北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第三章 行列式（3.3）行列式的初步应用

第一学期第十四次课 第三章§3行列式的初步应用 331行列式的应用:用行列式求逆矩阵;克莱姆法则 定义设矩阵 A 矩阵 A2 A2A2…A2 An A 称为A的伴随矩阵。 由行列式的性质容易证得 =6.A 0i≠ 其中= 为 Kronecker记号。于是有 命题对于n阶满秩方阵A,有A=AE,若A≠0,则A= 考察线性方程组 b 将其记为AX=B,若A满秩,则 A-B=AB

第一学期第十四次课 第三章 §3 行列式的初步应用 3.3.1 行列式的应用：用行列式求逆矩阵；克莱姆法则 定义 设矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       ， 矩阵 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn A A A A A A A A A A        =       称为 A 的伴随矩阵。 由行列式的性质容易证得， 1 0 n ik jk ij k A i j a A A i j  =  =  = =     ， 其中 1 0 ij i j i j   = =    ，为 Kronecker 记号。于是有 命题 对于 n 阶满秩方阵 A ，有 * AA A E = ，若 A  0 ，则 1 * 1 A A A − = 。 考察线性方程组 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n n n nn n n a a a x b a a a x b a a a x b                =                    ， 将其记为 AX B = ，若 A 满秩，则 1 2 1 * 1 n x x A B A B A x −       = =        

A1b+A2b2+…+Anb A B A2b+A2b2+…+An2bn Ab1+A2b2+…+Abn Ab+A2b2+…+Abn就是把A的第i列换成B后的行列式,记 于是有: 定理若数域K上的n个未知量n个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式A≠0 则它有唯一的一组解X,=B=。这个定理称为 Cramer法则 332矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题设A,B∈M,(K),则AB=|4|B 证明对A讨论满秩与不满秩的情况 定义设 a21 a A 取{2…}≤{2…m,{,2…}={2…n, 2 称为A的一个1阶子式,记为A 1l2 引理r(A)≥r◇存在非零的r阶子式 证明“→”若r(A)≥r,则由矩阵的秩的定义,A存在r个线性无关的行向量 设它们为l1,l2,…,行,取它们构成一个秩为r的r×n矩阵

而 11 1 21 2 1 * 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n A b A b A b A b A b A b A B A b A b A b   + + +   + + +   =       + + + ， A b A b A b 1 1 2 2 i i ni n + + + 就是把 A 的第 i 列换成 B 后的行列式，记 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i i n i n ni n ni nn a a b a a A a a b a a − + − +     =       ， 于是有： 定理 若数域 K 上的 n 个未知量 n 个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式 A  0 ， 则它有唯一的一组解 1 * i i A X A B A A = = 。这个定理称为 Cramer 法则。 3.3.2 矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩 命题 设 , ( ) A B M K  n ，则 AB A B = 。 证明 对 A 讨论满秩与不满秩的情况。 定义 设 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ， 取 i i i m 1 2 , , , 1,2, , t  ， j j j n 1 2 , , , 1,2, , t   ， 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 t t t t t t i j i j i j i j i j i j i j i j i j a a a a a a a a a 称为 A 的一个 t 阶子式，记为 1 2 1 2 t t i i i A j j j       。 引理 r A r ( )   存在非零的 r 阶子式。 证明 “” 若 r A r ( )  ，则由矩阵的秩的定义， A 存在 r 个线性无关的行向量， 设它们为 1 2 , , , r i i i 行，取它们构成一个秩为 r 的 r n 矩阵

存在r个线性无关的列向量,设它们为j,2…,列,于是42… ≠0 “←”若存在A ≠0,则此子式的r个列向量线性无关,将它们 Ju J2 扩充成为原矩阵A的第j1,2…j,它们仍线性无关。证毕 命题对于K上的n阶方阵A,r(A)=r当且仅当存在某个r阶子式不等于零,但所有 +1阶子式都等于零。 证明“→”若r(A)=r,则由引理,存在某个r阶子式不等于零。若存在某个r+1 阶子式不等于零,则由引理,r(A)≥r+1,矛盾于r(4)=r,必要性得证 ”若对于A,存在某个r阶子式不等于零,则r(A)≥r,而但所有r+1阶子式 都等于零,则r(A)<r+1,于是r(A)=r,证毕

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 r r r i i i n i i i n i i i n a a a a a a a a a             存在 r 个线性无关的列向量，设它们为 1 2 , , , r j j j 列，于是 1 2 1 2 0 r r i i i A j j j        ； “ ” 若存在 1 2 1 2 0 r r i i i A j j j        ，则此子式的 r 个列向量线性无关，将它们 扩充成为原矩阵 A 的第 1 2 , , , r j j j ，它们仍线性无关。证毕。 命题 对于 K 上的 n 阶方阵 A ，r A r ( ) = 当且仅当存在某个 r 阶子式不等于零，但所有 r +1 阶子式都等于零。 证明 “” 若 r A r ( ) = ，则由引理，存在某个 r 阶子式不等于零。若存在某个 r +1 阶子式不等于零，则由引理， r A r ( ) 1  + ，矛盾于 r A r ( ) = ，必要性得证； “ ” 若对于 A ，存在某个 r 阶子式不等于零，则 r A r ( )  ，而但所有 r +1 阶子式 都等于零，则 r A r ( ) 1  + ，于是 r A r ( ) = ，证毕