北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.3 线性映射与线性变换 4.3.1 线性映射的定义

第一学期第二十三次课 第四章§3线性映射与线性变换 431线性映射的定义 定义设U,V为数域K上的线性空间,q:U→V为映射,且满足以下两个条件 i)、φ(a+B)=(a)+o(B),(va,B∈U/) i)、q(ka)=ko(a),(a∈U,k∈K) 则称φ为(由U到V的)线性映射, 由数域K上的线性空间U到V的K的线性映射的全体记为Homx(U,V),或简记为 Hom(U,V)。 定义中的i)和ⅱ)二条件可用下述一条代替 q(ka+lB)=k(a)+k(B),(a,B∈U,k,∈K) 例Mmn(K)是K上的线性空间,M,0(K)也是K上线性空间,取定一个K上的 s×m矩阵A,定义映射 q:Mmn(K)→M,x(K) xhAX 则q是由Mmn(K)到M2(K)的线性映射。 例考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令 U=L(, sin x, sin 2x, .. Sin nx) L(l, cos. 再令 f(x)HAX 则是由U到V的一个线性映射。 定义设φ:U→V是线性映射 i)、如果是单射,则称φ是单线性映射( monomorphism); i)、如果φ是满射,则称φ是满线性映射( endomorphism) ⅲi)、如果φ既单且满,则称φ为同构映射(简称为同构, isomorphism),并说U与V是 同构的,同构映射也称为线性空间的同态( homomorphism),同构映射的逆映射也是同构 映射 iv)、￠的核( kernel)定义为kerq={a∈Ul(a)=0} v)、φ的像( Image)定义为m={∈a∈U,st(a)=B},也记为q(U)

第一学期第二十三次课 第四章 §3 线性映射与线性变换 4.3.1 线性映射的定义 定义 设 U V, 为数域 K 上的线性空间，  :U V → 为映射，且满足以下两个条件： i）、          ( ) ( ) ( ), ( , ) + = +  U ； ii）、      ( ) ( ), ( , ) k k U k K =    ， 则称  为（由 U 到 V 的）线性映射， 由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的 K 的线性映射的全体记为 Hom (U,V) K ，或简记为 Hom (U,V) 。 定义中的 i）和 ii）二条件可用下述一条代替：          ( ) ( ) ( ), ( , , , ) k l k k U k l K + = +    。 例 ( ) M K m n 是 K 上的线性空间， ( ) M K s n 也是 K 上线性空间，取定一个 K 上的 s m 矩阵 A ，定义映射 : ( ) ( ), . M K M K m n s n x AX    → 则  是由 ( ) M K m n 到 ( ) M K s n 的线性映射。 例 考虑区间 ( , ) a b 上连续函数的全体，它是 上的线性空间，令 U L x x nx = (1,sin ,sin 2 , ,sin ), V L x x nx = (1,cos ,cos 2 , ,cos ). 再令 : , ( ) . U V f x AX  → 则  是由 U 到 V 的一个线性映射。 定义 设  :U V → 是线性映射 i）、如果  是单射，则称  是单线性映射（monomorphism）； ii）、如果  是满射，则称  是满线性映射（endmorphism）； iii）、如果  既单且满，则称  为同构映射（简称为同构，isomorphism），并说 U 与 V 是 同构的，同构映射也称为线性空间的同态（homomorphism），同构映射的逆映射也是同构 映射； iv）、  的核（kernel）定义为 ker { | ( ) 0}     =  = U ； v）、  的像（image）定义为 im ={ | , . ( ) }          = V U s t ，也记为 ( ) U ；

命题kerq和img是V的子空间 证明容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi)、q的余核定义为 co ker=imp 命题线性映射∫是单的当且仅当ker={0},∫是满的当且仅当 coker∫={0} 定理(同态基本定理)设∫:U→V是数域K上的线性空间的满线性映射,则映射 0: U/ker f>k a+kerfhf(a) 是同构映射 证明首先证明是良定义,即若a=a'∈U/kerf,则o(a)=a(a)由于a=a 存在y∈kerf,使得α=a+y。于是f(a)=f(a+y)=f(a")+f(y)=f(a),即 (a)=a(a)。 再证明σ是线性映射。va,B∈U/kerq,k,l∈K o(ka+B)=f(ka +lB)=kf(a)+lf(B)=ko(a)+lo(B) 易见σ是满射,且有V=imf。只要再证明σ是单射即可,即证明kerσ={0}。设 a∈kera,则a(a)=f(a)=0,于是a∈kerf,即有a=0。证毕 命题设φ:U→V是线性映射,dimU=n,则下述三条等价: i)、单 )p将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组; i)、dimq(U)=n 证明 1)→i)若a1,ax2…ar∈V线性无关,则令 kq(a)+k2(a2)+…+k(a1)=0,由线性映射的定义,纵(ka1+k2a2+…+ka1)=0。 q单,于是ka1+k2a2+…+ka1=0,则k=k2=…=k=0,i)成立;i)→ⅲ)若 取U的一组基E1,E2…,En,则由已知,(E1)(E2),…(En)线性无关,而imq中任意 向量可以被纵(1),(E2)…以(En)线性表出,于是(E1)0(E2),…,(En)构成img的一组 基,ⅲ)成立;i)→i)由同态基本定理知U/kerφ≡img,于是 dimU- dim ker= dim img→ dim ker q=0,即有kerq={0}。证毕

命题 ker 和 im 是 V 的子空间。 证明 容易证明它们关于加法和数乘封闭。 vi）、  的余核定义为 co ker /im   =V 。 命题 线性映射 f 是单的当且仅当 ker f = {0}， f 是满的当且仅当 coker f = {0} 。 定理（同态基本定理） 设 f :U →V 是数域 K 上的线性空间的满线性映射，则映射 : / ker , ker ( ). U f V f f    → + 是同构映射。 证明 首先证明  是良定义，即若  = ' / ker U f ，则     ( ) ( ') = 。由于  = '， 存在  ker f ，使得    = +' 。于是 f f f f f ( ) ( ' ) ( ') ( ) ( ')       = + = + = ，即     ( ) ( ') = 。 再 证 明  是 线 性 映 射 。      , / ker U ， k l K ,  ，            ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k l f k l kf lf k l + = + = + = + 。 易见  是满射，且有 V f = im 。只要再证明  是单射即可，即证明 ker {0}  = 。设   ker ，则    ( ) ( ) 0 = = f ，于是  ker f ，即有  = 0 。证毕。 命题 设  :U V → 是线性映射， dimU n = ，则下述三条等价： i）、  单； ii）、  将 U 中任意线性无关组映为 V 中的线性无关组； iii）、 dim ( )  U n = 。 证 明 i ）  ii ） 若 1 2 , , ,   t V 线性无关，则令 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 t t k k k       + + + = ，由线性映射的定义， 1 1 2 2 ( ) 0 t t     k k k + + + = 。  单，于是 1 1 2 2 0 t t k k k    + + + = ，则 1 2 0 t k k k = = = = ，ii）成立；ii）  iii）若 取 U 的一组基 1 2 , , , n    ，则由已知， 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 线性无关，而 im 中任意 向量可以被 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 线性表出，于是 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 构成 im 的一组 基 ， iii ）成立； iii ）  i ）由同态基本定理知 U / ker im    ，于是 dim dim ker dimim U − =    dim ker 0  = ，即有 ker {0}  = 。证毕