北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第三章 行列式（3.4）行列式的完全展开式

第一学期第十五次课 第三章§4行列式的完全展开式 341一些基本概念 定义给定n个互不相同的自然书,把它们按一定次序排列起来 称为该n个自然数的一个排列。在上述排列中,如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自 然数前面,则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列 2…in的反序数计作N(i2…n)。一个排列的反序数为奇数时,该排列称为奇排列;如果 反序数时偶数,则称为偶排列。 N(L2…in)的算法 给定n个自然数,按大小顺序排列 现在把它们按任意次序重排,得n元排列j12…jn,这个排列的反序数可用下法计算:先 找出排在前面的数字有多少,设为r(1),然后划去1,再看i2前面未划去的数字有多少, 设为r(2),然后划去2,再看前面未划去的数字有多少,设为r(3),然后划去l 经过n次后,即得 N(i2…in)=τ(i1)+r(2)+…+r(in)。 命题给定数域K上的m×n矩阵,(m≤n), A= 取定m个自然数,按大小次序排列:1≤<l2<…<in≤n,又设2…jn是这m个自然 数的一个排列,则 推论将命题中2…J的k,互换,则其奇偶性发生变化。 定理数域K上的n阶行列式有如下展开式

第一学期第十五次课 第三章 §4 行列式的完全展开式 3.4.1 一些基本概念 定义 给定 n 个互不相同的自然书，把它们按一定次序排列起来： 1 2 n i i i ， 称为该 n 个自然数的一个排列。在上述排列中，如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自 然数前面，则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列 1 2 n i i i 的反序数计作 1 2 ( ) N i i i n 。一个排列的反序数为奇数时，该排列称为奇排列；如果 反序数时偶数，则称为偶排列。 1 2 ( ) N i i i n 的算法 给定 n 个自然数，按大小顺序排列： 1 2 1 n     i i i ， 现在把它们按任意次序重排，得 n 元排列 1 2 n j j j ，这个排列的反序数可用下法计算：先 找出排在 1 i 前面的数字有多少，设为 1  ( ) i ，然后划去 1 i ，再看 2 i 前面未划去的数字有多少， 设为 2  ( ) i ，然后划去 2 i ，再看 3 i 前面未划去的数字有多少，设为 3 ri( ) ，然后划去 3 i ，…， 经过 n 次后，即得 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) N i i i i i i n n = + + +    。 命题 给定数域 K 上的 m n 矩阵，（ m n  ）， 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       ， 取定 m 个自然数，按大小次序排列： 1 2 1 m      i i i n ，又设 1 2 m j j j 是这 m 个自然 数的一个排列，则 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1) m m m m m m m j j j i i i j j j i i i N j j j mj mj mj mi mi mi a a a a a a a a a a a a a a a a a a = − 。 推论 将命题中 1 2 n j j j 的 kl, 互换，则其奇偶性发生变化。 定理 数域 K 上的 n 阶行列式有如下展开式

11", 证明令f(4)=∑(-1)“a1a2…an证明f(4)是行列式函数。 (421) 推论设A=(an)m,则4=∑(-1)a1a2…m

1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n n n N i i i i i i n i i i n n nn a a a a a a A a a a a a a = = −  。 证明 令 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( ) ( 1) n n n N i i i i i i n i i i f A a a a = −  ，证明 f A( ) 是行列式函数。 推论 设 ( ) A a = ij n n ，则 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( 1) n n n N i i i i i ni i i i A a a a = − 