北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第五章 5.3 实与复二次型的分类（2/2）

第二学期第二次课 2.正定二次型 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型 正定二次型的(实对称)矩阵称为正定矩阵; 设A=(an)为n阶实对称矩阵,称A的r阶子式 为方阵的顺序主子式。 定理设∫是实二次型,则下述四条等价: (i)f正定 (ii)f的矩阵A=TT,其中T为可逆阵; (i)f对应的二次型函数Q(a)>0(a∈R”,a≠0) (ⅳv)f的矩阵的所有顺序主子式都大于0 证明由命题2.2知(i)与(ⅱi)等价。(i)与(ii)等价有一个很有用的推论:正定 矩阵的行列式大于零。 (i)→(ii):在V的某一组基n,n2…,nn下Q(a)的解析表达式为:若 a=l171+…+ln7n Q(a)=2+u2+…+2 显然有Q(a)>0(a∈R",a≠0)。 (i)→(i):设∫=XAX的规范型为 l1+…+l 2-ln-…-a2 则上式为Q/(a)在V的某一组基7,n2,…,mn下的解析表达式。若rn,则Q(mn)=0, 与假设矛盾。故r=ne而若pr=,则Q(n)=-1,与假设矛盾。于是pr=n,即f正定。 (i)→(iv):设f在基E1,2,,En下矩阵为A。令M=L(E;E2…,E)。 把f限制在M内,在M的基E1,E2…,5k下它的矩阵为 因va∈M,a≠0,Q1(a)>0。由(i)与(i1)的等价性的推论知

第二学期第二次课 2．正定二次型： 正惯性指数等于变元个数的实二次型称为正定二次型； 正定二次型的（实对称）矩阵称为正定矩阵； 设 A＝（ ij a ）为 n 阶实对称矩阵，称 A 的 r 阶子式       r r A   1 2 1 2 为方阵的顺序主子式。 定理 设 f 是实二次型，则下述四条等价： （i） f 正定； （ii） f 的矩阵 A = T T ，其中 T 为可逆阵； （iii） f 对应的二次型函数 Qf ()  0 (  R ,  0) n ; （iv） f 的矩阵的所有顺序主子式都大于 0. 证明 由命题 2.2 知（i）与（ii）等价。（i）与（ii）等价有一个很有用的推论：正定 矩阵的行列式大于零。 （i）  （iii）：在 V 的某一组基 1，2，，n 下 () Q f 的解析表达式为：若  = u11 ++ unn ， Qf () = . 2 2 2 2 u1 + u ++ un 显然有 Qf ()  0 (  R ,  0) n 。 （iii）  （i）：设 f = X AX 的规范型为 2 2 1 2 2 u1 ++ up − up+ −− ur 则上式为 () Q f 在 V 的某一组基 1，2，，n 下的解析表达式。若 r<n,则 ( ) Qf  n ＝0， 与假设矛盾。故 r＝n。而若 p<r=n,则 ( ) Qf  n ＝－1，与假设矛盾。于是 p=r=n,即 f 正定。 （i）  （iv）：设 f 在基 1 2 n  ， ，， 下矩阵为 A。令 M＝L（ k  ， ，， 1 2 ）。 把 f 限制在 M 内，在 M 的基 k  ， ，， 1 2 下它的矩阵为               = k k kk k k k a a a a a a a a a A       1 2 21 22 2 11 12 1 因   M ,  0,Qf ()  0 。由（i）与（ii）的等价性的推论知

(iv)→(1):对n做数学归纳法。n=1时结论是显然的现设对n-1个变元的实二次型命 题成立考察V的子空间M(E1,E2……,En),f限制在M内在基E1,E2…,En-1下的 矩阵为 其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,va∈M,a≠OQ(a)>0.于是,A合同于En 于是M内存在一组基n;,n2…,mn1,使f在此基下的矩阵为En1将n,n2,…,nn添 加ξ成为V的一组基令 5=5-∑f(n,5) 则7,n2…,nn1,s与η,2…,7n1,5等价,也是V的一组基且f(7,s)=0.故f 在n,n2…,n125下的矩阵为 o f(s B与A合同,有T∈M(R,Tk0,使TAT=B,于是 d=f(,s=BTI Ap 令刀n=方5,则m,n…,为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为En,即A合同于En 从而f正定 最后,我们指出,n元实二次型可分为如下5类 1)正定二次型:正惯性指数=秩=n 2)半正定二次型:正惯性指数=秩 3)负定二次型:负惯性指数=秩=n 4)半负定二次型:负惯性指数=秩 5)不定二次型:其他

      k k A   1 2 1 2 >0. (iv)  (i) :对 n 做数学归纳法。n=1 时结论是显然的.现设对 n-1 个变元的实二次型命 题成立.考察 V 的子空间 M=L( 1 2  n−1  ， ， ， ),f 限制在 M 内,在基 1 2  n−1  ， ， ， 下的 矩阵为               = − − − − − − − 11 12 1 1 21 22 2 1 11 12 1 1 1 n n n n n n n a a a a a a a a a A       其各阶顺序主子式>0.按归纳假设,   M ,  0,Qf ()  0 .于是, An−1合同于En−1 . 于是 M 内存在一组基 1，2，，n-1 ,使 f 在此基下的矩阵为 En−1 .将 1，2，，n-1 添 加  成为 V 的一组基.令  − = = − 1 1 ( , ) n i i i   f    则    , 1， 2，， n-1 与 1，2，，n-1 , 等价,也是 V 的一组基.且 f (i , ) = 0 .故 f 在    , 1， 2，， n-1 下的矩阵为         = − 0 ( , ) 1 0 f   E B n B 与 A 合同,有 T Mn(R),|T | 0,使TAT = B, 于是 ( , ) | | | | | | 0. 2 d = f   = B = T  A  令 , 1   d n = 则 1，2，，n 为V的一组基,且在此基下,f的矩阵为 En ,即A合同于 En , 从而 f 正定. 最后，我们指出，n 元实二次型可分为如下 5 类： 1） 正定二次型：正惯性指数＝秩＝n； 2） 半正定二次型：正惯性指数＝秩； 3） 负定二次型：负惯性指数＝秩＝n； 4） 半负定二次型：负惯性指数＝秩； 5） 不定二次型：其他