北京大学:《高等代数》课程教学资源(讲义)第六章 带度量的线性空间(6.3)对称变换

第二学期第六次课 第六章§3对称变换 设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换,如果对va,B∈V,都有 (Aa, b)=(a,AB) 则称A是V内的对称变换 命题n维欧氏空间V上的线性变换A是对称变换当且仅当它在标准正交基 E,E2,,En下的矩阵A是实对称矩阵 证明设a=(E,E2…,En)X,B=(E,E2,,En)Y,则 (Aa, B)=XAY,(a, AB)=XAY 由(Aa,B)=(a,AB)可得A=A 命题实对称矩阵A的特征根都是实数 证明设A是A的特征多项式在C内的根.则存在n维非零复向量X,使AX=2X.于是 XA=AX",从而ⅩAX=AXX;另一方面,XAX=AXX.得到λ=λ 命题n维欧氏空间V上的对称变换A的属于不同特征值入,A2的特征向量51,52必正 证明A51=15,A52=1252,于是 A(51,52)=(A51,52)=(5,A52)=A2(51,2 由于1≠2,故(5152)=0 命题n维欧氏空间上V的对称变换A的不变子空间M的正交补M仍是不变子空间 证明ya∈M,B∈M,因Aa∈M,有 0=(Aa,B)=(a,AB) 这表明AB∈M,故M是不变子空间 定理设n维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形 证明对维数n做数学归纳法 推论设A是n阶实对称矩阵,则存在n阶正交矩阵T,使得T47(=T47)为对角 阵 证明把A看作V上对称变换A在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理,A在另一组标
第二学期第六次课 第六章 §3 对称变换 设 A 是 n 维欧氏空间 V 内的一个线性变换,如果对 , V,都有 (A , )=( , A ) 则称 A 是 V 内的对称变换. 命题 n 维欧氏空间 V 上的线性变换 A 是对称变换当且仅当它在标准正交基 1 2 n , ,, 下的矩阵 A 是实对称矩阵. 证明 设 =( 1 2 n , ,, )X, =( 1 2 n , ,, )Y,则 (A , )= XAY ,( , A )= XAY 由(A , )=( , A )可得 A = A . 命题 实对称矩阵 A 的特征根都是实数. 证明 设 是 A 的特征多项式在 C 内的根.则存在 n 维非零复向量 X,使 AX= X.于是 XA = X ,从而 XAX = XX ;另一方面, XAX = XX.得到 = . 命题 n 维欧氏空间 V 上的对称变换 A 的属于不同特征值 1 2 , 的特征向量 1 2 , 必正 交. 证明 A 1 =1 1 ,A 2 = 2 2 ,于是 1 ( 1 2 , )=(A 1 , 2 )=( 1 ,A 2 )= 2 ( 1 2 , ) 由于 1 2 ,故( 1 2 , )=0. 命题 n 维欧氏空间上 V 的对称变换 A 的不变子空间 M 的正交补 ⊥ M 仍是不变子空间. 证明 M, ⊥ M ,因 A M,有 0=(A , )=( , A ), 这表明 A ⊥ M ,故 ⊥ M 是不变子空间. 定理 设 n 维欧氏空间上的对称变换某组标准正交基下的矩阵呈对角形. 证明 对维数 n 做数学归纳法. 推论 设 A 是 n 阶实对称矩阵,则存在 n 阶正交矩阵 T ,使得 ( ) 1 T AT = TAT − 为对角 阵. 证明 把 A 看作 V 上对称变换 A 在一组标准正交基下的矩阵,由上述定理, A 在另一组标

准正交基下的矩阵是对角阵设过渡矩阵为T,则易证TA7(=T4T)是对角阵 推论n元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形 提示:n元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法(亦即用正交线性变数替换将 n元实二次型化为标准形的计算方法)。 1)计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者)λ,A,…,A 2)对每个A,求齐次线性方程组(AE-A)X=0的一个基础解系X1X12,…X它们 是解空间M,的一组基 3)在欧氏空间R"内将X1,X2,…Xa正交化,再单位化得M的一组标准正交基 Zn,Z2…Zn此时nk=(41,…,En)(=1.2…1)即为Vx的一组标准正交基而所寻 求的正交矩阵T应为;,E2…,En到 n1,…nm1,n21…,n2,…k1,…,nkt 的过渡矩阵,其列向量组应为 此时相应的对角矩阵D为 t1个λ1 t2个2 t个
准正交基下的矩阵是对角阵.设过渡矩阵为 T,则易证 ( ) 1 T AT = TAT − 是对角阵. 推论 n 元实二次型经过适当的正交线性变数替换可以化为标准形. 提示: n 元实二次型的矩阵是实对称矩阵,由上一推论可得. 最后介绍用正交矩阵将实对称矩阵化成对角形的计算方法(亦即用正交线性变数替换将 n 元实二次型化为标准形的计算方法)。 1) 计算特征多项式,并求出他的全部根(两两不同者) 1,2,,k ; 2) 对每个 i ,求齐次线性方程组( i E-A)X=0 的一个基础解系 Xi1 ,Xi2 ,… i Xit .它们 是解空间 Mi 的一组基. 3)在欧氏空间 R n 内将 Xi1 , Xi2 ,… i Xit 正交化,再单位化,得 Mi 的一组标准正交基 1 2 , , , i Z Z Z i i it .此时 1 ( , , ) ik n ij = Z (j=1,2,…, i t ) 即为 V i 的一组标准正交基.而所寻 求的正交矩阵 T 应为 1 2 n , ,, 到 1 2 k1 ktk 11 1t 21 2t , , , , , , , , 的过渡矩阵,其列向量组应为 1 2 k1 ktk Z11 , , Z1t , Z21 , , Z2t , Z , , Z 此时相应的对角矩阵 D 为 k k 2 2 1 1 k k 2 2 1 1 t t t D 个 个 个 =
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