北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.2子空间与商空间 4.2.7 线性空间关于一个子空间的同余关系 4.2.8 商空间的定义，定义的合理性以及商空间的基的选取

第一学期第二十二次课 427线性空间关于一个子空间的同余关系 定义给定K上的线性空间V,M是V的子空间,设a是V的一个向量。如果V的一 个向量a满足:a-a∈M,则称a'与a模M同余,记作a'=a(modM) 易见,同余关系是V上的一个等价关系。 把全部等价类组成的集合(一个等价类视为等价类集合中的一个元素)记为V/M /M中的元素形如 a+M={a+H|∈M}, 我们称a+M为一个模M的同余类,而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。 命题同余类满足如下一些性质: )、a'-a∈M分a'∈a+M 2)、a'∈a+Ma+M=a+M; 3)、a+M=0+M→a∈M 4)、若a+M≠a+M,则(a'+M)∩(a+M)=②。 证明1)由定义可以得出:若a'∈a+M,则由1),a-a'∈M,则 a+=a+(a-a)+p(vH∈M),于是,a+Msa+M,同理a'+Mca+M, 于是a+M=a+M,2)得证;由2)可以推出3) 我们将a+M记为a 428商空间的定义,定义的合理性以及商空间的基的选取 定义V/M中的运算(加法和数量乘法) 对于任意a∈P/M,定义a+B=a+B;ka=ka。 下面证明加法和数量乘法是良定义,即若a=a',B=B',有a+B=a'+B';且 Vk∈K,有ka=ka 事实上,若a=a',B=B,则a-a∈M,B-B'∈M,于是 (a+B)-(a+B)∈M,a+B=a'+B',k(a-a)∈M,于是ka=ka',加法和数 乘是良定义。 命题V/M关于上面定义的加法和数乘构成一个线性空间。 证明逐项验证即可。 定义这个线性空间被称为V对子空间M的商空间。 命题设V是数域K上的n维线性空间,W是V的一个m维子空间,则

第一学期第二十二次课 4.2.7 线性空间关于一个子空间的同余关系 定义 给定 K 上的线性空间 V，M 是 V 的子空间，设  是 V 的一个向量。如果 V 的一 个向量  ' 满足：  '− M ，则称  ' 与  模 M 同余，记作   ' (mod )  M 。 易见，同余关系是 V 上的一个等价关系。 把全部等价类组成的集合（一个等价类视为等价类集合中的一个元素）记为 V M/ ， V M/ 中的元素形如     + = +  M M  | ， 我们称  + M 为一个模 M 的同余类，而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。 命题 同余类满足如下一些性质： 1）、     ' ' −    + M M ； 2）、     ' '  +  + = + M M M ； 3）、   + = +   M M M 0 ； 4）、若   '+  + M M ，则 ( ' ) ( )   + + =  M M 。 证 明 1 ） 由 定 义 可 以 得 出 ； 若   ' + M ，则由 1 ），  − ' M ， 则        + = + − +   ' ( ') ( ) M ，于是，   +  + M M' ，同理   '+  + M M ， 于是   + = + M M' ，2）得证；由 2）可以推出 3）； 我们将  + M 记为  。 4.2.8 商空间的定义，定义的合理性以及商空间的基的选取 定义 V M/ 中的运算（加法和数量乘法） 对于任意  V M/ ，定义     + = + ； k k   = 。 下面证明加法和数量乘法是良定义，即若  = ' ，   = ' ，有     + = +' ' ；且  k K ，有 k k   = '。 事实上，若  = ' ，   = ' ， 则  − ' M ，   − ' M ，于是 ( ) ( ' ')     + − +  M ，    + = +' ' ， k M ( ')  −  ，于是 k k   = ' ，加法和数 乘是良定义。 命题 V M/ 关于上面定义的加法和数乘构成一个线性空间。 证明 逐项验证即可。 定义 这个线性空间被称为 V 对子空间 M 的商空间。 命题 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间， W 是 V 的一个 m 维子空间，则

dim v=dm w +dim v/w: 证明任取W的一组基E1,E2…,En,将它扩为V的一组基 1,E2…,Emn,Em12En2…En,断言E1,E2,…,Em是V/W的一组基 首先证明线性无关性。设有knkn2…kn∈K,使得 m1En1+kn+2En2+…+knEn=0,由加法的定义,左端=kn+5m+1+kn2Em+2+…+k,En 于是kn1Em1+km+2Em+2+…+kEn∈W,故存在k,k2,…kn∈K,使得 kmEn1+kEm2+…+k,En=k51+kE2+…+knEn,而由于E12E2…En是V的一组 基,则km+1=km+2=…=kn=0 再证V/M中任一向量可被表成E12E2…Em的线性组合。事实上,任取a∈V∥W, 则存在k,k2…kn∈K,使得a=kE1+k252+…+knEn 由于 k51+k2E2+…+knEn∈W,于是a=k5m+kn+2sm+2+…+k,En 于是E1,E2,…,E是V/W的一组基。证毕

dimV = dimW + dimV /W ； 证 明 任 取 W 的一组基 1 2 , , , m    ，将它扩为 V 的一组基 1 2 1 2 , , , , , , , m m m n       + + ，断言 1 2 , , , m    是 V W/ 的一组基。 首 先 证 明 线 性 无 关 性 。 设 有 1 2 , , , m m n k k k K + +  ，使得 1 1 2 2 0 m m m m n n k k k    + + + + + + + = ，由加法的定义，左端= m m m m n n 1 1 2 2 k k k    + + + + + + + ， 于 是 m m m m n n 1 1 2 2 k k k W    + + + + + + +  ，故存在 1 2 , , , m k k k K  ，使得 m m m m n n m m 1 1 2 2 1 1 2 2 k k k k k k       + + + + + + + = + + + ，而由于 1 2 , , , n    是 V 的一组 基，则 1 2 0 m m n k k k + + = = = = 。 再证 V M/ 中任一向量可被表成 1 2 , , , m    的线性组合。事实上，任取  V W/ ， 则存在 1 2 , , , n k k k K  ，使得 1 1 2 2 n n     = + + + k k k ，由于 1 1 2 2 m m k k k W    + + +  ，于是 m m m m n n 1 1 2 2     k k k = + + + + + + + 。 于是 1 2 , , , m    是 V W/ 的一组基。证毕