北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.3）酉空间（2/2）

第二学期第八次课 设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足a,B∈V,有 Aa, B)=(a,A B) 则称A是A的共轭变换.A”为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭 转置 共轭变换的五条性质: 1)E"=E 3)(kA=kA 4)(A+B)=A+B 5)(AB=BA 如果A=A,则称A是一个厄米特变换 设A是n阶复矩阵,如果A'=A,则称A是一个厄米特矩阵 n个复变量x,x2,,xn的二次齐次函数 .=a 称为一个厄米特二次型.(对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广) (酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.) 如果AA=AA,则称A为一个正规变换 (将酉变换的性质推广,有一般的结果:) 命题酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补M是共轭变换A的不变子 空间 证明va∈M,B∈M,有 (a,A·B)=(Aa,B) 这表明AB∈M

第二学期第八次课 设 A 是 n 维酉空间 V 内的线性变换,如果 V 内的线性变换 A  满足   ,   V,有 (A  ,  )=(  ,A   ) 则称 A  是 A 的共轭变换. A  为 A 的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭 转置. 共轭变换的五条性质: 1)E  =E 2)(A  )  = A 3)(kA)  = k A  4)(A+B)  =A  +B  5)(AB)  =B  A  如果 A  = A,则称 A 是一个厄米特变换. 设 A 是 n 阶复矩阵,如果 A =A,则称 A 是一个厄米特矩阵. n 个复变量 1 2 n x，x ，，x 的二次齐次函数 = = = n i n j ij i j f a x x 1 1 ( aij = aji ) 称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。 （酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.） 如果 A  A= A A  ,则称 A 为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：） 命题 酉空间 V 上的线性变换 A 的不变子空间 M 的正交补 ⊥ M 是共轭变换 A  的不变子 空间. 证明    M,   ⊥ M ,有 (  ,A   )=(A  ,  )=0 这表明 A    ⊥ M

命题酉空间上的正规变换A的属于特征值λ的特征向量ξ的是共轭变换A'的属于特 征值λ的特征向量 证明按假设,有A5=5则 (A-5,A5-A5)=(A-AE)'5,A5-45) (5,(A-AE)(A-E)5) =(5,(A-AE)(A-AE)5) 从而A5=A5 命题酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交 证明设A5=A5,An=n则 A(5,n)=(A5,n)=(5,An)=(5,m)=(5,n) 必有(5,m)=0 定理n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明对维数n做数学归纳法 推论n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题厄米特变换的特征值都是实数 证明若A=45,则A5A5=A5=25→=2→λ是实数 推论n维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵 定理厄米特二次型∫在适当的酉变数替换下可以化为标准形 f=d,y d,yy 其中d1,…,dn都是实数 证明f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使

命题 酉空间上的正规变换 A 的属于特征值  的特征向量  的是共轭变换 A  的属于特 征值  的特征向量. 证明 按假设,有 A  =   则 (A   -   ,A   -   )=((A- E)   , A   -  ) =(  ,(A-  E)(A- E)   ) =(  ,(A-  E)  (A- E)  ) =(  ,0)=0 从而 A   =   . 命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明 设 A  =   ,A  =   则  (  , )=(A  , )=(  ,A   )=(  ,   )=  (  , ) 必有(  , )=0. 定理 n 维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明 对维数 n 做数学归纳法. 推论 n 维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 命题 厄米特变换的特征值都是实数. 证明 若 A  =   ,则   =A   =A  =    =   是实数. 推论 n 维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵. 定理 厄米特二次型 f 在适当的酉变数替换下可以化为标准形 , 1 1 1 n n n f = d y y ++ d y y 其中 d dn , , 1  都是实数. 证明 f 的矩阵 A 是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵 U,使

d UAU=D 为实对角矩阵.令X=UY,即可 (推广欧氏空间上的度量的概念,用以统一处理洛仑兹变换和辛变换) 数域K上的n维线性空间V的任一满秩双线性函数∫都可以定义V上的度量(以及 组基的度量矩阵G=(f(E,E,)n);在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正 交变换: 设A是V上线性变换,如果存在线性变换A’,使 fAa,B)=f(a,AB)a,B∈V 则称A是A的(关于f的)共轭变换 如果线性变换A满足 f(Aa, aB)=f(a, B)Va,BEV 则称A为(关于f的)正交变换 在给定的基(度量矩阵为G)下一个线性变换A(矩阵为A)的共轭变换的矩阵 A'=G-AG,(这是因为fAa,B)=f(a,AB)→(AX)GY=XGAY,从而 AG=GA·) 如果A是正交变换,A的共轭变换等于A-1(因为f(a,B)=f(Aa,AB)=f(a,A'AB) 故f(a,(AA-E)B)=0,由f非退化知AA=E.)

               = = dn d d  2 1 U AU D 为实对角矩阵.令 X=UY,即可. （推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换） 数域 K 上的 n 维线性空间 V 的任一满秩双线性函数 f 都可以定义 V 上的度量（以及一 组基的度量矩阵 = i j nn G (f( , )) ）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正 交变换: 设 A 是 V 上线性变换,如果存在线性变换 A  ,使 f(A  ,  )=f(  ,A   )   ,   V 则称 A  是 A 的(关于 f 的)共轭变换. 如果线性变换 A 满足 f(A  ,A  )=f(  ,  )   ,   V 则称 A 为(关于 f 的)正交变换. 在给定的基（度量矩阵为 G ）下一个线性变换 A（矩阵为 A ）的共轭变换的矩阵 A = G AG  −1 ，（这是因为 f(A  ,  )=f(  ,A   )  (AX) GY X GA Y   =  ,从而  AG = GA ） 如果 A 是正交变换，A 的共轭变换等于A −1 。(因为 f(  ,  )=f(A  ,A  )=f(  ,A  A  ) 故 f(  ,(A  A-E)  )=0,由 f 非退化知 A  A= E.)