北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.4 线性变换的特征值与特征向量 4.4.1 线性变换的特征值与特征向量的定义

第一学期第二十六次课 第四章§4线性变换的特征值与特征向量 44.1线性变换的特征值与特征向量的定义 定义若存在非零向量∈V,使得对于某个A∈k,有A=A,则称5是A的属 于特征值λ的特征向量。 命题线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量(添加上零向量)构成子空间。 证明设122是属于A的特征向量,vk,l∈K,则 A(k51+l52)=k4(51)+(2)=k1+12=A(k51+l52), 证毕 定义线性空间V中属于确定的特征值λ的特征向量(添加上零向量)构成子空间称 为属于特征值λ的特征子空间,记为V。 44.2特征值和特征子空间的计算、特征多项式 取定V的一组基E1,…,En,设V上的线性变换A在此组基下的矩阵为A,假设ξ是属 于λ的特征向量,且5=x1+x2E2+…+x,En,A=A5有非零解当且仅当 (…,6n)4:2|=(…)1:(E-A):有非零解→{E-4=0 定义上述f(4)=E一被称为线性变换A的特征多项式。特征多项式在K中的零 点就是特征值。取定一个特征值=列,方程组(E-4)X=0的非零解就是属于的 特征向量的坐标

第一学期第二十六次课 第四章 §4 线性变换的特征值与特征向量 4.4.1 线性变换的特征值与特征向量的定义 定义 若存在非零向量  V ，使得对于某个  K ，有 A  = ，则称  是 A 的属 于特征值  的特征向量。 命题 线性空间 V 中属于确定的特征值  的特征向量（添加上零向量）构成子空间。 证明 设 1 2  , 是属于  的特征向量，   k l K , ，则 1 2 1 2 1 2 1 2 A A A ( ) ( ) ( ) ( ) k l k l k l k l          + = + = + = + ， 证毕。 定义 线性空间 V 中属于确定的特征值  的特征向量（添加上零向量）构成子空间称 为属于特征值  的特征子空间，记为 V。 4.4.2 特征值和特征子空间的计算、特征多项式 取定 V 的一组基 n  , , 1  ，设 V 上的线性变换 A 在此组基下的矩阵为 A ，假设  是属 于  的特征向量，且 1 1 2 2 n n     = + + + x x x ， A  = 有非零解当且仅当 1 1 2 2 1 1 ( , , ) ( , , ) n n n n x x x x A x x                  =             1 2 ( ) n x x E A x       −           有非零解  − = E A 0。 定义 上述 f E A ( )   = − 被称为线性变换 A 的特征多项式。特征多项式在 K 中的零 点就是特征值。取定一个特征值   = 0 ，方程组 (0E A X − = ) 0 的非零解就是属于 0 的 特征向量的坐标