北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第二章 向量空间与矩阵（2.2）矩阵的秩

第一学期第六次课 第二章§2矩阵的秩 211矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置 定义2.1矩阵的行秩与列秩。 一个矩阵A的行向量组的秩成为A的行秩,它的列向量组的秩称为A的列秩 命题2.1矩阵的行(列)初等变换不改变行(列)秩 证明只需证明行变换不该行秩。容易证明,经过任意一种初等行变换,得到的行向量 组与原来的向量组线性等价,所以命题成立。证毕 定义22矩阵的转置 把矩阵A的行与列互换之后,得到的矩阵A'称为矩阵A的转置矩阵 命题2.2矩阵的行(列)初等变换不改变列(行)秩。 证明只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。 假设A的列向量为a12a2…,an,它的一个极大线性无关部分组为a1,ax2,…,an,而 经过初等行变换之后的列向量为a1,a2,…an,只需证明a1',a2,…,an'是变换后列向 量的一个极大线性无关部分组即可。 只需分别证明向量组a1a2,…an(*)线性无关和a1a2,…,an"中的任意一个向 量都可以被(*)线性表出。构造方程x1C1',x2a2,…,xn'=0,由于a12a12…,Cn线 性无关,线性方程组k1∝n1k2α12…knαn=0只有零解。而方程 x;a1,x22,…,xn'=0是由k1C1,k2a12…,kan=0经过初等行变换得来的,而初 等行变换是同解变换,所以xα1,x2a2,…,x1an'=0只有零解,于是a1,a2…,∝n'线 性无关。对于A的任意一个列向量B,都可被ax12C12…,an线性表出,利用初等行变换是 同解变换同样可以证明经过初等行变换后,B'可以被(*)线性表出。 证毕 推论矩阵的行、列秩相等,称为矩阵的秩,矩阵A的秩记为r(A); 不妨考虑A≠0,经过行、列调换后,可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩 阵化为如下形式

第一学期第六次课 第二章 §2 矩阵的秩 2.1.1 矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置 定义 2.1 矩阵的行秩与列秩。 一个矩阵 A 的行向量组的秩成为 A 的行秩，它的列向量组的秩称为 A 的列秩。 命题 2.1 矩阵的行（列）初等变换不改变行（列）秩； 证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明，经过任意一种初等行变换，得到的行向量 组与原来的向量组线性等价，所以命题成立。证毕。 定义 2.2 矩阵的转置 把矩阵 A 的行与列互换之后，得到的矩阵 A' 称为矩阵 A 的转置矩阵。 命题 2.2 矩阵的行（列）初等变换不改变列（行）秩。 证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。 假设 A 的列向量为 1 2 , , ,   n ，它的一个极大线性无关部分组为 1 2 , , ,    i i ir ，而 经过初等行变换之后的列向量为 1 2 ', ', , '   n ，只需证明 1 2 ', ', , '    i i ir 是变换后列向 量的一个极大线性无关部分组即可。 只需分别证明向量组 1 2 ', ', , '    i i ir （*）线性无关和 1 2 ', ', , '   n 中的任意一个向 量都可以被（*）线性表出。构造方程 1 1 2 2 ', ', , ' 0 i i i i ir ir x x x    = ，由于 1 2 , , ,    i i ir 线 性无关，线性方程组 1 1 2 2 , , , 0 i i i i ir ir k k k    = 只有零解。而方程 1 1 2 2 ', ', , ' 0 i i i i ir ir x x x    = 是由 1 1 2 2 , , , 0 i i i i ir ir k k k    = 经过初等行变换得来的，而初 等行变换是同解变换，所以 1 1 2 2 ', ', , ' 0 i i i i ir ir x x x    = 只有零解，于是 1 2 ', ', , '    i i ir 线 性无关。对于 A 的任意一个列向量  ，都可被 1 2 , , ,    i i ir 线性表出，利用初等行变换是 同解变换同样可以证明经过初等行变换后，  ' 可以被（*）线性表出。 证毕。 推论 矩阵的行、列秩相等，称为矩阵的秩，矩阵 A 的秩记为 r (A) ； 证明 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ， 不妨考虑 A 0 ，经过行、列调换后，可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩 阵化为如下形式

(≠0)0 0 其中(*代表一个矩阵 0 若(**)不是零矩阵,重复上面做法,归纳下去,最后得到形如 0 的一个矩阵,可知,矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和 推论可以知道,矩阵的行秩等于列秩 定义23一个矩阵A的行秩或列秩成为该矩阵的秩,记作r(A)。 222矩阵的相抵 定义24给定数域K上的矩阵A和B,若A经过初等变换能化为B,则称矩阵A和B 相抵。 命题2.3相抵是等价关系,且秩是相抵等价类的完全不变量。 证明逐项验证等价类的定义,可知相抵是等价关系;由于初等变换不改变矩阵的秩, 于是矩阵的秩是等价类的完全不变量 223用初等变换求矩阵的秩 用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形,阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩

*( 0) 0 1 0 0 ** 0 **          →     其中(**)代表一个矩阵。 若（**）不是零矩阵，重复上面做法，归纳下去，最后得到形如 1 . 1 0               的一个矩阵，可知，矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和 推论可以知道，矩阵的行秩等于列秩。 定义 2.3 一个矩阵 A 的行秩或列秩成为该矩阵的秩，记作 r A( ) 。 2.2.2 矩阵的相抵 定义 2.4 给定数域 K 上的矩阵 A 和 B ，若 A 经过初等变换能化为 B ，则称矩阵 A 和 B 相抵。 命题 2.3 相抵是等价关系，且秩是相抵等价类的完全不变量。 证明 逐项验证等价类的定义，可知相抵是等价关系；由于初等变换不改变矩阵的秩， 于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。 2.2.3 用初等变换求矩阵的秩 用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形，阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩