北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第二章 向量空间与矩阵（2.4）矩阵的运算

第一学期第八次课 第二章§4矩阵的运算 241矩阵运算的定义 定义(矩阵的加法和数乘)给定两个m×n矩阵 b bu2 b b21b2 b, B A和B加法定义为 6 an+b A+B=a21+b2 a22+b2 b, atb 给定数域K中的一个元素k,k与A的数乘定义为 ka a21 定义(矩阵的乘法)给定一个m×n矩阵和一个n×l矩阵 aa a1 6. b A B bm, b A和B的乘法定义为 bn∑a1b2 a, b a2 b 2.2矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)的性质

第一学期第八次课 第二章 §4 矩阵的运算 2.4.1 矩阵运算的定义 定义（矩阵的加法和数乘） 给定两个 m n 矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a     =           ， 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn b b b b b b B b b b     =           ， A 和 B 加法定义为 11 11 12 12 1 1 21 21 22 22 2 2 1 1 2 2 n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b   + + +   + + + + =           + + + ； 给定数域 K 中的一个元素 k ， k 与 A 的数乘定义为 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka             = =             . 定义（矩阵的乘法） 给定一个 m n 矩阵和一个 n l  矩阵 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ， 11 12 1 21 22 2 1 2 l l n n nl b b b b b b B b b b       =       ， A 和 B 的乘法定义为                     =          = = = = = = = = = n i mi il n i mi i n i mi i n i i il n i i i n i i i n i i il n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       . 2.4.2 矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）的性质

命题矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中A,B,C均为K上的矩阵, k,l为数域K中的元素) (1)加法结合律(A+B)+C=A+(B+C) (2)加法交换律A+B=B+A (3)数乘结合律k(lA)=(kD)A (4)数乘分配律k(A+B)=kA+kB; (k+DA=kA+lA (5)乘法结合律(AB)C=A(BC) k(AB)=(ka)B=A(kB) (6)乘法分配律A(B+C)=AB+BC (B+C)A= BA+CA (7) (A+B)=A'+B' (8)(4By=BAf。 243矩阵的和与积的秩 命题矩阵的运算与秩的关系满足如下性质(其中A,B均为数域K上的m×n矩阵, 为K中的元素) (1)若k≠0,则r(k4=r(A (2)r()=r(A); (3)r(A+B)≤r(A)+r(B) 证明(1)和(2)显然成立。关于(3),由矩阵的秩的定义,只需要证明A+B的列 向量组的秩小于等于A的列向量组的秩加上B的列向量组的秩即可。A+B的列项量可以 被A和B的所有列向量线性表出,于是A+B的秩小于等于A,B所有列向量的所组成的向 量组的秩,小于等于A,B秩的和。于是命题成立。 命题设A,B分别为mXn矩阵和一个n×1矩阵,则r(AB)≤min(r(A),r(B) 证明由矩阵乘法的定义,有 a1bn∑anb2…∑a1b a2 b AB的列向量(记为A·B,(=1,2,…,1))可表示为

命题 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中 A, B,C 均为 K 上的矩阵， k,l 为数域 K 中的元素） （1） 加法结合律 (A+ B) +C = A+ (B +C) ； （2） 加法交换律 A+ B = B + A ； （3） 数乘结合律 k(lA) = (kl)A ； （4） 数乘分配律 k(A+ B) = kA+ kB ； (k + l)A = kA+ lA ； （5） 乘法结合律 (AB)C = A(BC) ； k(AB) = (kA)B = A(kB) ； （6） 乘法分配律 A(B +C) = AB + BC ； (B +C)A = BA +CA ； （7） (A+ B)'= A'+B' ; （8） (AB)' = B'A'。 2.4.3 矩阵的和与积的秩 命题 矩阵的运算与秩的关系满足如下性质（其中 A B, 均为数域 K 上的 mn 矩阵， k 为 K 中的元素）： （1） 若 k  0 ，则 r (kA) = r (A) ； （2） r (A') = r (A) ； （3） r (A + B)  r (A) + r (B) 证明 （1）和（2）显然成立。关于（3），由矩阵的秩的定义，只需要证明 A + B 的列 向量组的秩小于等于 A 的列向量组的秩加上 B 的列向量组的秩即可。 A + B 的列项量可以 被 A 和 B 的所有列向量线性表出，于是 A + B 的秩小于等于 A B, 所有列向量的所组成的向 量组的秩，小于等于 A B, 秩的和。于是命题成立。 命题 设 A, B 分别为 m n 矩阵和一个 n l  矩阵，则 r (AB)  min ( r (A), r (B)). 证明 由矩阵乘法的定义，有                     =          = = = = = = = = = n i mi il n i mi i n i mi i n i i il n i i i n i i i n i i il n i i i n i i i a b a b a b a b a b a b a b a b a b AB 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1       . AB 的列向量（记为 A B (i 1,2, ,l) • i =  ）可表示为

ABear b2+…+:|b,(i=1,2,…), 于是AB每一个列向量都可以写成A的列向量组的线性组合,故r(AB)≤r(A);同理可证 r(AB)≤r(B),于是r(AB)≤min(r(A),r(B)。 命题r(AB)≥r(4)+r(B)-n 证明记C=AB,设B的列向量为B3B2…B,则C的列向量可以表示为 C:=AB 设C的列向量的一个极大线性无关部分组为C,C,…,C,, C=AB 任取C的一个列向量C,存在kn,k2,…kn,使得C=knC4+k2C2+…+knC,将 (1)式代入,得到 A(k,B.+k,B.+…+kB)=C, 于是knB4+k2B2+…+kB1是方程组AX=C的一个特解。 设齐次线性方程组AX=0的基础解系为y1,2…,yn(4,由线性方程组理论知,方程 AX=C,的解可以表示为 7=knB1+k2B2+…+k,B.+mn1+m2y2+…+mn(ayn= 其中m∈K,由C=AB1,B是方程AX=C的解,于是B的列向量可以被向量组 B、,B2∴…,B1,,12…,yn(4线性表示,于是r(B)≤r+s=r(AB)+(n-r(A),即 r(AB)≥r(A)+r(B)-n 证毕 定义n阶方阵A自左上角到右下角这一条对角线称为A的主对角线。主对角线上的 个元素的连加称为A的迹

11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 n n i i i ni m m mn a a a a a a A B b b b a a a                   • = + + +                     ，（ i l =1,2, , ）， 于是 AB 每一个列向量都可以写成 A 的列向量组的线性组合，故 r (AB)  r (A) ；同理可证， r (AB)  r (B) ，于是 r (AB)  min ( r (A), r (B)) 。 命题 r (AB)  r (A) + r (B) − n . 证明 记 C AB = ，设 B 的列向量为 1 2 , , , B B Bl ，则 C 的列向量可以表示为 C AB i i = . （1） 设 C 的列向量的一个极大线性无关部分组为 1 2 , , , r C C C i i i ， j j C AB i i = ， j r =1,2, , ， 任取 C 的一个列向量 Cj ，存在 1 2 , , , j j jl k k k ，使得 1 2 1 2 r C k C k C k C j j i j i jr i = + + + ， 将 （1）式代入，得到 1 2 1 2 ( ) r A k B k B k B C j i j i jr i j + + + = ， 于是 1 2 1 2 r j i j i jl l k B k B k B + + + 是方程组 AX C= j 的一个特解。 设齐次线性方程组 AX = 0 的基础解系为 1 2 ( ) , , , n r A    − ，由线性方程组理论知，方程 AX C= j 的解可以表示为 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) r j j i j i jr i n r A n r A     = + + + + + + + k B k B k B m m m − − ， 其中 m K i  ，由 j j C AB i i = ， Bi 是方程 AX C= i 的解，于是 B 的列向量可以被向量组 1 2 1 2 ( ) , , , , , , , r B B B i i i n r A    − 线性表示，于是 r (B)  r + s = r (AB) + (n − r (A)) ，即 r (AB)  r (A) + r (B) − n . 证毕。 定义 n 阶方阵 A 自左上角到右下角这一条对角线称为 A 的主对角线。主对角线上的 n 个元素的连加称为 A 的迹