 0 P z = −mg d ( ) 0 0 V mg z mg z z z =  z − = − ( ) C C0 或 V = mg z − z ( ) 2 2 0 2 =  − k V 3.万有引力场 ) 1 d d d( 0 r − V = w = Gm m ) 1 d d( 0 r V r Gm m o v  −  =  r Gm m V 0 = − 取点 M0 为零势能点， 若取弹簧自然位置为零势能点， 0  0 = 2 2  k V =

例8：杆BC重P长为l，重物D重,P,弹簧的刚度为k，当角θ=0°时，弹簧具有原长3l。试求质点系运动到图示位置时的总势能。解：BC杆及重物D(以杆BC的水平位置为零势能位）L0+P)lcos6-cos-Pl cos=P22B-P1弹簧（选弹簧的原长处为势能的零位置）Dnks22IP28 = AB- 31 = /(21)? +I2 -2.21.1·cos(180° -0) -31/5+4cos0-3lk(/5+4cos0-3)2.122P,)/cos0+=kl?(/5+4cos0-3)V=V+V2

A B C D P1  P2  k  例8：杆BC重 ,长为l，重物D重 ， 弹 簧的刚度为k，当角θ=00时，弹簧具有原长3l。 试求质点系运动到图示位置时的总势能。 P1 P2   ) cos 2 cos cos ( 2 2 1 1 1 2 P l P Pl l V = −P  − = − + 解 ：BC杆及重物D（以 杆BC的水平位置为零势能位） 弹簧（选弹簧的原长处为势能的零位置） 2 2 2 1 V = k AB 3l (2l) l 2 2l l cos(180 ) 3l 2 2 0  = − = + −    − − = l 5+ 4cos −3l 2 2 2 ( 5 4cos 3) 2 1 V = k +  − l 2 2 2 1 1 2 ( 5 4cos 3) 2 1 ) cos 2 = + = −( + P l  + k l +  − P V V V