北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第四章 线性空间与线性变换 4.1 线性空间的基本概念 4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标

第一学期第十八次课 413线性空间的基与维数,向量的坐标 设V是数域K上的线性空间, 定义49基和维数 如果在V中存在n个向量a12a2…an,满足 1)、a12a2,…,an线性无关 2)、V中任一向量在K上可表成a1,a2,…,Cn的线性组合, 则称a12a2,…,Cn为V的一组基。 基即是V的一个极大线性无关部分组 基的个数定义为线性空间的维数。 命题44设V是数域K上的n维线性空间,而a12a2…,an∈V。若V中任一向量皆可 被a,a2…an线性表出,则a1,a2…,an是V的一组基 证明:由a1,α2…αn与Ⅴ的一组基线性等价可以推出它们的秩相等 命题45设V为K上的n维线性空间,a12ax2…,On∈V,则下述两条等价: 1)、a12a2,…,an线性无关; 2)、V中任一向量可被a1,a2,…an线性表出。 定义410向量的坐标 设V为K上的n维线性空间,E12E2…En是它的一组基。任给a∈,由命题,a可唯 一表示为E12E2…En的线性组合,即a1∈K,(=12,…,m),使得 a=a1Ei1+a2E2+…+anE 于是我们称(a1,a2…an为a在基E1,E2…,En下的坐标 易见,在某组基下的坐标与Ⅴ/K中的向量是一一对应的关系

第一学期第十八次课 4.1.3 线性空间的基与维数，向量的坐标 设 V 是数域 K 上的线性空间， 定义 4.9 基和维数 如果在 V 中存在 n 个向量 1 2 , , ,   n ，满足： 1）、 1 2 , , ,   n 线性无关； 2）、V 中任一向量在 K 上可表成 1 2 , , ,   n 的线性组合， 则称 1 2 , , ,   n 为 V 的一组基。 基即是 V 的一个极大线性无关部分组。 基的个数定义为线性空间的维数。 命题 4.4 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间，而 1 2 , , ,   n V 。若 V 中任一向量皆可 被 1 2 , , ,   n 线性表出，则 1 2 , , ,   n 是 V 的一组基。 证明：由 1 2 , , ,   n 与 V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。 命题 4.5 设 V 为 K 上的 n 维线性空间， 1 2 , , ,   n V ，则下述两条等价： 1）、 1 2 , , ,   n 线性无关； 2）、V 中任一向量可被 1 2 , , ,   n 线性表出。 定义 4.10 向量的坐标 设 V 为 K 上的 n 维线性空间， 1 2 , , , n    是它的一组基。任给  V ，由命题 ， 可唯 一表示为 1 2 , , , n    的线性组合，即 ! , ( 1,2, , ) i   = a K i n ，使得 1 1 2 2 n n     = + + + a a a ， 于是我们称 (a a a 1 2 , , , n ) 为  在基 1 2 , , , n    下的坐标。 易见，在某组基下的坐标与 V/K 中的向量是一一对应的关系