同济大学：《工程力学》课程教学资源（PPT课件）第10章 弯曲变形 §10-1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §10-2 挠曲线近似微分方程 §10-3 积分法计算梁的变形 §10-4 叠加法计算梁的变形

第十章弯曲变形s10-1梁变形的基本概念挠度和转角s 10-2挠曲线近似微分方程S 10-3积分法计算梁的变形s 10-4叠加法计算梁的变形s1-05简单超静定梁

第十章 弯曲变形 §10-1 梁变形的基本概念 挠度和转角 §10-2 挠曲线近似微分方程 §10-3 积分法计算梁的变形 §10-4 叠加法计算梁的变形 §1-05 简单超静定梁

还必工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内。梁弯曲变形的计算目的:要控制梁的最大变形在一定的限度内。一弯曲刚度的计算YYs2

-弯曲刚度的计算 梁弯曲变形的计算 目的：要控制梁的最大变形 在一定的限度内。 工程中对梁的设计，除了必须满足强度条件外，还必 须限制梁的变形，使其变形在容许的范围之内

S10-1梁变形的基本概念挠度和转角5t牛度量梁变形的参数一—梁的挠度，横截面的转角。号F一、烧曲线：梁变形后的轴线。性质：连续、光滑、弹性、极其平坦的平面曲线。二、挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的位移。用“y”表示。三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示

梁的挠度，横截面的转角。 度量梁变形的参数- 二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 一、挠曲线：梁变形后的轴线。 性质：连续、光滑、弹性、 极其平坦的平面曲线。 三、转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。  用“y” 表示。 F C y  §10-1 梁变形的基本概念 挠度和转角 x x

UniversityUoiversityUniversityniverstsityTian3ing UniversityanJingUniversityTianJing UniversityTianJing UnivershTianJing UniversityTianJing UniversityTian)anJingLTianJing UniversityTianJing UniversityTianJing UiniversityCOTianJing UniverTianJing UniversitTianJing UniverandiTianrsitysityUniversityxUniveUniversityUniversTianJing UnivensityersityersityTianJing UniversityPTianJingTian3ing UniTiaruing UniTlanJing UnivTanJingUniverDSItyiveiEC1

F挠度：横截面形心沿垂直于表示。轴线方向的位移。用“”转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“”表示。X0Xy四、挠度和转角的关系H.曲线方程。烧度向下为正；向上为负。y=y(x)0= 0 (x)转角方程。由变形前的横截面转到变形后，...顺时针为正；逆时针为负。dytg0=y'(x) = y'=dx0～ tg0==（挠曲线为一条平坦的曲线）

y = y（x） .挠曲线方程。 挠度向下为正；向上为负。 θ=θ(x) . 转角方程。 由变形前的横截面转到变形后， 顺时针为正；逆时针为负。 四、挠度和转角的关系 挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。 转角：横截面绕中性轴转过 的角度。用“” 表示。 用“y” 表示。 y x y dx dy t g = = ( ) =    tg  = y   F C y x x  (挠曲线为一条平坦的曲线) x

S10-2梁的挠曲线近似微分方程eX曲率与弯矩的关系1MM(x)11(1)EIEIp(x)CRpV（数学表达式）二1曲率与烧曲线的关系1"1十<<1: 1...... (2)p(x)[1+(y)]p(x)三、挠曲线与弯矩的关系：M(x)联立（1）、（2）两式得+1EIE"=±M(x)

一、曲率与弯矩的关系： EI M = r 1 二、曲率与挠曲线的关系（数学表达式)  2 3 2 1 ( ) ( ) 1 y y x +   =  r y x =   ( ) 1 →→ r .（2） 三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得 y x =   EI M ( ) EIy  = M (x) → .（1） EIz M x x ( ) ( ) 1 = r  y  1, §10-2 梁的挠曲线近似微分方程  C y x  y

E"= ±M(x)xxM>0MVyy结论：#E" =-M(x)烧曲线近似微分方程d?yEI-M(x)dr?忽略了“F”以及y"）挠曲线近似微分方程的近似性对变形的影响使用条件：弹性范围内工作的细长梁

M > 0 y ( x )  0 挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs ”以及 对变形的影 响 2 ( y ) 使用条件：弹性范围内工作的细长梁。 M y x 结论：挠曲线近似微分方程—— EIy  = −M (x) x y x y ( ) 2 2 M x dx d y EI = − EIy  = M (x)

S10-3积分法计算梁的变形步骤：（EI为常量）根据载荷分段列出弯矩方程M（x）：12、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分Ely"(x) =-M(x)EIly(x)= EI0(x) = /- M(x)dx +CEIy(x) = (((- M(x)dx)dx +C)x +C23、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数FPADBcAA蒸乡JD =OYB =O边界条件：VA=O0C左 =θ连续条件：Yc左=c右0,=0C右

EIy (x) = −M (x) 1 EIy (x) = EI (x) = − M (x)dx +C   1 2 EIy(x) =  (  − M (x)dx)dx +C x +C §10-3 积分法计算梁的变形 步骤：（EI为常量） 1、根据载荷分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 yA = 0 yB = 0 yD = 0 左 右  D = 0 C C 连续条件： 左 右  =  C C y = y 边界条件： D P P A C B F

积分法计算梁变形的步骤1、根据荷载分段列出弯矩方程M（x）2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分Ely(x) = EI0(x) = [- M(x)dx +CiEly"(x)=-M(x)Ely(x) = f(f - M(x)dx)dx +C;x +C23、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。边界条件：（1）、固定端处：度等于零、转角等于零。（2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。连续性条件：（3）、在弯矩方程分段处一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。4、确定挠曲线方程和转角方程5、计算任意截面的度、转角；挠度的最大值、转角的最大值

（1）、固定端处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）、在弯矩方程分段处： 一般情况下左、右的两个截面挠度相等、转角相等。 4、确定挠曲线方程和转角方程 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分 3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。 积分法计算梁变形的步骤 1 2 EIy(x) =  (  − M (x)dx)dx +C x +C 边界条件： 连续性条件： EIy (x) = −M (x) 1 EIy (x) = EI (x) = − M (x)dx +C  

例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角（EI常数）解：a）建立坐标系并写出弯矩方程M(x)=-F(L-x)1写出微分方程并积分EIy"=-M(x)= F(L-x)F(L- x)? +CHLF(L-x)" +Cx+C6EIDF应用位移边界条件求积分常数2EIx=0处:y(0) = 0 ;0(0)=0自由端的挠度及转角FLFL2FL?FL326y(L)0(L) =转角方程确定挠曲线、d2EI3EI

解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程 EI FL y L 3 ( ) 3 = 例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。 M (x) = −F(L − x) b) 写出微分方程并积分 c) 应用位移边界条件求积分常数 EIy  = −M (x) = F(L − x) 1 2 ( ) 2 1 EIy  = − F L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIy = F L − x +C x +C F x 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = FL C = − FL d) 确定挠曲线、转角方程   2 3 3 6 ( ) Lx x EI F y x = − x Lx EI F y 2 2 2  =  = − − EI FL L 2 ( ) 2  = e) 自由端的挠度及转角 x=0处 : y(0) = 0 ;  (0)=0 y L