北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.4 线性变换的特征值与特征向量 4.4.2 关于特征向量与特征子空间的一些性质 4.4.3 线性变换的不变子空间

第一学期第二十七次课 第四章§4特征值与特征向量(续) 442关于特征向量与特征子空间的一些性质 命题线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。 证明设A为V/K上的线性变换,A1,A2,…,是两两不同的特征值,5(1≤i≤1是 属于特征子空间V的特征向量,设k,k2…k∈K,使得k5+k252+…+k5=0,两 边用A作用(i=1,2,…,t-1),于是得到方程组 15+252+…+15=0,j=0,,…t-1, 其中的方幂组成的矩阵为 1 I 1A2 λ两两不同,于是此矩阵的行列式非零,矩阵非退化,于是方程组只有零解 =k252=…=k1=0, 又由于特征向量非零,则k=k2=…=k=0,则51252,…5线性无关。证毕 推论n维空间的具有n个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵 证明取每个特征值的一个特征向量作为基即可 推论设,,…为A的两两不同的特征值,则∑为直和。 证明只要证明零向量的表示法唯一即可。设0=5+52+…+5,(5∈Vx),假若某个 5≠0,则5122…5线性相关,与上述命题矛盾。证毕。 定理n维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子 空间的直和 证明必要性设V/K上的线性变换A在一组基n22…,n下成对角形,即 A(71,n2…,n)=(2n2,…n) d 将d1d2,…,dn中的不同的值分别记为λ,2,…,相应的基向量记为 7h1,2…,n,们,们…,们21…,,n2…,,记=L(n,2…,n),易见

第一学期第二十七次课 第四章 §4 特征值与特征向量(续) 4.4.2 关于特征向量与特征子空间的一些性质 命题 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。 证明 设 A 为 V K/ 上的线性变换， 1 2 , , ,   t 是两两不同的特征值， (1 ) i   i t 是 属于特征子空间 i V 的特征向量，设 1 2 , , , t k k k K  ，使得 1 1 2 2 0 t t k k k    + + + = ，两 边用 j A 作用（ i t = − 1,2, , 1 ），于是得到方程组 1 1 2 2 0, 0,1, , 1 j j j t t       + + + = = − j t ， 其中 i 的方幂组成的矩阵为 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 t t t t t       − − −             ， i 两两不同，于是此矩阵的行列式非零，矩阵非退化，于是方程组只有零解，即 1 1 2 2 0 t t k k k    = = = = ， 又由于特征向量非零，则 1 2 0 t k k k = = = = ，则 1 2 , , , t    线性无关。证毕。 推论 n 维空间的具有 n 个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵. 证明 取每个特征值的一个特征向量作为基即可。 推论 设 1 2 , , ,   t 为 A 的两两不同的特征值，则 1 i t i V =  为直和。 证明 只要证明零向量的表示法唯一即可。设 1 2 0 ,( ) i t i V = + + +      ，假若某个 0 i   ，则 1 2 , , , t    线性相关，与上述命题矛盾。证毕。 定理 n 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子 空间的直和。 证明 必要性 设 V K/ 上的线性变换 A 在一组基 1 2 , , ,   n 下成对角形，即 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n d d d             =       A ， 将 1 2 , , , n d d d 中 的 不 同 的 值 分 别 记 为 1 2 , , ,   t ， 相 应 的 基 向 量 记 为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , , , , s s t t tst          j j j j j j j j j ，记 1 2 ( , , , ) i i isi V L i j j j =    ，易见

=",只要证明ⅵ=1,2,…t,V=V即可。易见,“三”成立:任取5∈ 11+l2n2+…+l1n=51+2+…+5,(1), 其中5=ln5+1 ∈VcV,两边用A作用,得到 用(1)乘以λ与(2)相减,得到 (41-4)51+(2-)2+…+(21-1)21+(241-1)51+(+2-41)512+…+(42-1)=0, λ两两不同,又属于不同特征值的特征向量线性无关,得5=0(=12,…,-1,i+1…,D) 即有5=5∈H°“三”得证。于是V=1,必要性证毕。 充分性若K上的线性空间V可以分解成为特征子空间的直和,记号同上,则 =V2V2④…⊕V2 分别取个个特征子空间的基合并为V的一组基,则在此组基下,A的矩阵成对角形。证毕。 44.3线性变换的不变子空间 定义设A为线性空间V上的线性变换,V是V的一个子空间。如果V在A下的像包 含于V1(即AV1)∈V),则称V为V的一个(A-)不变子空间。这时A可以看作内的 个线性变换,称为A在V内的限制,记作Al 命题n维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为 不变子空间的直和。 证明必要性记n维线性空间为/K,若其上的线性变换A在某组基 下的矩阵为准对角形 A A 其中r等于A的阶数,令H=L(En,E12…,E),则V是A-不变子空间,且 =V⊕V2…V 充分性若=V2…V,则取V的基并为的基,则在此组基下A的矩阵成 准对角形。证毕

1 t i i V V = = ，只要证明  =i t 1, 2, , ， i V V  = i 即可。易见，“  ”成立；任取 i V   ， 1 1 2 2 1 2 n n t        = + + + = + + + l l l （1）， 其中 k k k k ks ks k 1 1 2 2 k k k j j j j j j k l l l V V     = + + +   ，两边用 A 作用，得到        i t t = + + + 1 1 2 2 （2）， 用（1）乘以 i 与（2）相减，得到 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0                   − + − + + − + − + − + + − = i i i i i i i i i i i t i t − − + + + + ， i 两两不同，又属于不同特征值的特征向量线性无关，得 0( 1,2, , 1, 1, , ) j  = = − + j i i t ， 即有   = i i V 。“  ”得证。于是 i V V i =  ，必要性证毕。 充分性 若 K 上的线性空间 V 可以分解成为特征子空间的直和，记号同上，则 1 2 t V V V V =       ， 分别取个个特征子空间的基合并为 V 的一组基，则在此组基下， A 的矩阵成对角形。证毕。 4.4.3 线性变换的不变子空间 定义 设 A 为线性空间 V 上的线性变换， V1 是 V 的一个子空间。如果 V1 在 A 下的像包 含于 V1 （即 1 1 A( ) V V  ），则称 V1 为 V 的一个（ A- ）不变子空间。这时 A 可以看作 V1 内的 一个线性变换，称为 A 在 V1 内的限制，记作 | A M 。 命题 n 维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为 不变子空间的直和。 证明 必要性 记 n 维线性空间为 V K/ ，若其上的线性变换 A 在某组基 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 , , , , , , , , , , , , t r r t t tr          ， 下的矩阵为准对角形 1 2 t A A A A       =       ， 其中 i r 等于 Ai 的阶数，令 1 2 ( , , , ) i V L i i i ir =    ，则 Vi 是 A- 不变子空间，且 V V V V =    1 2 t 。 充分性 若 V V V V =    1 2 t ，则取 Vi 的基并为 V 的基，则在此组基下 A 的矩阵成 准对角形。证毕