北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第二章 向量空间与矩阵 2.1 m 维向量空间 2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系 2.1.5 向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩

第一学期第五次课 214向量组的线性等价和集合上的等价关系 定义(线性等价)给定Km内的两个向量组 B1,B2,…,B, 如果向量组(**)中每一个向量都能被向量组(*)线性表示,反过来向量组(*)中的每个 向量也都能被向量组(**)线性表示,则称向量组(*)和向量组(*)线性等价。 定义(集合上的等价关系)给定一个集合S,S上的一个二元关系“”称为一个等 价关系,如果“~”满足以下三条 (1)反身性:Va∈S,a~a; (2)对称性:a,b∈S,如果a~b,则b~a (3)传递性:若a~b,b~c,则a~c 与a等价的元素的全体成为a所在的等价类 命题若a与b在不同的等价类,则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了 等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并 证明记a所在的等价类为S,b的等价类为Sb。若它们的交集非空,则存在 c∈Sa∩Sb,于是有c~a,c~b。由等价关系定义中的对称性和传递性即知a~b,与a 和b在不同的等价类矛盾。这就证明了a和b所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等 价类的并集,又集合中的任一个元素都属于一个等价类,于是集合是等价类的并集。 综上可知,命题成立。证毕 命题给定Km内两个向量组 (1) B1,B2,…,B (2) 且(2)中每一个向量都能被向量组(1)线性表示。如果向量y能被向量组(2)线性表示, 则y也可以被向量组(1)线性表示 证明若向量组(2)中的每一个向量都可以被向量组(1)线性表示,则存在kn∈K (1≤i≤r,1≤j≤s),使得 B,=∑k 由于y能被向量组(2)线性表示,故存在1∈K(1sj≤s),使得

第一学期第五次课 2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系 定义（线性等价） 给定 m K 内的两个向量组   r , , , 1 2  ， （*）    s , , , 1 2  ， （**） 如果向量组（**）中每一个向量都能被向量组（*）线性表示，反过来向量组（*）中的每个 向量也都能被向量组（**）线性表示，则称向量组（*）和向量组（**）线性等价。 定义（集合上的等价关系） 给定一个集合 S ， S 上的一个二元关系“~”称为一个等 价关系，如果“~”满足以下三条： （1） 反身性： a  S, a ~ a ； （2） 对称性： a,bS, 如果a ~ b，则b ~ a ； （3） 传递性： 若a ~ b，b ~ c，则a ~ c。 与 a 等价的元素的全体成为 a 所在的等价类。 命题 若 a 与 b 在不同的等价类，则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了 等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。 证明 记 a 所在的等价类为 a S ， b 的等价类为 b S 。若它们的交集非空，则存在 Sa Sb c  ，于是有 c ~ a，c ~ b 。由等价关系定义中的对称性和传递性即知 a ~ b ，与 a 和 b 在不同的等价类矛盾。这就证明了 a 和 b 所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等 价类的并集，又集合中的任一个元素都属于一个等价类，于是集合是等价类的并集。 综上可知，命题成立。证毕。 命题 给定 m K 内两个向量组   r , , , 1 2  ， （1）    s , , , 1 2  ， （2） 且（2）中每一个向量都能被向量组（1）线性表示。如果向量  能被向量组（2）线性表示， 则  也可以被向量组（1）线性表示。 证明 若向量组（2）中的每一个向量都可以被向量组（1）线性表示，则存在 kij  K (1 i  r, 1 j  s) ，使得 1 r j ij i i  k = =  ( j s =1,2, , ) . （i） 由于  能被向量组（2）线性表示，故存在 l j  K (1 j  s) ，使得

B 将(i)代入,得 ∑∑ka=∑∑ka=∑Ck 即y可被a122…,an线性表示 由此易推知 命题线性等价是Km的向量组集合上的等价关系 215向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩 定义(向量组的极大线性无关组)设a1,a2,…,a,为Km中的一个向量组,它的一部 分组∝1,a1,…,a,称为原向量组的一个极大线性无关组,若 (1)a1,a1,…a,线性无关; (2)a1,a2,…a,中的每一个向量都可被an,1,…,线性表出。 容易看出向量组a,a2…、C、和B,B2…B,如果a1,a2,…a,可被 a,线性等价 引理给定Km上的向量组a1,a2,…,a, B1,B2,…,B线性表出,且S>F,则向量组a1a2,…a,线性相关 证明由于a1,a2,…,a,可被B1,B2,…B线性表出,故存在k∈K,使得 a1=k1B+k12B2+…+k1B a2=k21B+k2B2+…+k2B a=k,B+k2B2+…+kB 设 xa.+x x.a.=0 将(*)代入(**),得 C∑k月+∑k2x)月2+…+Ckx=0 设各系数均为零,得到 ∑k=∑k2x=…=∑kx=0 凇 (**)是一个含有r个未知量和s个方程的其次线性方程组,而S>r,故方程组(**) 有非零解,于是存在不全为零的x,x2…,x∈K,使得(**)成立。由线性相关的定义即

= = s j j j l 1   . 将（i）代入，得 1 1 1 1 1 1 ( ) s r r s r s ij i ij i ij i j i i j i j     k k k = = = = = = ===     ， 即  可被   r , , , 1 2  线性表示。 由此易推知 命题 线性等价是 m K 的向量组集合上的等价关系。 2.1.5 向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩 定义（ 向量组的极大线性无关组） 设    s , , , 1 2  为 m K 中的一个向量组，它的一部 分组 r i i i , , , 1 2  称为原向量组的一个极大线性无关组，若 （1） r i i i , , , 1 2  线性无关； （2）    s , , , 1 2  中的每一个向量都可被 r i i i , , , 1 2  线性表出。 容易看出向量组    s , , , 1 2  和 r i i i , , , 1 2  线性等价。 引理 给定 m K 上的向量组    s , , , 1 2  和    r , , , 1 2  ，如果    s , , , 1 2  可被    r , , , 1 2  线性表出，且 s  r ，则向量组    s , , , 1 2  线性相关。 证明 由于    s , , , 1 2  可被    r , , , 1 2  线性表出，故存在 ij k K  ，使得 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 , , . r r r r s s s sr r k k k k k k k k k              = + + +   = + + +     = + + + （*） 设 1 1 2 2 0 s s x x x    + + + = . （**） 将（*）代入（**），得 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 s s s i i i i ir i r i i i k x k x k x    = = =    + + + = . 设各系数均为零，得到 1 2 1 1 1 0 s s s i i i i ir r i i i k x k x k x = = =    = = = = ， （***） （***）是一个含有 r 个未知量和 s 个方程的其次线性方程组，而 s  r ，故方程组（***） 有非零解，于是存在不全为零的 1 2 , , , r x x x K  ，使得（**）成立。由线性相关的定义即

知向量组a1,a2,…,a,线性相关。 定理线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等 证明设a1,a2…,an和B1,B2…,BnKm中的线性等价的向量组。设向量组 4,a12,…1和B1,B2,…,B,分别是原向量组的极大线性无关部分组,则由线性无关 部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于 a4,a2,…,a1可将Bn,B12…,B中的每一个向量线性表出,知r≥S(否则由引理知向 量组a1,a2…a1,线性相关,矛盾)。同理S≥。于是 F=So 推论任意向量组中,任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义(向量组的秩)对于Km内给定的一个向量组,它的极大线性无关组所含的向量 的数量称为该向量组的秩

知向量组    s , , , 1 2  线性相关。 定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。 证 明 设 1 2 , , ,   n 和 1 2 , , ,    m m K 中的线性等价的向量组。设向量组 r i i i , , , 1 2  和 s  j  j  j , , , 1 2  分别是原向量组的极大线性无关部分组，则由线性无关 部分组 的定义 和线性 等价 的传递 性知此 二极 大线性 无关部 分组 线性等 价。 由于 r i i i , , , 1 2  可将 1 2 , , ,    j j jt 中的每一个向量线性表出，知 r  s （否则由引理知向 量组 r i i i , , , 1 2  线性相关，矛盾）。同理 s  r 。于是 r = s。 推论 任意向量组中，任意极大线性无关组所含的向量个数相等。 定义（向量组的秩） 对于 m K 内给定的一个向量组，它的极大线性无关组所含的向量 的数量称为该向量组的秩