同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第13章 能量法

第十三章能量法第13-1能量法概念第13-2应变能与余能的计算第13-3互等定理第13-4卡氏定理第13-5利用卡氏定理解超静定问题

第十三章 能量法 第13-1 能量法概念 第13-2 应变能与余能的计算 第13-3 互等定理 第13-4 卡氏定理 第13-5 利用卡氏定理解超静定问题

S 13-1能量法概念一、外力功与应变能（变形能）弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功用符号W表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变能（变形能），用符号U表示，二能量守恒原理在弹性范围内，外力功W全部转变为变形能U(不考虑能量的损耗）。因此有W-U三、能量法利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力等计算的方法称为能量法

§13-1 能量法概念 一、外力功与应变能（变形能） 弹性体在载荷作用下都要发生变形，载荷的作用点会相 应的产生位移。载荷在相应的位移上作功，称其为外力功， 用符号W 表示；弹性体将由于变形而储存能量，称其为应变 能（变形能），用符号U 表示。 二、能量守恒原理 在弹性范围内，外力功 W 全部转变为变形能 U(不考虑 能量的损耗)。因此有 W=U 。 三、能量法 利用功和能的概念来解决变形体的位移、变形和内力 等计算的方法称为能量法

$13-2应变能与余能的计算一、外力功A1.常力作功（F为恒力）FW=FS2.变力作功（F从0逐渐增加到最终值）F（线弹性体）dwW=[dW={Fd8} ==F82-S0式中：F一广义力（力、力偶）8.ds, S一广义位移（线位移、角位移）广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就是角位移（在力偶作用处的角位移）

§13-2 应变能与余能的计算 一、外力功 1. 常力作功（F 为恒力） W = F    W dW Fd F 2 1 1 0 = = 1 =   2. 变力作功（F 从0逐渐增加到最终值） （线弹性体） F o  F F 1    1 1 d dW 广义力与广义位移相对应。如广义力是力，相应的广义位移就是 线位移（沿力方向的线位移）；如广义力是力偶，相应的广义位移就 是角位移（在力偶作用处的角位移）。 式中： — 广义力（力、力偶）  —广义位移（线位移、角位移） F

（线弹性体）二、应变能及比能1.轴向拉伸与压缩时应变能FnlHFN = F,△1 a.轴力为常量：NEAFRi应变能：WUFN一22EA92FRU1H比能：u=02EA?2V2Eu 为比能，即单位体积的变形能。b.轴力为变量：Fn(x)dxxdx段的伸长为：△(dx)=HxEA-F(x)·△(dx)dU :段的应变能：dx2Fr(x)dx(x2EA

二、应变能及比能（线弹性体） 1. 轴向拉伸与压缩时应变能 u 为比能，即单位体积的变形能。 EA F l U W F l N 2 2 1 2 应变能： = =  =   2 1 2 2 2 2 2 = = = = EA E F V U u N 比能 ： a. 轴力为常量： EA F l F F l N N = , = F F FN b.轴力为变量： F (x) N x F (x) N F (x) N dx dx 段的伸长为： EA F x dx dx N ( ) ( ) = dx 段的应变能： EA F x dx dU F x dx N N 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 = = 

F%(x)dxdu△(dx) =x22EA比能：dUFr(x)dx10(x)c(u(x2dv2EA.AdxF2(x)dxdU:整个杆内的应变能:U：2EA2.纯剪切时的变形能t?比能:u=222G21应变能：U=uyYL2dx

F (x) N x F (x) N F (x) N dx EA F x dx dU F x dx N N 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 =  = 比能： ( ) ( ) 2 1 2 ( ) ( ) 2 x x EA Adx F x dx dV dU u x N =    = = 整个杆内的应变能：   = = l l N EA F x dx U dU 2 ( ) 2 比能： 2 1 1 2 2 2 2 u G G  = = =   应变能： 1 2 U uV V = =  2. 纯剪切时的变形能   dy dx x  y 

3.圆轴扭转时的变形能M (M, =m,Pma.扭矩为常量-GIp1M?应变能：FSmd222GI1Bb.扭矩为变量：aM(x)dx应变能：2GIp4.杆件受弯曲时的变形能moMIa.纯弯曲时：(M = mo,0 :EIM?11应变能：FSm222EI6

3. 圆轴扭转时的变形能 a. 扭矩为常量 ( , ) n n P M l M m GI = =  b. 扭矩为变量： L A q B 2 ( ) 2 n l P M x dx U GI 应变能： =  4. 杆件受弯曲时的变形能 应变能： p n G I M l U F m 2 2 1 2 1 2 =  =  = 应变能： EI M l U F m 2 2 1 2 1 2 =  = 0  = a. 纯弯曲时： 0 ( , ) Ml M m EI = = 

b.横力弯曲时（剪力F的影响忽略）FqM(x)dx应变能：2EI一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上面积分应分段进行，然后求出其总和。5.组合变形时的应变能杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆件内同时有轴力Fn(x)，扭矩M,(x)，弯矩M(x)和剪力Fs(x)存在。在忽略了剪力Fs(x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为：x)dxMMDdxd2EI2EA2GI1注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能

一般梁中各段弯矩M(x)不同。则上 面积分应分段进行，然后求出其总和。 2 ( ) 2 l M x dx U EI 应变能： =  5. 组合变形时的应变能 杆件在拉（压）、剪切、扭转和弯曲这些基本变形共同作用下，杆 件内同时有轴力FN(x)，扭矩Mn (x)，弯矩M(x)和剪力FS (x)存在。在忽略 了剪力FS (x)的影响后，整个杆件的应变能可表示为： 注意：叠加法不能用于计算外力功和变形能。    = + + l p l n l N EI M x dx G I M x dx EA F x dx U 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 b. 横力弯曲时（剪力FS 的影响忽略） q F

例试分别计算图示各梁的变形能P解：求各梁的变形能BEI(-Px)"dxp2j3M'(x)dxU.02EI2EI6EI1M,’dxMilM(x)dxUBMa2EI2EI2EIEI(-Px + M.)dx(x)dx12EI2EIPMo-2PxM, + M)dxMa2EIBEIp2/3PM,1?M;l16EI2EI2EI从中可看出U.+U. +U

解：求各梁的变形能 从中可看出 U U U c a b  + 2 2 2 3 0 0 ( ) ( ) 2 2 6 l l a M x dx Px dx P l U EI EI EI − = = =   2 2 2 0 0 0 0 ( ) 2 2 2 l l b M x dx M dx M l U EI EI EI = = =   2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 3 2 2 0 0 ( ) ( ) 2 2 1 ( 2 ) 2 6 2 2 l l c l M x dx Px M dx U EI EI P x PxM M dx EI P l PM l M l EI EI EI − + = =   = − +  = − + a b c 例 试分别计算图示各梁的变形能

F余能三、余功、非线性弹性体1、非线性弹性体W*dFl外力功和应变能SWFFFdsW=-U=S00olds余功和余能SFW*=U*=(&dF0F2、线性弹性体线性弹性体W=W*W*WU=U*F8-2S0

三、余功、余能 0 F  W * W F1 F dF  d  1 非线性弹性体 1、非线性弹性体 外力功和应变能  = = 1 0  W U Fd 余功和余能  = = 1 0 * * F W U dF 0 F  W * W 2、线性弹性体 线性弹性体 1 1 * * 2 1 U U F W W = = =

四、利用功能原理计算位移利用 U=WFS可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相对应的位移。例直角水平圆截面折杆ABC受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭刚度为GIp。试求C处的垂直位移。解1、内力分析M(x) =-PxBC杆:LCM(x) =-PxAB杆:BXM, = Pl

四、利用功能原理计算位移 利用 可以计算荷载作用点的位移，此方法只限于 单一荷载作用，而且所求位移只是荷载作用点沿着荷载方向与荷载相 对应的位移。 U W F 2 1 = = 解 1、内力分析 例 直角水平圆截面折杆ABC 受力如图示。已知抗弯刚度为EI，抗扭 刚度为GIp。试求C 处的垂直位移。 BC杆： M x Px ( ) = − AB杆： ( ) n M x Px M Pl = − = x x