《概率论与数理统计》课程电子教案（PPT课件讲稿）第七章 参数估计（7.3）区间估计

ch7-68 §7.3区间估计 引例已知X~N(,1) 的无偏、有效点估计为Ⅹ 常数 随机变量 不同样本算得的μ的估计值不同, 因此除了给出μ的点估计外,还希望根据 所给的样本确定一个随机区间,使其包含 参数真值的概率达到指定的要求

ch7-68 §7.3 区间估计 引例 已知 X ~ N (  ,1), 不同样本算得的  的估计值不同， 因此除了给出  的点估计外, 还希望根据 所给的样本确定一个随机区间, 使其包含 参数真值的概率达到指定的要求.  的无偏、有效点估计为 X 常数 随机变量

ch7-69 如引例中,要找一个区间使其包含的 真值的概率为0.95.(设n=5) 1 XN u,,, N(0,1) 取a=0.05 查表得 z=1.96 C

ch7-69 如引例中，要找一个区间,使其包含  的 真值的概率为0.95. ( 设 n = 5 )       5 1 X ~ N  , ~ (0, 1) 5 1 N X −   取  = 0.05 查表得 1.96 z / 2 =

ch7-70 X-u 这说明P ≥1.96|=0.05 即P|X-1.96 3s≤F +1.96 =0.95 称随机区间(x-196%,x+196 为未知参数μ的置信度为0.95的置信区间

ch7-70 这说明 即 称随机区间 为未知参数  的置信度为0.95的置信区间. 0.95 5 1 1.96 5 1 1.96  =      P X −    X + 1.96 0.05 5 1 =            X −  P       − + 5 1 , 1.96 5 1 X 1.96 X

置信区间的意义 反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数 μ的真值,而包含真值的区间占95% 若测得一组样本值,算得x=1.86 则得一区间1.86-0.877,1.86+0.877) 它可能包含也可能不包含的真值,反复 抽样得到的区间中有95%包含μ的真值

ch7-71 反复抽取容量为5的样本,都可得 一个区间,此区间不一定包含未知参数  的真值, 而包含真值的区间占95%. 置信区间的意义 若测得 一组样本值, 它可能包含也可能不包含 的真值, 反复 则得一区间(1.86 – 0.877, 1.86 + 0.877) 抽样得到的区间中有95%包含  的真值. 算得 x =1.86

ch7-72 为何要取z2? 当置信区间为(X X+ 时 区间的长度为23—达到最短

ch7-72 ) 5 1 , 5 1 ( 2 2 当置信区间为 X − z X + z 时 区间的长度为 5 2 1 2 z —— 达到最短 ?  / 2 为何要取 z

ch7-73 取a=0.05 =196-(-196) 392 =184-(-2.13) 397

ch7-73 3.97 1.84 ( 2.13) 3 3 2 1 = − = − − − z  z  3.92 1.96 ( 1.96) 2 2 1 = − = − − − z z  -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 3 z 2 3 1  − z -2 -1 1 2 0.1 0.2 0.3 0.4 2 z  2 1  − z 取  = 0.05

h7-74 置信区间的定义 设θ为待估参数,a是一给定的数, (0<∝<1).若能找到统计量T,T2,使 P(71≤6sT2)=1-ab∈6 则称[T,T2为O的置信水平为1-c的 置信区间或区间估计. 71 置信下限 72置信上限

ch7-74 设  为待估参数,  是一给定的数, ( 0<<1). 若能找到统计量 1 2 T , T , 使 P(T1  T2 ) =1−   则称 [ , ] T1 T2 为  的置信水平为1 -  的 置信区间或区间估计. 置信下限 置信上限 置信区间的定义 T1 T2

ch7-75 几点说明 口置信区间的长度T2-T反映了估计精度 T-越小,估计精度越高. 口α反映了估计的可靠度,α越小,越可靠. α越小,1-a越大,估计的可靠度越高,但 这时,-7往往增大,因而估计精度降低 口a确定后,置信区间的选取方法不唯· 常选最小的一个

ch7-75 ❑  反映了估计的可靠度,  越小, 越可靠. ❑ 置信区间的长度 T2 −T1 反映了估计精度  越小, 1-  越大, 估计的可靠度越高,但 ❑  确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选最小的一个. 几点说明 T2 −T1 越小, 估计精度越高. 这时, 往往增大, 因而估计精度降低. T2 −T1

h7-76 处理“可靠性与精度关系”的原 则 先 求参数保证提高 置信区间可靠性精度

ch7-76 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原 则

h7-77 求置信区间的步骤 口寻找一个样本的函数 g(X,X2…,Xn,0)—称为枢轴量 它含有待估参数,不含其它未知参数, 它的分布已知,且分布不依赖于待估参 数(常由θ的点估计出发考虑 例如 XN(A,1/5) 取枢轴量 g(x12X2,…,xn2) √/5 ~N(0,1)

ch7-77 ❑ 寻找一个样本的函数 ( , , , , ) g Xx X2  Xn  它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参 数 (常由 的点估计出发考虑 ). X～N( ,1/ 5) 1/ 5 ( , , , , ) 1 2   − = X g X X  Xn 例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 ~ N(0,1) 取枢轴量