北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.2子空间与商空间 4.2.4 子空间的直和与直和的四个等价定义 4.2.5 直和因子的基与直和的基 4.2.6 补空间的定义及存在性

第一学期第二十一次课 第四章§2子空间与商空间 42.4子空间的直和与直和的四个等价定义 定义设V是数域K上的线性空间,V,2…Vm是V的有限为子空间。若对于∑V 中任一向量,表达式 a=a1+a2+…+cmn,a1∈Vi=1,2,…,m 是唯一的,则称∑V为直和,记为 V,⊕…④Vmn或⊕V 定理设VV2…Vm为数域K上的线性空间Ⅴ上的有限为子空间,则下述四条等价: 1)、V1+V+…+Vm是直和 2)、零向量表示法唯一; 3)、V∩(V1+…+V+…+Vn)={0},vi=1,2,…,m 4)、dim(+H2+…+Vm)=dimV+dmV2+…+ dimk 证明1)→2)显然。2)→1)设a=a1+a2+…+an=B+B2+…+Bn,则 (a1-B1)+(a2-B2)+…+(an-Bn)=0 由2)知,零向量的表示法唯一,于是 c1=B,i=1,2,…,m 即a的表示法唯一。由直和的定义可知,V1+V,+…+V是直和。2)→3)假若存在某 个i,1≤i≤m,使得V∩(1+…+V+…+Vm)≠{0},则存在向量a≠0且 a∈h∩(V+…+V+…+Vm),于是存在a,∈V,使得 +2+…+am 由线性空间的定义 a∈V∩(+…+V+…+Vm), 则a1+…+(-a)+…+an=a+(-a)=0,与零向量的表示法唯一矛盾,于是 v∩(+…+V+…+Vn)={0},i=1,2,…,m 3)→2)若2)不真,则有 0=a,+…+a+ 其中a,∈V,(=1,2,,m)且彐a1≠0。于是

第一学期第二十一次课 第四章 §2 子空间与商空间 4.2.4 子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间， 1 2 , , , V V Vm 是 V 的有限为子空间。若对于 1 m i i V =  中任一向量，表达式 1 2 , , 1,2, ,      = + + +  = m i i V i m 是唯一的，则称 1 m i i V =  为直和，记为 2 V V V 1    m 或 1 m i i V =  。 定理 设 1 2 , , , V V Vm 为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间，则下述四条等价： 1）、 2 V V V 1 + + + m 是直和； 2）、零向量表示法唯一； 3）、 1 ˆ ( ) {0}, 1,2, , V V V V i m i i m + + + + =  = ； 4）、 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim V V V V V V + + + = + + + m m 。 证明 1) 2)  显然。 2) 1)  设 1 2 1 2 ,        = + + + = + + + m m 则 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) 0       − + − + + − = m m 。 由 2）知，零向量的表示法唯一，于是 , 1,2, , i i   = =i m， 即  的表示法唯一。由直和的定义可知， 2 V V V 1 + + + m 是直和。 2) 3)  假若存在某 个 i i m ,1  ，使得 1 ˆ ( ) {0} V V V V i i m + + + +  ，则存在向量   0 且 1 ˆ ( )   + + + + V V V V i i m ，于是存在  j j V ，使得 1 ˆ     = + + + + i m 。 由线性空间的定义， 1 ˆ ( ) −  + + + +  V V V V i i m ， 则 1 ( ) ( ) 0      + + − + + = + − = m ，与零向量的表示法唯一矛盾，于是 1 ˆ ( ) {0}, 1,2, , V V V V i m i i m + + + + =  = 。 3) 2)  若 2）不真，则有 1 0 = + + + +    i m ， 其中 ( 1,2, , )  j j  = V j m 且 0   i 。于是

V∩(V1+…+V+…+Vm), 与3)矛盾,于是2)成立。3)→4)对m作归纳。m=2时,由维数公式得到 dim(V+v2)=dimV,+dimv2-dimnv2)=dimv+dimv? 设m-1(m≥3)已证 dim(,+V2 )=dimm +dim( Vn1)-dim(Vn∩(1+V2 dimv+dim(+,+ .+VD) 而v,1≤1≤m-1,都有H∩+…+…+)V∩(V+…++…+n)=10} 用归纳假设,可以得到dm(+V2+…+Vm)=dmV+dim2+…+dmm 4)→3)Vi,1≤i≤m,都有 dm∩+…+…+)=dmV)+dim+…+V+…+Vn)-dm/+2+…+Vn)≤0, 于是v∩(1+…+V+…+Vn)={0},i=1,2,…,m。证毕 推论设V,F2为V的有限维子空间,则下述四条等价 i)、V+V2是直和; ⅱi)、零向量的表示法唯一; )、dim(+H2)=dim1+dimV2。 425直和因子的基与直和的基 命题设=V⊕V2⊕…⊕Vn,则V2…,Vm的基的并集为Ⅴ的一组基 证明设E1,E1…,E1是H的一组基,则V中任一向量可被∪=,52,…5}线性表 出。又dm=∑dm=+1+…+m,由命题,它们线性无关,于是它们是V的 一组基。证毕 42.6补空间的定义及存在性 定义设V为Ⅴ的子空间,若子空间v满足V=VV2,则称为的补空间 命题有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。 证明设为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V的一组基E1,E2,…,En, 将其扩为V的一组基E1,E2,…,E,61:5n2…En取V2=L(E12En12…En),则有 V=V+V,, H dimV,+dimv=n=dim( +v) 于是=V④2,即2是V的补空间。证毕

1 1 ˆ ˆ ( ) − = + + + +  + + + +     i i m i i m V V V V ， 与 3）矛盾，于是 2）成立。 3) 4)  对 m 作归纳。m=2 时，由维数公式得到 1 2 1 2 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim( ) dim dim V V V V V V V V + = + − = + 。 设 m m −  1( 3) 已证， 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 dim( ) dim dim( ) dim( ( )) dim dim( ), m m m m m m m V V V V V V V V V V V V V V V − − − + + + = + + + + − + + + = + + + + 而    − i i m ,1 1 ，都有 1 1 1 ( ) ( ) {0} 垐 V V V V V V V V i i m i i m + + + +  + + + + = − ； 用归纳假设，可以得到 1 2 1 2 dim( ) dim dim dim V V V V V V + + + = + + + m m ； 4) 3)     i i m ,1 ，都有 1 1 1 2 dim( ( )) dim( ) dim( ) dim( ) 0 垐 V V V V V V V V V V V i i m i i m m + + + + = + + + + + − + + +  ， 于是 1 ˆ ( ) {0}, 1,2, , V V V V i m i i m + + + + =  = 。证毕。 推论 设 1 2 V V, 为 V 的有限维子空间，则下述四条等价： i）、 V V 1 2 + 是直和； ii）、零向量的表示法唯一； iii）、 1 2 V V ={0} ； iv）、 1 2 1 2 dim( ) dim dim V V V V + = + 。 4.2.5 直和因子的基与直和的基 命题 设 2 V V V V =    1 m ，则 2 1 , , , V V Vm 的基的并集为 V 的一组基。 证明 设 1 2 , , , ri i i i    是 Vi 的一组基，则 V 中任一向量可被 1 2 1 { , , , } ri m i i i i    = 线性表 出。又 1 2 1 dim dim m i m i V V r r r = = = + + +  ，由命题 ，它们线性无关，于是它们是 V 的 一组基。 证毕。 4.2.6 补空间的定义及存在性 定义 设 V1 为 V 的子空间，若子空间 V2 满足 V V V = 1 2 ，则称为 V1 的补空间。 命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。 证明 设 V1 为 K 上的 n 为线性空间 V 的非平凡子空间，取 V1 的一组基 1 2 , , , r    ， 将其扩为 V 的一组基 1 2 1 2 , , , , , , , r r r n       + + 取 2 1 2 ( , , , ) V L r r n    = + + ，则有 V V V = +1 2 ，且 1 2 1 2 dim dim dim( ) V V n V V + = = + ， 于是 V V V = 1 2 ，即 V2 是 V1 的补空间。证毕