北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第八章 有理整数环 8.3 模

第二学期第十六次课 §3模m的剩余类环 83.1模m的剩余类环的定义 定义8.7设m设一个正整数,定义 Z/(m)={a+(m)|a∈Z 将模m的剩余类a+(m)记作a,现定义Z(Om)中的加法和乘法如下 a+b=atb.ab=ab 此两种运算满足811中除第9)条以外的其余八条性质(其中0称为Z/(m)的零元素,1称 为Z(m)的单位元素),于是Z(m)构成一个代数系统,称为Z模理想(m)的剩余类环或Z 模理想(m)的商环。 832P个元素的有限域 在所有模m的剩余类环中,m=p为素数的情况最为重要 引理设p为素数,a是Z/(p)中一个非零元素,则必存在u∈Z(p),使 a=1,将矿写成。即Z/(D)中非零元素都有逆元 事实上,a≠0意味着pa,从而(a,p)=1,于是存在u,v∈Z,使ua+v=1, 于是a=u=1-vp=1- 现在Z(p)中有加、减、乘、除(令a 1= ),且不难验证这些运算满足与数域相 同的运算法则(即数域K的加法、乘法所满足的九条运算法则),因此,我们把Z(P)称为 P个元素的有限域,并用F来表示它。对F的深一步研究将在抽象代数课程中进行。 8.3.3关于有限域上的线性代数的说明 现在,前面各章所阐述的线性代数理论,只要把其中数域K换成有限域F。,那么所 有的概念和命题仍然成立。因此我们有F上的线性方程组,F上m维向量空间F,F上 mXn矩阵所组成的集合Mm(F),F上方阵的行列式,F上的线性空间及其上的线性 映射、线性变换理论等等

第二学期第十六次课 §3 模 m 的剩余类环 8.3.1 模 m 的剩余类环的定义 定义 8.7 设 m 设一个正整数，定义 Z Z ( ) { ( ) | } m a m a = +  将模 m 的剩余类 a m + ( ) 记作 a ，现定义 Z ( ) m 中的加法和乘法如下： a b a b a b ab + = + = , 此两种运算满足 8.1.1 中除第 9）条以外的其余八条性质（其中 0 称为 Z ( ) m 的零元素，1 称 为 Z ( ) m 的单位元素），于是 Z ( ) m 构成一个代数系统，称为 Z 模理想 ( ) m 的剩余类环或 Z 模理想 ( ) m 的商环。 8.3.2 p 个元素的有限域 在所有模 m 的剩余类环中， m p = 为素数的情况最为重要。 引理 设 p 为素数， a 是 Z ( ) p 中一个非零元素，则必存在 u p Z ( ) ，使 u a = 1 ，将 u 写成 1 a 。即 Z ( ) p 中非零元素都有逆元。 事实上， a  0 意味着 p a| ，从而 ( , ) 1 a p = ，于是存在 u v, Z ，使 ua vp + =1 ， 于是 u a ua vp vp = = − = − = 1 1 1 。 现在 Z ( ) p 中有加、减、乘、除（令 1 a a b b = ），且不难验证这些运算满足与数域相 同的运算法则（即数域 K 的加法、乘法所满足的九条运算法则），因此，我们把 Z ( ) p 称为 p 个元素的有限域，并用 F p 来表示它。对 F p 的深一步研究将在抽象代数课程中进行。 8.3.3 关于有限域上的线性代数的说明 现在，前面各章所阐述的线性代数理论，只要把其中数域 K 换成有限域 F p ，那么所 有的概念和命题仍然成立。因此我们有 F p 上的线性方程组， F p 上 m 维向量空间 F m p ，F p 上 m n 矩阵所组成的集合 , M m n p ( ) F ，F p 上方阵的行列式， F p 上的线性空间及其上的线性 映射、线性变换理论等等