北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第一章 代数学的经典课题（1.3）线性方程组

第一学期第三次课 §3线性方程组 13.1数域K上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss消元法。 定义(线性方程组的初等变换)数域K上的线性方程组的如下三种变换 (1)互换两个方程的位置 (2)把某一个方程两边同乘数域K内一个非零元素C (3)把某一个方程加上另一个方程的k倍,这里k∈K 的每一种都称为线性方程组的初等变换 容易证明,初等变换可逆,即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明设线性方程组为 a,,+an,,+.+a,x,=b a12x1+a2x2+ am1x1+am2x2+…+amxn= 经过初等变换后得到的线性方程组为(**),只需证明(*)的解是(*)的解,同时(*) 的解也是(*)的解即可 设x1=k1,x2=k2…,xn=kn是(*)的解,即(*)中用x1=k(=1,2,…n)代入 后成为等式。对其进行初等变换,可以得到x1=k1,x2=k2…,xn=kn代入(*)后也成 为等式,即x1=k1,x2=k2…xn=kn是(*)的解。反之,(**)的解也是(*)的解。 证毕 13.2线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义(数域K上的矩阵)给定数域K中的m个元素a,(1=1,…,m,j=1,…,n)。 把它们按一定次序排成一个m行n列的长方形表格 A 称为数域K上的一个m行n列矩阵,简称为m×n矩阵

第一学期第三次课 §3 线性方程组 1.3.1 数域 K 上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。 定义（线性方程组的初等变换） 数域 K 上的线性方程组的如下三种变换 （1） 互换两个方程的位置； （2） 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素 c ； （3） 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍，这里 k K 的每一种都称为线性方程组的初等变换。 容易证明，初等变换可逆，即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 证明 设线性方程组为 11 1 12 2 1 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , ...... . n n n n m m mn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = （*） 经过初等变换后得到的线性方程组为（**），只需证明（*）的解是（**）的解，同时（**） 的解也是（*）的解即可。 设 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 是（*）的解，即（*）中用 x k (i 1,2,......n) i = i = 代入 后成为等式。对其进行初等变换，可以得到 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 代入（**）后也成 为等式，即 n n x = k , x = k ,......, x = k 1 1 2 2 是（**）的解。反之，（**）的解也是（*）的解。 证毕。 1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义（数域 K 上的矩阵） 给定数域 K 中的 mn 个元素 i j a （ i =1,  , m ，j =1,  , n ）。 把它们按一定次序排成一个 m 行 n 列的长方形表格 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... . ...... ...... ...... ...... n n m m mn a a a a a a A a a a     =           称为数域 K 上的 一个 m 行 n 列矩阵，简称为 m n 矩阵

定义(线性方程组的系数矩阵和增广矩阵)线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵 A称为方程组的系数矩阵:如果把方程组的常数项添到A内作为最后一列,得到的 m×(n+1)矩阵 b a,,b, b 称为方程组的增广矩阵 定义(矩阵的初等变换)对数域K上的矩阵的行(列)所作的如下变换 (1)互换两行(列)的位置; (2)把某一行(列)乘以K内一个非零常数c (3)把某一行(列)加上另一行(列)的k倍,这里k∈K 称为矩阵的行(列)初等变换 定义(齐次线性方程组)数域K上常数项都为零的线性方程组称为数域K上的齐次 线性方程组。 这类方程组的一般形式是 a1x+a12x2+…+a1nx=0, a12x1+a2x2+…+a2nxn=0, an1x1+anx2+…+anxn=0 命题变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解 证明对变元个数作归纳。 说明线性方程组的解的存在性与数域的变化无关(这不同于高次代数方程)。事实上 在(通过矩阵的初等变换)用消元法解线性方程组时,只进行加、减、乘、除的运算。如果 所给的是数域K上的线性方程组,那么做初等变换后仍为K上的线性方程组,所求出的解 也都是数域K中的元素。因此,对K上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域K中进行

定义（线性方程组的系数矩阵和增广矩阵） 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵 A 称为方程组的系数矩阵；如果把方程组的常数项添到 A 内作为最后一列，得到的 m  (n + 1) 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ...... ...... . ...... ...... ...... ...... n n m m mn n a a a b a a a b A a a a b     =           称为方程组的增广矩阵。 定义(矩阵的初等变换) 对数域 K 上的矩阵的行（列）所作的如下变换 （1）互换两行（列）的位置； （2）把某一行（列）乘以 K 内一个非零常数 c ； （3）把某一行（列）加上另一行（列）的 k 倍，这里 k K 称为矩阵的行（列）初等变换。 定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次 线性方程组。 这类方程组的一般形式是 11 1 12 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0, 0, ...... 0. n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =     + + + = 命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果 所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行