同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第24章 虚位移原理 §24-1 虚位移的概念与分析方法 §24-2 虚位移原理

第二十四章虚位移原理$24-1虚位移的概念与分析方法、基本概念1、虚位移与实位移虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移drSTASTBMA8rBSTA80orB虚位移不惟一虚位移可以是线位移，也可以是角位移实位移：在无限小时间间隔d纳，系统的真实运动所产生的位移所谓真实运动，是指既满足约束方程文满足运动微分方程和初始条件的系统运动。因此，在任意时刻，系统的实位移是惟一的

§24-1 虚位移的概念与分析方法 一、基本概念 虚位移：质点系在给定瞬时为约束所容许的任何微小的位移 M r  δ r  d A B O r A  δ r B  δ δ r A  δ  r B  δ  实位移：在无限小时间间隔dt内,系统的真实运动所产生的位移 所谓真实运动,是指既满足约束方程又满足运动微分方程和初始 条件的系统运动。因此,在任意时刻,系统的实位移是惟一的。 1、虚位移与实位移 虚位移不惟一 虚位移可以是线位移，也可以是角位移 第二十四章 虚位移原理

2、虚位移与实位移的区别与联系(1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且与时间有关(3)虚位移不惟一，而实位移是惟一的。(4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一or2srWWdrdrWsnSn

（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。 即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。 （2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关， 实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可 以是有限值，而且与时间有关。 2、虚位移与实位移的区别与联系 W  1 δ r  2 δ r  r  d W  1 δ r  2 δ r  W  r  d （4）在定常系统中，微小的实位移是虚位移之一 ， 在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。 （3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的

二、虚位移的分析方法S（虚速度法）1、几何法SrA80自由度： k=3×2—2—2—1=1ABSrB8r.=OA80OASrBIBI800OA80=rp=BI=SrAAlAlAIAl在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关系等同于各点之间的虚速度的关系

二、虚位移的分析方法 1、几何法 O A B I r A  δ r B  δ δ δ δ rA = OAδ  δ δ δ AI OA AI rA = = B A r AI BI OA AI BI δ r = BI δ = δ = δ （虚速度法） 自由度： k＝3×2－2－2－1＝1 在同一时刻（位置），各点之间的虚位移的关 系等同于各点之间的虚速度的关系

2、解析法自由度为kn个质点取广义坐标：A.2.....k, = r(q, q2 ....qk)korLsqar,or,orisgi+W(i=1, ..., n)or:sgSqk=agoqk0q2aq;自由度：2取广义坐标：，2yA=acosPiX=asin i2B=acos +bcosp2xXβ =asin P +bsin 21aPAx=acosp 8P11y=-asinib8xβ = acosP, 8 +bcosP, 8P2P2BLy =-asin q -bsin P, 8P2

2、解析法 k k i i i i q q r q q r q q r δ r δ δ δ 2 2 1 1   ++   +   =     j j i k j q q r δ 1   ==  (i=1,.,n) ( , ) i i q1 q2 qk r = r    2 1 B A a b x y 1 yA = acos 1 xA = asin  1 2 xB = asin +bsin 1 2 yB = acos +bcos 1 1 δ xA = acos δ 1 1 δ yA = −asin δ 1 1 2 2 δ xB = acos δ +bcos δ 1 1 2 2 δ yB = −asin  δ −bsin  δ q qk q ,  1 2 n个质点 自由度为k 取广义坐标： 自由度：2 取广义坐标：1，2

$24-2虚位移原理一、虚功作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功8w=F.8r：计算方法与力的元功计算一样主动力的虚功：理想约束力的虚功：理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零nZN, 8F=0i=1(a）π=0即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；(b）FNi工8r即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等(c)FN；=0即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；(d)≥FN，·8=即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆i=1

§24-2 虚位移原理 一、虚功 w F r   δ = δ 理想约束力的虚功： 理想约束力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零。 N δ 0 1   = = i i n i F r   (a) δ ri = 0 即约束处无虚位移，如固定端约束，铰支座等；  (b) 即约束力与虚位移相垂直，如光滑接触面约束等. i i F r   δ N ⊥ (c) FNi = 0 即约束点上约束力的合力为零，如铰链连接；  (d) N δ 0即虚功之和即为零。如连接两质点的无重刚性杆。 1   = = i i n i F r   作用于质点或质点系上的力在给定虚位移上所作的功。 主动力的虚功：计算方法与力的元功计算一样

（虚功原理）二、虚位移原理具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零Sw=ZF·or=0nw=Z(Fx, 8x, +F, y, +F, 8z,)=0一解析式i-1证明：命题：如质点系平衡，则上式成立（1）必要性(F+FN,).8r =0F, +FN, = 0nZ(F+Fn,).oF=EF.87+EFn, 87 =0i=1i=1i=-1nnEFn or =0:ZF.8r=0i=1i=1

二、虚位移原理（虚功原理） 具有双侧、定常、理想约束的质点系，在给定位置平衡的充要 条件是：所有主动力在质点系任何虚位移中的元功之和等于零。 δ δ 0 1 =  = = i i n i w F r   δ ( δ δ δ ) 0 1 =  + + = = xi i yi i z i i n i w F x F y F z —解析式 证明： （1）必要性 命题：如质点系平衡，则上式成立。 Fi + FNi = 0   Fi + FNi δ ri = 0    （ ） ( ) δ δ N δ 0 1 1 N 1  +  =   +   = = = = i i n i i i n i i i i n i F F r F r F r        N δ 0 1   = = i i n i F r    δ 0 1   = = i i n i F r  

命题：上式成立，则质点系平衡。（2）充分性反证法：设上式成立，而质点系不平衡。FR; #0设第个质点不平衡：8w, = FR, -8r =(F +Fn,).8r >0E(F8r +FN, -87)>0i=1：F·8F>0与命题矛盾i=l所以，质点系必定平衡

（2）充分性 命题：上式成立，则质点系平衡。 反证法：设上式成立，而质点系不平衡。 δwi = FRi δ ri = (Fi + FNi )δ ri  0      ( δ N δ ) 0 1   +   = i i i i n i F r F r     δ 0 与命题矛盾 1     = i i n i F r   所以，质点系必定平衡。 设第i个质点不平衡： FRi  0 

例1：已知OA=L，试求0= 900A系统在图示位置平衡时，CMC力偶矩M与力F的关系mg0mg0FB（不计摩擦）。0mg基本步骤：1.确定系统是否满足原理的应用条件2.分析主动力作用点的虚位移≥F·87=03.求主动力的虚功之和i=

例1：已知 OA=L，试求 系统在图示位置平衡时， 力偶矩M与力F的关系 （不计摩擦）。 δ 0 1   = = n i i i F r   A  B  F M O C1 C2 0  = 90 m1 g m2 g m3 g 基本步骤： 1.确定系统是否满足原理的应用条件 2.分析主动力作用点的虚位移 3.求主动力的虚功之和

ASrA[8r-]AB =[rB]AB86SrC2SrcMmigm2gLF0OrBOra=8rp =L8gmg解：:8r =orbF8r_-M80=0Zsw=0BFLS0-M80=(FL-M)80=0:0±0M=LFLF-M=O

A B  δ r = δ r M = LF  δ W = 0 F δ r − M δ  = 0 B FL δ  − M δ  = (FL − M ) δ  = 0  δ   0 A AB B AB [ δ r ] = [ δ r ] δ rA = δ rB = L δ  δ  LF − M = 0 A B  F M O m 1 g m 2 g m g 3 δ rA 1 δ rC δ rB 解： 2 δ rC

例2:结构及其受力如图所示，试求A端的约束力偶。aaaCDFMBA0MFDA

例2：结构及其受力如图所示，试求A端的约束力偶。 a a a F1 F2 A B  C M D A A MA A A FAy D D FDy