北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第五章 5.3 实与复二次型的分类（1/2）

第二学期第一次课 第五章§3实与复二次型的分类 1.复、实二次型的规范形: 定理复数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中r是∫的秩.复二次型的规范形是唯一的 证明复数域C上给定二次型) f a,,, (ai=a 设它在可逆线性变数替换X=TZ下变为标准型 d 这相当于在C上n维线性空间V内做一个基变换 7h,n2…,7n )T 使对称双线性函数f(a,B)在新基下的矩阵成对角形,即 ∫(n,n,)=d,o 设d1,d2,…dn中有r个不为零。只要把n,n2,,mn的次序重新排列一下,就可以使不 为零的d排在前面,而后面n-r个d全为零。因此,不妨设f的标准型为 d, - +d (d≠0,i=12,r), f的矩阵为A=(a1),有 TAT=D= 因T可逆,r(D)=r(A).故D中主对角线上非零元素个数r=r(D)=r(A)=f的秩。 因为在复数域内任意一个数都可以开平方,所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变 数替换(其中√d1为d的任一平方根)

第二学期第一次课 第五章 §3 实与复二次型的分类 1．复、实二次型的规范形： 定理 复数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 r z ++ z 其中 r 是 f 的秩. 复二次型的规范形是唯一的. 证明 复数域 C 上给定二次型) = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 ( aij = a ji ) 设它在可逆线性变数替换 X＝TZ 下变为标准型 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 n n d z 这相当于在 C 上 n 维线性空间 V 内做一个基变换 （1，2，，n）＝（ 1， 2，， n）T 使对称双线性函数 f（α，β）在新基下的矩阵成对角形，即 f ( , ) , i  j = di ij 设 , , d1 d2 … n d 中有 r 个不为零。只要把 1，2，，n 的次序重新排列一下，就可以使不 为零的 i d 排在前面，而后面 n－r 个 i d 全为零。因此，不妨设 f 的标准型为 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 r r d z （ i d  0,i =1,2,r）， f 的矩阵为 A=( ij a ),有 T AT ＝ D ＝                       0 0 2 1   dr d d 因 T 可逆，r（D）=r(A).故 D 中主对角线上非零元素个数 r＝r（D）＝r（A）＝f 的秩。 因为在复数域内任意一个数都可以开平方，所以可以对上述标准型再做如下可逆线性变 数替换（其中 di 为 i d 的任一平方根）：

于是f变作 定理实数域上的任一二次型∫在可逆变数替换下都可化为规范形 其中正平方项的个数p称为∫的正惯性指数,负平方项的个数q称为∫的负惯性指数 (P-q称为∫的符号差),p+q是∫的秩实二次型的规范形是唯一的 证明在实数域R上给定二次型 f=∑∑anxx1(an=an 设f的秩为r,由上一定理的证明可知,存在R上可逆线性变数替换X=TZ,使f化为标准 其中d1,d2,…d,为非零实数。按同样的道理,不妨设前p个:d1,d2,…d为正数,而余 下r-p个:dn+…,d为负数。因为在R内任何正数均可开平方,故可做R内可逆线性变 数替换 d uL 于是二次型化作

                                        =                     = + + n r r r n r r z z z z d d u u u u U       1 1 1 1 1 1 1 于是 f 变作 . 2 2 2 2 u1 + u ++ ur 定理 实数域上的任一二次型 f 在可逆变数替换下都可化为规范形 , 2 2 1 2 2 1 p p p q z z z z ++ − + −− + 其中正平方项的个数 p 称为 f 的正惯性指数，负平方项的个数 q 称为 f 的负惯性指数 （ p − q 称为 f 的符号差）， p + q 是 f 的秩. 实二次型的规范形是唯一的. 证明 在实数域 R 上给定二次型 = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 ( aij = a ji ) 设 f 的秩为 r，由上一定理的证明可知，存在 R 上可逆线性变数替换 X＝TZ，使 f 化为标准 型 + + 2 2 2 2 1 1 d z d z … 2 r r d z 其中 , , d1 d2 … r d 为非零实数。按同样的道理，不妨设前 p 个: , , d1 d2 … p d 为正数，而余 下 r－p 个： d p dr , , +1  为负数。因为在 R 内任何正数均可开平方，故可做 R 内可逆线性变 数替换                = = = − = − = = + + + + + n n r r r r r p p p p p p u z u z u d z u d z u d z u d z                      1 1 1 1 1 1 1 1 于是二次型化作

其中0≤p≤r 现在证规范型的唯一性。规范型中的r等于f的秩,是唯一确定的,我们只需证明正平 方项的个数p也是唯一确定的就可以了。 设f有两个规范型 十∴+l-l 按命题2.2的推论,这表明在R上n维线性空间V内存在一组基n,n2…,7n,使 a=171 n时 Q/(a)=2+ 在V内又存在一组基可1,可2…,mn,使当a=v1+…+vnan时, 现令ML(n1,…,7n),则当a∈M,a≠0时 a=L11+…+lnn(l1不全为零)。 于是Q,(a)=1+…+2>0。又令N=L(可q+1…可n)。则当a∈N时,有 C=v1团+…+V团 于是Qa)=-v2-…-v2≤0。这表明M∩N=。按维数公式,我们有 n=dim v>dm(M+N=dim M+dim N=p+(n-q 这表明p-q≤0,即p≤q。由于p,q地位对称,同理应有q≤p,于是p=q

2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 其中 0  p  r . 现在证规范型的唯一性。规范型中的 r 等于 f 的秩，是唯一确定的，我们只需证明正平 方项的个数 p 也是唯一确定的就可以了。 设 f 有两个规范型 2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 2 2 1 2 2 1 q q r v + + v − v − − v  +  按命题 2.2 的推论，这表明在 R 上 n 维线性空间 V 内存在一组基 1，2，，n ，使 当  = u11 ++ unn 时 Qf () = 2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 在 V 内又存在一组基 1， 2，， n ，使当 n n  = v1 1 ++ v  时， Qf () = 2 2 1 2 2 1 q q r v + + v − v − − v  +  现令 M=L( 1，， p )，则当   M ,  0 时，  = u11 ++ u p p ( i u 不全为零)。 于是 Qf () = 0 2 2 u1 ++ up  。又令 N＝L（  q  n , , +1  ）。则当  N 时，有 q q n n  = v +1 +1 ++ v  于是 Qf () = 0 2 2 − vq+1 −− vr  。这表明 M  N = 0 。按维数公式，我们有 n = dimV  dim( M + N) = dim M + dim N = p + (n − q) 这表明 p − q  0 ，即 p  q 。由于 p，q 地位对称，同理应有 q  p ，于是 p＝q