北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.2）欧氏空间中特殊的线性变换（续）

第二学期第五次课 第六章§2欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于1 证明设∈C是正交矩阵A的特征多项式的根,则A≠0.齐次线性方程组(λE-A)X=0 在C"内有非零解向量 aI 显然Aa=4a→a'4'=Ac'→a'A=a→aAa=Aaa=aa→2=1从而 A|=1 推论正交矩阵的特征值只能是±1 命题设A是n维欧氏空间V上的正交变换,若A的特征多项式有一个根 1=e=cosq+ I SIn p,则在V内存在互相正交的单位向量n,72,使得 An1=cosq·nh-snq:n2, An2=snq·h+cosq·2 证明见课本22-23页 命题n维欧氏空间V上的正交变换A的不变子空间M的正交补M仍是不变子空间 证明取V的一组标准正交基E1,E2…,sn,使E1,E2…,E1是M的标准正交基,而 E,1,E12…,En是M的标准正交基,由As1,…,AEn仍是V的标准正交基,及 AE∈M(i=1,2,…r)可知As;∈M-(j=r+1,…,n).于是M4仍是不变子空间 定理设A是n维欧氏空间V上的正交变换,则A在V的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形,其主对角线由±1和如下的二阶子阵组成: cOS pp 1 Sin pi cos pi 证明对n做数学归纳法

第二学期第五次课 第六章 §2 欧氏空间中特殊的线性变换(续) 命题 正交矩阵的特征多项式的根的绝对值等于 1. 证明 设   C 是正交矩阵 A 的特征多项式的根,则   0.齐次线性方程组(  E-A)X=0 在 C n 内有非零解向量  =           n a a  1 显然 A  =    A =      =  1 A       =  =  1 A   =1 从而 |  |=1. 推论 正交矩阵的特征值只能是  1. 命题 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，若 A 的特征多项式有一个根 0 = e i = cos + isin  ，则在 V 内存在互相正交的单位向量 1 2  , ，使得 A cos sin , 1  1  2 =  −  A sin cos . 2  1  2 =  +  证明见课本 22-23 页. 命题 n 维欧氏空间 V 上的正交变换 A 的不变子空间 M 的正交补 ⊥ M 仍是不变子空间. 证明 取 V 的一组标准正交基 1 2 n  ， ，， ,使 1 2 r  ， ，， 是 M 的标准正交基,而 r 1 r 2 n  ， ，， + + 是 ⊥ M 的标准正交基.由 A 1  ,…，A n  仍是 V 的标准正交基,及 A  i  M (i=1,2,…r) 可知 A ⊥  j M (j=r+1,…,n).于是 ⊥ M 仍是不变子空间. 定理 设 A 是 n 维欧氏空间 V 上的正交变换，则 A 在 V 的某组标准正交基下的矩阵呈准 对角形，其主对角线由  1 和如下的二阶子阵组成： . sin cos cos sin         − i i i i     证明 对 n 做数学归纳法