北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第七章 线性变换的Jordan标准型 7.2 一般线性变换的 Jordan标准型（1/2）

第二学期第十一次课 第七章§2一般线性变换的 Jordan标准型 定义形如 J2 0 的准对角矩阵称为 Jordan形矩阵,而主对角线上的小块方阵J,称为 Jordan块 定理设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换.如果A的特征值全属于K 则A在V的某组基下的矩阵为 Jordan形,并且在不计 Jordan块的意义下 Jordan形是唯 证明:对n作数学归纳法 定理设A是数域K上的n阶方阵.如果A的特征值全属于K,则A在K上相似于 Jordan形矩阵,并且在不计 Jordan块顺序的意义下 Jordan形是唯一的 证明:此定理就是上一定理用矩阵的语言叙述出来 Jordan标准形的计算方法 设A是数域K上的n维线性空间V上的线性变换,为求出A的 Jordan标准型(假设存在) 可按如下步骤进行 1)先求A在V的一组基E,E2…,En下的矩阵A 2)求出A的全部不同特征值λ,2…,λ1(假设都属于数域K); 3)对每个A,令B=A-AE,由公式 r(B+)+r(B-)-2r(B) 计算出以A1为特征值,阶为/的 Jordan块个数.从A的 Jordan形J的特征多项式容易看出 以λ为特征值的 Jordan块的阶数之和等于特征值1的重数,由此可知是否已找出全部特征 值为的 Jordan块;或者从r(B)-r(B)等于J中以为特征值而阶≥H+1的 Jordan块 的个数这一点作出判断 4)将所获得的 Jordan块按任意次序排列成准对角形J,即为所求

第二学期第十一次课 第七章 §2 一般线性变换的 Jordan 标准型 定义 形如             = s 2 1 J 0 0 J J J  , i i i n n i i i 0 1 1 0 J              =      的准对角矩阵称为 Jordan 形矩阵,而主对角线上的小块方阵 i J 称为 Jordan 块. 定理 设 A 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换. 如果 A 的特征值全属于 K ， 则 A 在 V 的某组基下的矩阵为 Jordan 形，并且在不计 Jordan 块的意义下 Jordan 形是唯一 的. 证明:对 n 作数学归纳法. 定理 设 A 是数域 K 上的 n 阶方阵. 如果 A 的特征值全属于 K ，则 A 在 K 上相似于 Jordan 形矩阵，并且在不计 Jordan 块顺序的意义下 Jordan 形是唯一的. 证明:此定理就是上一定理用矩阵的语言叙述出来. Jordan 标准形的计算方法: 设A是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换,为求出A的Jordan标准型(假设存在), 可按如下步骤进行: 1) 先求 A 在 V 的一组基 1 2 n  ， ，， 下的矩阵 A; 2) 求出 A 的全部不同特征值 1，2，，t (假设都属于数域 K); 3) 对每个 i ,令 B= A − iE,由公式 r(B ) r(B ) 2r(B ) l 1 l 1 l + − + − 计算出以 i 为特征值,阶为 l 的 Jordan 块个数.从 A 的 Jordan 形 J 的特征多项式容易看出: 以 i 为特征值的 Jordan 块的阶数之和等于特征值 i 的重数,由此可知是否已找出全部特征 值为 i 的 Jordan 块;或者从 r(B ) r(B ) +1 − l l 等于 J 中以 i 为特征值而阶  l+1 的 Jordan 块 的个数这一点作出判断; 4)将所获得的 Jordan 块按任意次序排列成准对角形 J,即为所求